2021届全国高考数学模拟预热卷(一)附答案解析

2021届全国高考数学模拟预热卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设me/?,则集合｛x|/-mx-1=0｝的真子集的个数为（）

A.0B.1

C.3D.与瓶的取值有关

2.若复数z=誓，且z6R,则实a=（）

A.1B.-1C.0D.2

3.3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能

选聘上，每名大学生最多去一个单位），则不同的选聘方法种数为（）

A.60B.36C.24D.42

4,等腰三角形一腰上的高是后，这条高与底边的夹角为聚曲，则底边长=（）

A.2B.遮C.3D.窑辰

公

5.“一世”又叫“一代”.东汉•王充《论衡•宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”,清代•段

玉裁（T说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”.而当代中国学者测算“一代”平均

为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年,

约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约

占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据

该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（）

A.23年B.22年C.21年D.20年

6.已知a=2打=g）T,c=2/og52，则a，b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

7.海上4、B两个小岛相距10九疝⑸从4岛望C岛和B岛成60。的视角，从8岛望C岛和4岛成75。的

视角，则B、。间的距离是（）

A.10V3nmileB.mileC.5V2nmileD.5V6nmile

8.已知函数/■（>）=/竽（=29：?1、，则关于方程/0|）=£1,（£1€/?）实根个数不可能为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知直线I：x=4是曲线C的准线，则曲线C的方程可能为()

22

A.x=-16'yB.y'=—16%C.-——4—3=1D.—4+—3=1

10.等差数列｛an｝的前项和为%,己知Si。=0,515=25,则()

A.a5=0B.｛6｝的前n项和中Ss最小

C.叫的最小值为-49D.手的最大值为。

11.已知曲线C：mx24-ny2=1,下列说法正确的是()

A.若zn=n>0,则C是圆，其半径为理.

n

B.若m>0,九=0,贝IC是两条直线.

C.若n>m>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上.

D.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=土斤

12.下面说法正确的是()

A.a1”是“a>1”的必要不充分条件

B.命题“任意xeR,则/+%+1<0”的否定是“存在XWR,则/+%+120”

C.设x,yeR,则“/+y2>4”是“x>2且y>2”的充分不必要条件

D.设a,bGR,则“aK0”是“ab丰0”的必要不充分条件

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知抛物线C：y2=2Px的焦点坐标为F(2,0),则p=；若已知点4(6,3),且点M在抛物

线C上，则|M*+|MF|的最小值为.

n

14.在数列｛a"中，的=-2,a2=3,a3=4,an+3+(-l)an+1=2,记％是数列｛aj的前n项和，

贝1JS40-.

15.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长

方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是.

16,已知正四棱柱的底面边长为2cm,侧面的对角线长是那么这个正四棱柱的体积是

_____cm2.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知AABC中，2夜(siMA—sin2c)=(a—b)sinB,外接圆半径为鱼.

⑴求H

(2)求△ABC面积的最大值.

18.已知数列｛4｝的通项公式为0n=3"T,在等差数列｛%｝中，%>0(ne1*),且瓦+b2+b3=15,

又ai+b「a2+b2><13+%成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛an•%｝的前n项和

19.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城2009年11月11日举办的网

络促销活动，双十一已成为中国电子商务行业的年度盛事，开且逐渐影响到国际电子商务行业，

某网络促销平台从去年的双十一当天的消费者中随机抽取500名，调查他们的消费金额(单位：

百元)情况，根据调查的结果绘制了频数分布表，其中消费金额在[9,11),[1,13),[13,15]的频

数成等比数列.

消费金额/

[1(3)[3,5)57)口9)[9,11)[1143)[13,15)

百元

频数4060120140mn20

(1)求出m,n的值，并估计这500名消费者消费金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表)；

(2)用分层抽样的方法从消费金额在[3,5),[5,7),[9,11)内的消费者中抽13人，再从这13人中随

机抽取3人，记抽取的3人中消费金额超过平均数的人数为X,求X的分布列和数学期望.

20.如图，正方形4DEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD1CD,AB//CD,AB=AD=

，C。=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.

(1)当点”是EC中点时;求证：〃平面4DEF；

(2)当EM=2MC时，求平面80M与平面ABF所成锐二面角的余弦值.

M

21.对于任意xe［-2,1］时，不等式m%3一d+4》+320恒成立，求m的范围.

