2021届人教A版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.在菱形A8CD中对角线AC=4,E为S的中点，则AEAC=（）

【答案】C

【解析】

试题分析：不妨设菱形A8C。为正方形，对角线长为4,故正方形边长为2加,以

ARA。分别为轴建立平面直角坐标系，则后（血,2血）,。（2血,2后），故

AE-AC=4+8=12.

考点：向量数量积.

【易错点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，

二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系,

可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关

角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.

a

2.若非零向量〃的夹角为锐角且面=cos。，则称“被人“同余”.已知人被““同

余''，则a—8在a上的投影是（）

222222

a-ha-hb-aa*-〃

A，B,CD.

【答案】A

【解析】

\b\I，..

根据。被a“同余”，贝II有H=cos。，所以网=|a|cos（9,a—b在a上的投影为：

(a-b}-a_a-\b\-\a\cos0

，故选A.

3.在正方形中，点E为。。边的中点，则（）

D

--------------'B

A.AE=AB+-ADB.AE=AB--AD

22

C.AE=-AB+ADD.AE=--AB+AD

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量加法、数乘运算直接求解.

【详解】

因为点E为。。边的中点，

所以=+=

2

故选C.

【点睛】

本题主要考查了向量的加法运算及数乘运算，属于基础题.

__—•.5一・29

4.已知儿8是圆O：x-+J-=4上的两个动点，AB=2,0。=3。4一£。8.若河是

线段48的中点，则无.而的值为（）.

A.3B.26C.2D.-3

【答案】A

【解析】试题分析：因为点M是线段的中点，所以疝=；历+而）,

\OA\=\0B\=\AB\=2,所以A4BC是等边三角形，即<OA,OB>=600，

OJOB=2x2xcos600=2

OCOA/|[-O4+-5B|=-O4：--OB2+-OAOB

（33人22J632

=—x2:--x22+—x2=3，故选A.

632

考点：向量数量积

【方法点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，l.-一般求向量数量积可用定义法求解,

试卷第2页，总15页

ab-cos<5j>,一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角;

2.还可利用坐标法表示数量积万$=.0（+乂“，需建立坐标系解决问题；3.还可将已

知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量，比如本题.

|耳=同，则以下四个向量中，模最小的为（）

5.已知非零向量4*2不共线，且

1112

A.B・4

2313

C.铲2D.-e,+-e2

【答案】A

【解析】

【分析】

计算出四个选项中各向量的模长，比较大小后可得出正确选项.

【详解】

q,为不共线的非零向量，且同="|，因此设4,«2为单位向量，夹角为、，

1ii1u-]ir2广52建311131r5

则耳弓+万6,--，一刍H—e,—，-CiH—

33-414-

因此四个向量中模最小者为

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于中等题.

6.已知P为AABC内一点，且，3P4+2尸B+PC=O,则为()

A.1:2B.1:3C.1:5D.1:6

【答案】D

【解析】

BDA

如图：设D、E：分别为A3、AC的中点，V3PA+2PB+PC=Q>

PC-PB=-3CPB+PA）>BC=-3x2PD=-6PD<同理由

CPA+PC）=-2CPB+PA），即2PE=—2xPD，：.PE=-；BC•:.P到AB的距

离等于。到A3的距离的，，设A0C的面积为S,则S“A8=9S,故SA阳：枭为

66

1:6,故选D.

点睛：本题考查向量在几何中的应用、共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比

等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想；根据已知的等式变形可得

BC=-3x2PD=-6PD，PE=一;BC,从而得出尸到A3的距离等于C到AB的

距离的,即可解决问题.

6

7.设a=（cosa,g）,=f|,sina1,且々//人则锐角&为（）

A.30B.45C.60D.75

【答案】B

【解析】

分析：先根据向量平行坐标表示得si比《?«=--再根据二倍角公式以及特殊角三角

2

函数值得结果.

详解：因为。//匕，所以siwa?a=-

2

所以sin勿？=,

TTIT

因为a为锐角，因此2a7=—，a=一,

24

选B.

