2021届人教a版（文科数学） 数系的扩充与复数的引入单元测试

2021届人教A版（文科数学）数系的扩充与复数的引入单元测

试

1、

若复数Z是纯虚数，且（-i）z=a+i（a€R,i是虚数单位），则2=（）

A.-2B.TC.1D.2

-2+3i

2、若z-i（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）

A.2iB.”ic.-2D.2

3、复数与匚=（）

A.2B.-2C.-2iD.2i

4、若复数z满足（3-4i）z=14+3i],则z的虚部为（）

44

A.YB.5c.5D.4

5、

如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+l+i|的最小值是（）

A.1B.&C,2D.下

）

6、已知i是虚数单位，加和〃都是实数，且加（l+i）=7+“i,则i竺t+工ni竺=（）

m-ni

A.-1B.1C.-iD.z

7、若复数1+小i与复数一小+i在复平面内对应的点分别为A、B,。为坐标原点,

则NAOB等于（）

JIJI

A•不B彳

HJI

C.-yD.5

8、

已知复数2=2+匕-1）心€对，若冈=4，则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

9、复数z=2二（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10^已知Z]=+z2=4+（5/72+6）i,其中m为实数，i为虚数单位,

若Z]-z2=0,则加的值为（)

A.4B.-1C.6D.0

11、若z(l+i)=?•(其中i为虚数单位)，贝U|z|等于()

AlR6「后n1

222

(1-T)2

12、复数，的值是()

A.2iB.-2iC.2D.-2

13、方程x2+4=0的根为.

14、在复平面内，复数」一+广对应的点位于象限

1-z-----------

15、复数(l+i)2的值是

16、复数(1-i)(2+3i)(i为虚数单位)的实部是.

1近

17、设3=-2+2i.

(1)求证：1+3+32=0；

(2)计算：(1+3—32)(1—3+32).

18、已知复数zl=2+ai(其中a£R且a>0,i为虚数单位)，且4为纯虚数.

(1)求实数a的值；

(2)若2=含，求复数z的模|z|.

19、计算(l-2i)(3+4i)(-2+i)

2+2iJ2

20、计算：⑴(1-i)24-(l+i)2012；

(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i")(4-3i).

21、在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-l+2i.

⑴求应，BC,获对应的复数；

(2)判断4ABC的形状；

(3)求△ABC的面积.

22、已知x、y为共物复数，且(x+y>—3xyi=4—6i,求x、y.

参考答案

1、答案c

a+i(a+i)(l+i)(a-1)+(a+l)i

由题意z-l-i-(l-i)(l+i)-2,

又由z是纯虚数，所以aT=。，解得a=l,故选C.

2、答案D

-2+3i

z=---------

计算出i,即可求出复数z的虚部.

详解

-2+3i(-2+3i)•(-i)

复数z的虚部是2

故选D.

名师点评

本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则.

3、答案C

4、答案B

设2=*+9(无丫6町，利用复数的模及除法运算，整理(3-4i)z=|4+3i|即可得解。

详解

设2=x+yi(x,y6R),由(3-4i)z=|4+3i|得：

55(3+4i)

x+yi=-----=-----------

3-4i25,

34

z=x+yi=-+-i

整理得：55,

4

所以z的虚部为：5,

故选：B

名师点评

本题主要考查了复数的模及除法运算，考查计算能力，属于基础题。

5、答案A

分析

直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹.然后利用点到直线的距离公式求解即可.

详解

：V|z+i|+|z—i|=2

...点Z到点A(0,-1)与到点B(0,1)的距离之和为2.

，点Z的轨迹为线段AB.

而|z+l+i|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.

数形结合，得最小距离为1

故选：A.

名师点评

本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答.

6、答案D

由根(l+z)=7+M得：m-7+(w-n)z=0所以，m-n-1,

考查目的：复数的概念与运算.

7、答案D

―►—►—►-►

由题意知，A(L小)、B(一小,1),所以。4=(1,5)、OB=(一小，1),则

=1X(-小)+,Xl=0,故

8、答案C

分析：首先根据复数模的计算公式，结合题中的条件，得出实数a所满足的等量关系式,

从而求得a的值，进一步求得复数z,根据其在复平面内对应的点的坐标，从而确定其所

在的象限，得到结果.

详解：根据题意可知同=后+(a-1)2=J2a、-2a+1=4,

化简得a:-2=0,解得@=-1或@=2,

当a=-l时，z=-l-2i,当a=2时，z=2+i,

所以对应的点的坐标为(-L-2)或(2,1),

所以对应的点在第一象限或第三象限，故选C.

名师点评：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数模的计算公式，复数

在复平面内对应的点，属于简单题目.

9、答案D

3_4

z

.••复数对应的点的坐标为5，-5,在第四象限.选D.

名师点评：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的

四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(«+/?z)(c+t/z)=^ac-bd)+(at/+be)i,(a,b,c.de7?).其次要熟悉复数相关基本概

念，如复数a+6(a,Z?eR)的实部为虚部为分、模为“广+2、对应点为(a,勾、

共转为a—4.

10、答案B

由题意可得｛可一痴=4=7

m=5m+6

考点复数相等

11、答案C

故选C.

考查目的：复数的运算与复数模的概念.

12、答案A

13、答案±2i

x12=—4=(2i)2=(-2i)2

14、答案第四

15、答案2i

16、答案5

17、答案(1)证明见。(2)4.

1亚

w=—+—i2

试题分析：(1)代入22,化简1+W+W=0,即可作出证明;

23

(2)由(1)知1+w+w=0,求解w=1,代入即可求解.

详解

1亚

(1)证明：•••3=一豆+2i,

近

亚

1票31

1A/311yj3---

+/2

(-4-4-2-2

：.«2=(-2+2i)2=4+2X(-2)X(2i)X2i)

1A/31A/3

.,.1+<O+«2=1-2+2i-2-2i=0.

⑵由1+3+Q2=0知，(3—1)(1+3+3?)=0,

/.3'—1=0,

AO3=L

・，・(1+3—『)(1—3+32)=(—232)(—23)=43=4.

名师点评

本题主要考查了复数的基本运算问题，其中熟记复数的四则运算公式和准确的复数化

简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

18、答案(1)a=2o(2)|z|=2o

222

试题分析：(1)根据复数的运算，求得zi=4-a+4ai,由zi为实数，列出方程组，即可

求解；

(2)化简复数得z=2i,利用复数的模的计算公式，即可求解.

详解

(l)z?=(2+ai)2=4—a2+4ai,

因为z彳为纯虚数，

4—a2=0,

所以［a>0,

解得a=2.

2+2i(2+2i)(1+i)4i

(2)zi=2+2i,z=1—i=(1—i)(1+i)=2=2i,

z=2.

名师点评

本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和

复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19、答案一20+15i

(1—2i)(3+4i)(—2+i)=(11—2i)(—2+i)=—20+15i(>

20、答案⑴寻%+(理•产“=、+(1r产

(1—1)21+i—2i2i

=i(l+i)+(T)l006=-l+i+(-i)1006

=­1+i—1=­2+i.

(2)原式=(4一i)(6-2