22.(本小题满分12分)已知椭圆曰M书］=4/*热冲瞰的左、右焦点分别为魇(7噂娜，

逋曲

且经过定点串&乌

(1)求椭圆公的方程;

(2)设直线解.=巫您漕砥交椭圆鲜于城,.激两点，求线段融•的长.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：・・・niWR,x2-mx-1=0,

・•・△=(―m)2+4=m2+4>0,

，集合｛'I7-mx-1=0｝中有两个元素，

工集合｛%|%2一mx-1=0｝的真子集的个数为2?-1=3.

故选：C.

由4=(-m)24-4=m24-4>0,得到集合-mx-1=0｝中有两个元素，由此能求出集合

｛x\x2-mx-1=0｝的真子集的个数.

本题考查集合的真子集的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义、根的判别

式的合理运用.

2.答案：C

解析：解：复数Z="=T(Q+l)=_山+],且ZWR,则实Q=0.

I-1-1

故选：C.

利用复数的运算法则、复数相等、复数为实数的充要条件即可得出.

本题考查了复数的运算法则、复数相等、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

3.答案：A

解析：解：根据题意，分2种情况讨论：

①4人中选聘3人，有&=24种选聘方法；

②4人全部选上，有废题=36种选聘方法，

则有24+36=60种选聘方法.

故选：A.

根据题意，按选聘的人数分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题.

4.答案：A

解析：试题分析：・•・高与底边的夹角为题铲，二等腰三角形的底角为趣(，设底边长为工,则由图知

,■­.X=2,故选A

笳

考点：本题考查了直角三角形的性质

点评：熟练运用等腰三角形的性质及直角三角形中的边角关系是解决此类问题的关键，属基础题

5.答案：B

解析：解：设该机构认为一代为x年，由题意可知企业寿命的频率分布表为：

家庭企业寿命频率

(0,x]52%

(x,2x]28%

(2x,3x]14%

(3x,4x]4%

故家庭企业的平均寿命为0.52x0.5x+0.28x1.5x+0.14X2.5%+0.04x3.5x=26,

解得x«22.

故选：B.

求出家庭企业传到第n代的频率分布表，根据平均值列方程计算即可.

本题考查了学生阅读理解能力，考查连续型随机变量的平均值计算，属于基础题.

6.答案：B

解析：解：<a=212>21=2>b=224>a=212,

c=210gs2=logs4<logs5=1,

■■c<a<b.

故选：B.

利用指数函数、对数函数的单调性求解.

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性

的合理运用.

7.答案：D

解析：解：根据题意：不难发现人4B=60°,Z.CBA=75°,那么：4BCA=45°,

A,B两个小岛相距lOnmile,即：AB=lOnmi/e,

利用正弦定理:AB----BC--------

sinCsinA

1()BC

即:

45c

解得：BC=5y/6nmile

故选：D.

根据题意，不难发现NC4B=60。，ACBA=75°,A,B两个小岛相距10nm〃e,利用正弦定理建立

关系，化简即可求B,C间的距离.

本题考查了正弦定理在实际当中的应用，读懂题意,建立关系是解题的关键.属于基础题.

8.答案：D

解析：解：方程/(|x|)=a,(aeR)实根个数

即为函数y=/(|x|)和直线y=a的交点个数.

由y=/OI)为偶函数，可得图象关于y轴对称•

作出函数y=/(|x|)的图象，如图，

平移直线、=。，可得它们有2个、3个、4个交点.

不可能有5个交点，即不可能有5个实根.

故选：D.

由题意可得求函数y=/(|x|)的图象和直线y=a的交点个数.作出函数y=f(|x|)的图象，平移直线

y=a,即可得到所求交点个数，进而得到结论.

本题考查方程的实根个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的方法，考查判断和作图能力，

属于中档题.

9.答案：BD

解析：解：/=-16y的准线方程为：y=4;

y2=-i6x的准线方程为：%=4；

?一?=1的准线方程为：x=土/

式+g=1的准线方程为：%=±4；

43

直线八支=4是曲线C的准线，则曲线C的方程可能为：BD.

故选：BD.

求出抛物线以及椭圆、双曲线的准线方程，即可得到结果.

