中考数学复习满分突破（全国通用）：专题31 平移与旋转（解析版）

专题31平移与旋转【考查题型】【知识要点】平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换。平移的性质：1）平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等，平移前后两个图形的周长和面积相等。2）对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转。【补充说明】如图所示，是绕定点O逆时针旋转得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。【注意】1)图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2)旋转中心可以在图形内，也可以是图形外。【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角。旋转的特征：1）对应点到旋转中心的距离相等（例：OA与OA’）；2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；3）旋转前后的两个图形全等（△ABO≌△A’B’O）。旋转作图的步骤方法：1)确定旋转中心、旋转方向、旋转角；2）找出图形上的关键点；3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形。平移、旋转、轴对称之间的关系：联系变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。区别变化方式

不同平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。

旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。

轴对称：将一个图形沿一条直线对折。对应线段、对应角之间的关系不同平移：变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。

旋转：变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。

轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。确定条件

不同平移：距离与方向

旋转：旋转的三要素。

轴对称：对称轴考查题型一图形的平移典例1．（2022·广西·统考中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平移的特点分析判断即可．【详解】根据题意，得不能由平移得到，故A不符合题意；不能由平移得到，故B不符合题意；不能由平移得到，故C不符合题意；能由平移得到，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了平移的特点，熟练掌握平移的特点是解题的关键．变式1-1．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选C．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．变式1-2．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（

）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【答案】B【分析】根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可【详解】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键．变式1-4．（2019·四川乐山·统考中考真题）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题.【详解】考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.【点睛】本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.考查题型二利用平移的性质求解典例2．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm【答案】D【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．【详解】解：由题意，BD=cm，由平移性质得=1cm，∴点D，之间的距离为==（）cm，故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．变式2-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（