点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类

问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的''数量关系”，或转化为

三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.

8.已知向量］=（3J），3=（2左-Lk），a^b>则k的值是（）

A.-1B.C.

【答案】B

【解析】

【分析】

试卷第4页，总15页

【详解】

试题分析：•••]=(3J)，b=(2k-Lk)>al.b'

；.3x(2k-1)+k=7k-3=0

3

解得k=-.

7

故选B考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.

9.若向量8=(1,2),则,+6『=|a|2+|。『，贝！|〃=().

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】

••响量〃=(〃/)，6=(1,2),；.a+/?=(〃+l,3),又：|；+)|2=|二『+|Q,?.

(〃+1)2+9="+1+5,解得〃=一2,故选C.

10.已知向量a=(2,1),=(x,-2),若ab,则忖=()

A.25/5B.20C.V5D.5

【答案】A

【解析】

因为ab,故由向量平行的坐标运算得到~4=x,此时。=(-4,-2),

网=,16+4=同=2技

故答案为A.

11.已知向量W，E满足q=2,|%讶=2,|。讶=2代，则向量W与4的夹角为()

A.2LB.2ZLc.^2LD.^-―

4346

【答案】C

【解析】

试题分析：根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可

解：设Z与b的夹角为。，

al=2>a+bl=2,a-bl=2-\/5>

■十b『Ta1+1bP+2a*b=4,

Ia-bl2-al-+ibb-2a*b=20,

a-b=-4,|bl=272

/.cose=——--------------1=.=-2^2.,

|a|>|b|2X2加2

0WJt,

e=3兀,

4

故选：c.

12.已知向量4，匕满足时=2,忖=1,卜+2分|=26,那么a与〃的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据模的向量运算，将卜+2q平方后化简，即可由平面向量的数量积定义求得a与/，的

夹角.

【详解】

向量a，b满足卜|=2,忖=1,卜+2。=26,

则（a+2h『=（2A/3）2

所以a+4a./?+（2Z?）=12,代入忖=2,忖=1,

可求得a,b=1，

由平面向量数量积定义可知，设〃与人的夹角为6,

则a-Z?=|fl|-|z?|cos^=l,

则cos6=4，

2

因为（）°«8<180°,

所以6=60。,

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量夹角的求法，平面向量数量积定义及模的运算，属于基础题.

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二、填空题

13.AABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若P为该平面内一点，0为坐标原点,

f1\DABC)

入>0,U.>Q,OP=OA+XAB+-BC，。尸=OB+〃-------------H----则---当-----------

\2)(|B4|sinA|SC|sinC)

2aPA+乖1bPB+2辰PC=G时，cosC=

【答案】昱

2

【解析】

【分析】

根据平面向量的运算法则可得点P在中线AD上，由正弦定理结合平面向量的加法运

算法则可得P在中线BE上，从而可得点P是三角形的重心，可得PA+P8+PC=0,

结合2〃/14+66/<8+2百。/5。=0，可设a=5''=耳"=］而，利用余弦定理

可得结果.

【详解】

如图，设。是8C的中点,

AB+-BC=AD,

2

OP=OA+A\AB+~BC\,AG(0,+co),

:.OP^OA+AAD>

:.PA=AAD

•・•点P在射线A。上，

(DARC\

由OP=04+〃,i------+|~i--------,由正弦定理可得

BAsinABCsinC

由网sinA=,4sinC,

设18dsinA=忸。sinC=m,

：.OP=OA+^-（BA+AC）,

PA=^-（BA+BC）,

mv7

PA与BA+BC共线，设E是AC的中点,

即尸在中线BE1上，.•/是AA3C的重心，

PA+PB+PC=O>

又2aPA+乖1bPB+2瓜PC=0.

可设2a==2拒c-t，

得a=:■力=,c=—产,

2V32V3

0上

由余弦定理可得，cosC=43产=£,故答案为巫.

2xb422

273

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题.向量的运算有

两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）

平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两

箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析儿

何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）.