本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

1。答案:BC

解析：解：•••等差数列｛册｝的前n项和为Sn,510=0,Si5=25,

+45d=0

115al+105d=25'解得由=-3,d=I，

•••a7t=1(2n-11),a5=-故A错误；

S"="标—lOn)=g(n-5)2-g,故8正确；

2

nSn=y-yn.设函数/(x)=?一弓/@>0),

则/'(x)=x2_gx,当xe(o,g)时，尸(久)<(),

当xG(g,+8)时，f，(x)>0,f(X)min=/(g)，

on

6<y<7,且/(6)=-48,/(7)=-49,

・•.ziSn的最小值为-49,故C正确；

^=1(n-10),没有最大值，故。错误.

故选：BC.

由等差数列前n项和公式列出方程组，能求出ai=-3,d=|,利用等差数列的性质能求出结果.

本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.答案：ABD

解析：解：若m=n>0,则C是/+y2=3,表示圆，其半径为西，所以A正确；

nn

若m>0,n=0,则。是=i,是两条直线，所以8正确；

42y2

若n>m>0,则C是H++=1,是椭圆，其焦点在x轴上，所以C不正确：

mn

若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±&x,所以。正确.

故选：ABD.

通过小，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项.

本题考查切线方程的应用，考查椭圆、双曲线、圆的方程对应的图形的判断，是基础题.

12.答案：ABD

解析：解：*<1”推不出“a>l”，反之成立，

所以“三<1”是“a>l”的必要不充分条件，所以4正确；

a

命题“任意x€R,则/+乂+1<0”的否定是“存在X6R,plijx2+x+l>0",

满足命题的否定形式，所以3正确；

设x,yeR,则+y2>4”推不出“x22且y22”，反之成立，

所以设x,yeR,则“x2+y2N4”是“X22且y22”的必要不充分条件，所以C不正确；

设a,beR,则“a*0”推不出“ab丰0”，反之成立，

所以设a,bER,则“a丰0”是“ab*0”的必要不充分条件，所以。正确.

故选：ABD.

利用充要条件的判断方法，判断4的正误：判断命题的否定形式判断8；充要条件判断选项C、。即

可.

本题考查命题的真假的判断，考查充要条件以及命题的否定形式的判断，是基础题.

13.答案：4；8

解析：解：抛物线C：f=2px的焦点坐标为F(2,0),贝如=4；

已知点4(6,3),且点M在抛物线C：y2=8x±,可知4的抛物线内部，则|M川+|M用的最小值为M到

抛物线的准线的距离；抛物线的准线方程为：%=-2,则|M4|+|MF|的最小值为：8.

故答案为：4；8.

利用抛物线的焦点坐标，真假求解P即可；判断4的位置，利用抛物线的性质求解|M*+|MF|的最

小值.

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.

14.答案：460

n

解析：解：an+3+(-l)an+1=2,

n=2k-l(k€N*)时，a2k+2一a2k=2,即数列｛即｝的偶数项成等差数列，公差为2.

n=2k-2(keN*)时，a2k+1+a2k^=2,即数列｛aj的奇数项满足相邻两项的和为2.

•­•S40=+a3H--------F。39)+92+。4----------。40)

20X19

=2x10+20x3+---x2

=460.

故答案为：460.

an+3+(-l)na"+i=2,n=2k-l(k6N*)时，a2k+2-a2k=2,可得数列｛&J的偶数项成等差数

列，公差为2.n=2k-2(kCN*)时,a2k+1+a2k-i=2,可得数列的奇数项满足相邻两项的和

为2.即可得出.

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

15.答案：5V5

解析：解：有以下三种情形：

(1)重叠的是长、宽分别为5cm,4cm的面，

则新长方体的对角线长为V52+42+62=y/77cm

(2)重叠的是长、高分别为5cm,3cm的面，

则新长方体的对角线长为V52+32+82=V98=7V2cm

(3)重叠的是宽、高分别为4cm,3c?n的面，

则新长方体的对角线长为V42+32+IO?=V125=5V5cm

故在这些新长方体中，最长的对角线的长度是5bcm.

故答案为5V^cm.

分三种情形讨论：(1)重叠的是长、宽分别为5cm,4cm的面，(2)重叠的是长、高分别为5cm,3cm的

面，(3)重叠的是宽、高分别为4cm,3cm的面.利用长方体的对角线公式即可求得.

本题以长方体为载体，考查长方体的对角线的计算，考查分类讨论的数学思想.

16.答案：4>/3

解析：解：如图，为正四棱住，

底面边长AB=2,ABX=V7，则BBi=J(b)2-4=遍.

・••这个正四棱柱的体积是U=2x2xV3=4V3.

故答案为：4W.