）A．96 B． C．192 D．【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解．【详解】解：依题意为平行四边形，∵，，AB＝8，．∴平行四边形的面积=故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．变式2-2．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．变式2-3．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．【答案】4【分析】由正方形边长为3，可求AC＝3，则AA′＝AC＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，∴AC＝3，∴AA′＝AC＝，∴A′C＝2，由题意可得重叠部分是正方形，∴重叠部分的正方形的边长为，∴S重叠部分＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．变式2-4．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）【答案】AB=BE（答案不唯一）【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．【详解】解：添加AB=BE，∵将沿着方向平移得到，∴AB=DE，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB=BE，∴四边形是菱形，故答案为：AB=BE（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键．变式2-5．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．【答案】【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图是OB的中点,OA＝2，＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，阴影部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．变式2-6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，∴四边形B′C′CB为平行四边形，∵BB′⊥BC，∴四边形B′C′CB为矩形，∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC=S矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．变式2-7．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在中，．把沿方向平移，得到，连结，则四边形的周长为_____．【答案】【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵，∴AB=2BC=4，∴AC=，∵把沿方向平移，得到，∴，，，∴四边形的周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．考查题型三平移（作图）典例3．（2022·陕西·统考中考真题）如图，的顶点坐标分别为．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是．(1)点A、之间的距离是__________；(2)请在图中画出．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由得，A、之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出，进而画图即可．【详解】（1）解：由得，A、之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．（2）解：由题意，得，如图，即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．变式3-1．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转后的图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．【详解】（1）画法不唯一，如图1或图2等．（2）画法不唯一，如图3或图4等．【点睛】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．考查题型四平移的坐标变化规律典例4．（2021·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【详解】解：根据题意，从点到点，点的纵坐标不变，横坐标是，故点的坐标是．故选：D．【点睛】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．变式4-1．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．【答案】【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案．【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度，∴点A向右边平移了4个单位与C对应，∴即故答案为：【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题的关键．变式4-2．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________．【答案】（1，3）【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），又∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到∵B（﹣4，2）∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）故答案为：（1，3）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．变式4-3．（2021·山东淄博·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为__________．【答案】【分析】先由点的坐标关于坐标轴对称的方法得出点的坐标，然后再根据点的平移可进行求解．【详解】解：由点关于轴的对称点为可得：，∴将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为；故答案为．【点睛】本题主要考查点的坐标平移及对称，熟练掌握点的坐标平移及对称是解题的关键．变式4-4．（2021·湖北·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．【答案】【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：由题意得：，即，，即，，即，，即，观察可知，点的坐标为，其中，点的坐标为，其中，点的坐标为，其中，归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，，点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．考查题型五利用旋转的性质求解典例5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】如图，过作于求解结合旋转：证明∠B=∠A'B'C=60°,BC=B'【详解】解：如图，过作于由，结合旋转：∴∠B=∴△B∴∠BC∴∠A∴AQ=AC∴A到的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．变式5-1．（2022·宁夏·中考真题）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．【答案】50【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．【详解】解：将绕点顺时针旋转至，∴，∵∠AOB=55°，∴，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．变式5-2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______．【答案】2【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于，将绕点逆时针旋转，，，是等边三角形，，，，，，点到的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．变式5-3．（2021·青海·统考中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】4cm2【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4cm2．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．变式5-4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②，理由见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解；（2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解．（1）解：．证明：∵是等边三角形，∴，．∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴是等边三角形，∴，由（1）得，∴；②过点A作于点G，连接AF，如下图．∵是等边三角形，，∴，∴．∵是等边三角形，点F为线段BC中点，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．变式5-5．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为，的平分线与射线相交于点E，连接．(1)如图①，当时，的度数是_____________；(2)如图②，当时，求证：；(3)当时，请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）根据旋转的性质可知，当时可根据等腰三角形的性质计算的角度，再由，是的平分线可知，由三角形外角的性质，通过即可得出答案；（2）延长到F，使，连接，先证明，可推导、、，再由已知条件及等腰三角形的性质推导，然后证明，推导，在中，由三角函数可计算，即可证明；（3）分两种情况讨论：①当时，借助（2）可知，再求的值即可；②当时，在线段BD上取点F，使得，结合（2）中，可知、，易证明，可推导、、，，在中，由三角函数可计算，即可推导，再求的值即可．【详解】（1）解：由旋转可知，，当时，可知，∵，是的平分线，∴，∴．故答案为：；（2）证明：延长到F，使，连接．∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴；（3）①当时，由（2）可知，，，∴，当时，可知，∴；②当时，如下图，在线段BD上取点F，使得，由（2）可知，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴，当时，可知，∴．综上所述，当时，或．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形．变式5-6．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，．∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．变式5-7．（2021·贵州黔西·中考真题）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．【答案】（1）见解析；（3）正确，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°【详解】解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE则∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面积相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．变式5-8．（2021·湖南株洲·统考中考真题）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．【答案】（1）米；（2）4米．【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；（2）连接A1A2，则必过点D1，分别求出A1A2和的长，即可求出点A经过的路程．【详解】解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性质是解题的关键．考查题型六旋转（作图）典例6．（2022·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（3）利用弧长公式求解即可．（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，(即△A2OB2）即为所求；（3）解：在中，，．【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．变式6-1．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，．（1）画出与关于y轴对称的；（2）将绕点顺时针旋转90°得到，弧是点A所经过的路径，则旋转中心的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据网格结构找出点C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用网格特点和性质的性质，作AA2和CC2的垂直平分线，它们的交点即为点；（3）结合图形的特征，利用勾股定理求出旋转半径，利用扇形面积和三角形面积求出阴影部分的面积．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，旋转中心的坐标为（3）如图：设旋转半径为r，则，∴阴影部分的图形面积为：【点晴】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及阴影部分面积的计算．熟练掌握网格结构、勾股定理、图形变换的性质及图形面积公式是解题的关键．变式6-2．（2020·湖北武汉·中考真题）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；（2）连接BD，并连接（4,2），（5,5）点，两线段的交点即为所求的点E.（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.【详解】解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．考查题型七旋转的坐标变化规律典例7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，由图像可知A'（-1，-3），故选：C．【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．变式7-1．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转90°，得到线段，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，逆时针旋转90°作出，过A作轴，垂足为B，过作轴，垂足为，证明，根据A点坐标为，写出，，则，，即可写出点A的坐标．【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出，过A作轴，垂足为B，过作轴，垂足为，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∵A点坐标为，∴，，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，证明是解答本题的关键．变式7-2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．变式7-3．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（

