中考数学复习满分突破（全国通用）：专题26 特殊的平行四边形-正方形（原卷版）

专题26特殊的平行四边形-正方形【考查题型】【知识要点】正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

正方形的性质：1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3）正方形对边平行且相等。4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.正方形的判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）对角线相等的菱形是正方形；3）一组邻边相等的矩形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.正方形的面积公式：边长×边长＝×对角线×对角线考查题型一利用正方形的性质求线段长典例1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm变式1-1．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（

）A． B． C． D．变式1-2．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6变式1-3．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A． B． C． D．变式1-4．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（

）A． B． C． D．变式1-5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．变式1-6．（2022·海南·统考中考真题）如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则___________；若的面积等于1，则的值是___________．变式1-7．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．变式1-8．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．变式1-9．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．(1)求证；(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．考查题型二利用正方形的性质求面积典例2．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．变式2-1（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（

）A．9 B．6 C．3 D．12变式2-2．（2022·内蒙古·中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形，则它们的公共部分的面积等于（

）A．1﹣ B．1﹣ C． D．变式2-3．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π变式2-4．（2022·湖南永州·统考中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．变式2-5．（2022·湖南·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__．考查题型三与正方形有关的折叠问题典例3．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形变式3-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（

）A．2 B．2 C．6 D．5变式3-2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．变式3-3．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．变式3-4．（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将边折起，使点B落在上的点G处，连接，若，，则的长为________．考查题型四添加一个条件使四边形是正方形典例4．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等

d.一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是：（

）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③变式4-1．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形．考查题型五与正方形有关的证明典例5．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形．变式5-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．（1）求证：；（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．变式5-2（2021·甘肃武威·统考中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．变式5-3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，的角平分线交于点D，．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积．考查题型六正方形性质与判定综合典例6．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形中，点为的中点，，交于点，于点，平分，分别交，于点，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．（填序号即可）．变式6-1．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．变式6-2．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______．变式6-3．（2021·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．变式6-4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，已