由题意画出图形，求出四棱柱的高，代入棱柱体积公式求解.

本题考查棱柱体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题.

17.答案：解：(1)由2戊(siMa—sin2c)=(a—b)•siziB得2近(a-哀

又R=y/2,

•••a2—c2=ab-b2.

a2+b2—c2=ab.

・•・cosC=----------=

2ab2

又•・.0°<C<180°,AC=60°.

(2)5=|absinC=|xyah

=2y/3sinAsinB=2y/3sinAsin(1200—A)

=2y/3sinA(sinl20°cos?l-cosl20°si7iA)

=3sinAcosA+V3sin2/1

=-sin2A——cos2A+—

222

=V3sin(2/1-30°)+y.

.•.当24=120°,即A=60°时，Smax=手.

解析：(1)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化才边的关系，把外接圆半径代入求得。2+加-

c2=ab,根据余弦定理求得cosC的值，进而求得C.

(2)根据三角形的面积公式求得三角形面积的表达式，利用两角和公式化简整理后，根据角A的范围

求得面积的最大值.

本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了考生分析问题和解决问题的能力.

n

18.答案:(l)hn=2n+1(2)7^=n-3.

n-1

解析：(1)an=3(n6N*),ar=1,a2=3,a3=9,在等差数列｛“｝中，br+b2+b3=15,

b2=5,又由+瓦,a2+b2>a3+生成等比数列.

设等差数列｛bn｝的公差为d.

(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,

•••%>0(neN*),.•.舍去d=-10,取d=2,

**,b]=3,：■b,=2n+1.

2n2n

(2)由(1)知，Tn=3X1+5X3+7X3+-+(2n-1)-3-+(2n+1)-3一】，①

37^=3x3+5x32+7x33+-+(2n-1)-3^+(2n+l)-3n,②

①-②得：-27；=3x1+2x3+2x32+…+2x3n-1-(2n+1)•3n=3+2(3+32+334-

翼-赞

711nnnnn

…+3-)-(2n+1)-3=3+2x-(2n+1)-3=3-(2n+1)-3=—2n-3.-Tn=

n・3n.

19.答案：解：（1）由题意可得｛n2=20m

40+60+120+140+G+几+20=500,

解得m=80,n=40,

2X40+4X60+6X120+7X140+10X80+12X404-14X20

平均数为=7.44.

500

（2）由题意可知,消费金额在［3,5）,［5,7）,［9,11）之间的总人数为60+120+80=260（人）,

又60x巨=3（人），120X9=6（人），80x'=4（人），

即从［3,5）中抽3人,从［5,7）中抽6人，从［9,11）中抽4人,

随机变量X的所有可能取值为0，1,2,3,

因为X需高于平均数,

pkp3-k

所以P(X=k)=笔垃(k=0,1,2,3),

C13

所以随机变量X的分布列为

X0123

84144544

p

286286286286

所以E(X)=0x意+1X袭+2X蕊+3'短=修

解析：（1）根据已知列出关于m,n的方程组，解之即可求得m，n,由平均数公式即可求得结论;

（2）利用分层抽样分别求出消费金额在［3,5）,［5,7）,［9,11）中抽取的人数，由题意可得随机变量X的

所有可能取值为0,1,2,3,P（X=k）=阴超（k=0,1,2,3）,计算可得X的分布列，从而可求数学

C13

期望.

本题主要考查离散型随机变量的分布列以及方差的求法，属于中档题.

20.答案：（1）证明：取CE中点N,连接MN,AN,如图，

在AEOC中，M、N分别为EC,ED的中点,

所以MN//CD,且MN=^CD.

由已知48〃C0,AB=|CD,

所以MN〃4B,且MN=AB,

所以四边形4BMN为平行四边形，所以BM〃4N,

又因为ANu平面40EF,且BMC平面力DEF,

所以BM〃平面4DEF；

(2)解：以DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图,

vAB=AD=-CD=2,

2

•・•EM=2MC,

...CM=1CE=

又••・DB=(2,2,0)，DM=DC+CM=(0,1,|),

设平面BCM的法向量为冗=(x,y,z),

则恒％°,

㈤•DM=0

(2x+2y=0

即卜,2△，

"y+y=o

令y=-l,得E=(1,-1,4),

可知：AD1AF,ADLAB,

又AFn4B=A,AF,ABu平面ABF,

所以4。1平面4BF,

所以可取平面4B