14.已知,卜忖=2,a»b=-2,且（a+0）_L（a+防），那么实数f的值为

【答案】-1

【解析】略

15.若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且同=1,同=ljc|=3,则|a+b+c|等

于.

【答案】2或5

【解析】

平面向量。，dc两两所成的角相等，.•.其夹角为0。或120°.

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当夹角为。时,|a+Hc|=同+例+同=1+1+3=5；

当夹角为120°时,|a+1+c|=J(a+1+c)2=2.

综上所述：|。+力+c|等于2或5.

故答案为2或5.

16.已知A、B、C是直线上的不同的三个点，点。不在直线AB上，则关于X的

方程X2OA+xOB+AC=0的解集为.

【答案】0

【解析】

【分析】

根据三点共线得向量共线，再根据共线向量定理得AB=XAC，然后根据三角形减法法

则以及平面向量基本定理可解得％=-1,最后验证可知不符合题意，故解集为空集.

【详解】

因为A、B、C是直线上的不同的三个点，

所以与AC共线，

根据共线向量定理可得,存在实数2eA,使得AB=AAC，

因为所以

所以。8—04=AAC，

所以AC=—LQA+LOB,

2A

又由已知得AC=-dQ4一XOB,

1,1

根据平面向量基本定理可得，一二=―一且=—%,

A2

消去2得V=—x且xoO,

解得x=—1,2=1,

当2=1时,AB=4C,此时B与。两点重合，不符合题意，故舍去，

UULULUULlll1

故于X的方程X2OA+xOB+AC=0的解集为0,

故答案为：0.

【点睛】

本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理，三角形减法法则的逆运算，属于中档

题.

三、解答题

17.(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)

已知向量满足：a=1,历=4,且a、b的夹角为60°.

—>T

(1)求2a-b.a+b

(2)a+b±Aa-2bL求4的值.

【答案】(1)-12；(2)2=12

【解析】

试题分析：(1)由题意得am=k,qcos60=lx4xg=2,

/.(2a-/?)•(〃+/?)=2a+ab-b=2+2—16=—12

(2);(a+力)_L(4a-2〃)，・'.(Q+〃)・(％Q-2人)=0,

22

AAa+(A-2)a-b-2b'=0,二2+2(2—2)—32=0,

4=12

考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的

充要条件

点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件

18.已知A,B,C分别为△4BC的三边a,b,c所对的角，向量加=(sinA,sin8),

n=(cosB,cosA),且/〃.〃=sin2C.

⑴求角C的大小；

(2)若sinA,sinC,sin5成等差数列，且CA-(A3-AC)=18,求边c的长.

jr

【答案】(1)y;(2)6

【解析】

【分析】

(1)由向量数量积的坐标运算及两角和的正弦公式可得：sin2C=sinC,再结合二倍角

的正弦公式即可得解；

(2)由正弦定理可得2c=a+6,结合题设可得岫=36,再由余弦定理。2=/+按一2a反os

试卷第10页，总15页

。运算即可得解.

【详解】

解：（1）由已知得m=sinAcos8+cosAsin8=sin（A+8）,

因为A+5+C=7T,

所以sin（A+B）=sin（兀一C）=sinC,

所以团•〃=sinC,又机.〃=sin2C,

所以sin2C=sinC,即2sinCeosC=sinC,

1JI

0<C<7Tf.\sinC>0,所以cosC=—,所以C=一.

23

（2）因为sinA,sinC,sin8成等差数列，

则2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c,=a+b.

因为CA・（AB—AC）=18WCA-C8=18，

所以abcosC=18,所以ab=36.

由余弦定理得c2=d2+b2—2ahcosC=（a+b）2—3ab,

所以c2=4c2—3x36,

所以/=36,所以c=6.

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算及两角和的正弦公式，重点考查了正弦定理及余弦定

理，属中档题.