）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3【答案】A【详解】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选A．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移．掌握旋转和平移的性质是解题关键．变式7-4．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于正六边形每次转45°，根据，则的坐标与的坐标相同，求得的坐标即可求解．【详解】解：将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，当时，则的坐标与的坐标相同，则如图，过点作于，过点轴于点，，，，，正六边形的一个外角，，，，，，，，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正六边形的性质，正多边形的外角和，内角和，求得的位置是解题的关键．变式7-5．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．【详解】过点A作于点C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴点A的坐标是．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．变式7-6．（2021·四川达州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，，点在第四象限，，，点的横坐标为，纵坐标为，，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．变式7-7．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是________．【答案】（-2023，2022）【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，，由，推出．【详解】解：将顶点绕点逆时针旋转得点，，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，；故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，找到规律再利用规律求解．考查题型八旋转综合题（与线段有关）典例8．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．【答案】【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明（SAS），可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∴∠∴∠ADE=∵DE=DF，∴（SAS），∴∴当三点共线时，最短，则最短，∵位BC中点，∴此时此时所以CF的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．变式8-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD≌△FGM；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】(1)且(2)①见解析；②成立，理由见解析【分析】（1）先判断出，得出，，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理、三角形外角和定理，即可得出结论；（2）①先判断出，再判断出，即可得出结论；②由①知，，得，得出，根据题（1），得出，得，得．又根据点是的中点，是的中位线，等量代换得．根据得，且，推出，又根据，同旁内角互补，得，即．（1）解：∵四边形ABCD是正方形∴，∵为等腰直角三角形∴∴CE＝CF，∴∴，∵点是的中点∴∴∵为中点，为中点∴是的中位线∴，∴，又∵在中∴且∴∵∴∴∴∴故且．故答案是：DG=PG且DG⊥GP；（2）①证明：∵四边形是正方形，∴∵点是的中点∴∴在和中∴解：②（1）中的结论且成立证明：由①知，∴，∴∴∵∴又∵，∴∴，∵点是的中点∴又∵为中点，为中点∴是的中位线∴，∴又∵∴∴∴又∵∴∴∴故且．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是全等三角形性质，三角形中位线定理，等量代换的转换运用．变式8-2．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．【答案】(1)见详解(2)或(3)【分析】（1）证明即可得证．（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．（1）如图所示，由题意可知，，，，由旋转性质知：AE=AF，在和中，，，．（2）当点E在BC上时，在中，，，则，在中，，，则，由（1）可得，，在中，，，则，当点E在CD上时，如图，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的长为或．（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．在与中，，，，即，，，，在与中，，，，即，，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，，由题意可知，，在与中，，，，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于，，，故四边形DQRK是矩形；，，，，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．考查题型九旋转综合题（与面积有关）典例9．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践知识再现如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．问题探究如图，中，．（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．【答案】知识再现；问题探究：（1）；（2）；理由见解析；实践应用：（1）见解析；（2）．【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明．(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．【详解】知识再现：解：中，，，，，，，故答案为：；问题探究：解：中，，，，，故答案为：；解：中，，，过点作交于，在等边三角形中，，，，，同理可得，，，；实践应用：证明：设，，，，，，是等边三角形，是等边三角形，，，，是等边三角形，四边形是平行四边形，，，是直角三角形，，，；解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，是直角三角形，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．变式9-1．（2022·江西·统考中考真题）问