UUI1UUU1

19.已知。为线段A3（所在的直线）外一个定点，T^OA=a,OB=b

（1）若见鸟是线段A3的三等分点，试用表示。1+0〃；

（2）若线段A3上有若干个等分点，能得到什么结论？请证明你的结论.（注：根据结

论的一般性程度予以不同得分）

【答案】（工）。6+。6=。+6（2）设4,4,4「一，41依次为线段48的〃等分

点，

则+。4,+。％---H0An_}=———,证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）取AB的中点M，根据平行四边形法则即可得到0片+OR=0A+03=a+。；

（2）根据第一问的处理办法，取的中点M，类似参照倒序相加法，即可得出结

论.

【详解】

（1）取43的中点M，《，鸟是线段4?的三等分点，则点M也是的中点，

根据平行四边形法则20M=OA+OB'20M=OF\+OP,

所以+=QA+0B=a+8

（2）设A，4,4,…，A,-I依次为线段AB的〃等分点，

则。A+OA+QA+i+QAi=—（a+b）,证明如下：

取AB的中点M，|44=忸4），则点M也是AAi的中点，

OAj+=OA+OB=a+b<

记c=3+%+%+…+气_1

4

则c=QVi+QV2+…+°V°2+QA

两式相加：2。=（04+041）+（04+。4,_2）+—+（04"-1+04）。=（"一1）（。+人卜

即+OA,+OAjH---F=———（a+£>）.

【点睛】

此题考查平面向量基本定理的应用，平行四边形法则的使用，熟记常见结论对于解题能

够起到事半功倍的作用.

20.已知a=（1,2）,/?=（—3,4）,c=a+4Z?（XGR）.

（1）当幺为何值时，|c|最小？此时C与人的位置关系如何？

（2）当幺为何值时，c与a的夹角最小？此时c与a的位置关系如何？

【答案】（1）当几=一（时Jc|最小,0，c；（2）4=0时,c与。的夹角最小，。与。平

行.

【解析】

试题分析：（1）由向量的坐标运算，可将同表示成关于丸的二次函数，利用二次函数的最

值求得向何时求最小值.由丸求得6,c,进一步可得两者位置关系；（2）由侬6=百/

试卷第12页，总15页

的坐标运算，转化为关于X的表达式，由夹角最小时,余弦值最大为1,可得关于2的方程,

解得；I,再求得此时。与a的坐标，可判断两者的位置关系.

试题解析：

(1)c=(1—3%2+44),

|c|2=(l-34)2+(2+4团2=5+1(M+25万=25(2+1)2+4

当；1=一1时,同最小，此时c=(翡)Ac=(-3,4>(|t)=0~j_c

.•.当4=-1时,同最小，此时bJ_c.

八ci,c5+541+4

(2)设。与。的夹角为仇则cose==/-----------i==-------

|a||c|V5V2522+102+5，5力+2/1+1

要C与。的夹角最小，则cos。最大，；owes〃，故cos。的最大值为1,此时6=0,

1十4

cos6=1,1,解之得;l=0,c=(l,2).

V5/l2+2/l+l

4=()时，。与a的夹角最小，此时c与。平行.

考点：1.向量的坐标运算；2.向量的数量积.

【方法点晴】本题主要考查向量的数量积和坐标运算.求解两个向量之间的夹角的步骤:

第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；第三步，根据公

式cos(a,可=黯,求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范

围在［0,句内及其余弦值，求出这两个向量的夹角.其中当向量的夹角为锐角时［石＞0,

且两向量不共线，当向量的夹角为钝角时G石＜0且两向量不共线.

21.设两个向量q,02,满足同=1,同=Lqg满足向量。=3+02，。=耳一左02

若4与的数量积用含有k的代数式f(k)表示.若忖=G忖.

(1)求/伏)；

(2)若4与02的夹角为60。，求左值；

(3)若。与人的垂直，求实数左的值.

后之+］

【答案】(1)f(k)=±~±(七0)；(2)%=1；(3)&=±1.

4Z

【解析】

试题分析：(1)根据平面向量的运算法则，由忖=6忖即：5=3/可知：

(攵4+02)2=3,—左02『整理化简得到了(%);(2)因为是夹角为60°的单位向