2021届新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科）附答案详解

2021届新疆高考数学第二次诊断性测试试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题“若|x|+|y|彳0,贝以70且yHO”的逆命题是（）

A.若|x|+\y\=0,则％=0且y=0

B.若|x|+\y\H0,则%H0或yW0

C.若％=0或y=0,贝!J|制+|y|。0

D.若％H0且y*0,则|无|+|y|工0

2.已知集合4={制％2v。},8={%|%V2},若/八8=力，则a的取值范围是（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（-00,4]D.（-8,4）

3.已知四边形/BCD为正方形,BP=3CP，AP与CO交于点E，若PE=mPC+nPD^则m-n=（）

A.-|B.|C.D.J

3333

4.已知a,b为非零实数，且a>b,则下列命题成立的是（）

A.a2>b2B.|a|>\b\C.（1）a<（|）*D.<1

5.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）

A.XB.SC.兽D.日

6.已知下列说法：

①如果数据X1，%2,--f的平均数是3方差是s2,则2%+3,2l2+3,…,24n+3的平均数和

方差分别是力+3和2s2+3；

②若事件4、B互为对立事件，则事件4、B满足P（4）+P（B）=1；

③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；

④至少有一个样本点落在回归直线;=匕％+°上；

⑤对于回归方程;=2020-4x，变量X增加一个单位，；大约减少4个单位.

其中错误的结论有儿个（）

A.1B.2C.3D.4

222

7.定义直线心x=(为椭圆左=l(a>b>0)的右准线，研究发现椭圆上任意一点M到右焦

点F(c,O)的距离与它至"的距离之比为定值，已知椭圆盘+弓=1,做-2,b)为椭圆内一点，点

1612

M为椭圆上的动点，当|M2|+2|MF|取最小值时，M点的坐标为()

A.(-2,3)B.(2V3,V3)C.(2,3)D.(2A/3,-V3)

8.某市乘坐出租车的收费办法如下：

不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其

小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)：当车程超过4千米时，另收燃

油附加费1元.

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用国

表示不大于x的最大整数,则图中①处应填()

/输入x/

(结束)

A.y=2[x-i]+4B.y=2[x-1]+5

C.y=2[x+|]+4D.y=2[x+1]+5

9.己知tan(a+》=—3,则sin2a=()

A.；B.JC.-JD.-延

5555

10.小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试

机会.在理论考试环节，若第1此考试通过，则直接进入操作考试：若第1次未通过，则进行第2次

考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰.在操作考试环节，若第1次

考试通过，则直接获得证书；若第1次为通过，则进行第2此考试，第2次通过后获得证书，第2次

未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为%每次操作考试通过的概率为|,并且每次

考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是()

A.：BiC.|D4

11.过双曲线1一马=1的左焦点F作。0：/+y2=口2的两条切线，记切点为4,B,双曲线左顶

a2b2

点为C,若N4CB=120。，则双曲线的渐近线方程为()

A.y=+y/3xB.y=±/xC.y=+V2xD.y=±乎x

12.已知函数/(x)=｛笈;其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函数y=f(x)的图象有

三个交点，则常数a的取值范围是()

A.(-co,2)B.(-℃,2]C.(2e-2,+oo)D.[2e-2,+oo)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设i是虚数单位，则黑=一.

14.已知函数/(%)的定义域为D,若对于任意的Xi，x2ED,当％]＜工2时，都有/Qi)工/。2)，则

称函数/(%)在。上为非减函数.设/(%)在上为非减函数，且满足以下三个条件：

(1)/(0)=0；(2)/(1)=i/(x);

(3)/(1-x)=l-/(x).

则f⑴+/®+/G)+/(9+/G)+啕=一•

15.某小区拟将如图的一直角三角形4BC区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF,

在其内建造文化景观.已知48=20夕m,AC=10V7m,则△DEF区域面积(单位：/)的最小

值大约为m2.(保留到整数，参考数据：77=2.65;75*1.73)

cEB

16.一个正方体的顶点都在球面上，已知球的体积为36兀，则正方体的棱长为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.数列｛an｝中，已知的=1,a2-a,an+1=k(an+即+2)对任意n6N*都成立，数列｛即｝的前n项

和为右.(这里a,k均为实数)

(1)若｛an｝是等差数列，求又；

(2)若a=1,k=-p求Sn；

(3)是否存在实数鼠使数列包工是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a.，am+1,am+2按某顺

序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由.

18.某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取

了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如表：

女47363248344443474641434250433549

男3735344346363840393248334034

(1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；

(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为

“不满意”，请完成下列表格：

“满意”的人数“不满意”的人数总计

女

男

总计

(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下,

认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？

参考数据:

P(K2>fc0)0.100.0500.0250.0100.001

kq2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc')2

参考公式：K2=(其中na+b+c+d为样本容量)

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

19.已知，在四棱锥P—ABCD中，等边△力PD所在平面垂直于平行四

边形力BCD所在平面，M、N分别是棱BC与PD的中点.

(1)证明：MN〃平面P4B；

(2)已知乙4BC=g,BC=2AB=2,求三棱锥N-MCD的体积.

20.设抛物线/=为隼碱懿海醺的焦点为南，其准线与M轴的交点为解，过磬点的直线文交抛物

线于捻谶■两点.

(1)若直线却的斜率为理，求证：麻.港,=澈；

售

(2)设直线期，疆的斜率分别为%J%,求陶芦%的值.

21.已知实数QH0,函数/(%)=QK(X—2)2(%6R).

(1)若函数f(x)有极大值32,求实数Q的值；

(2)若对vxe[-2,1],不等式/⑶〈华恒成立，求实数a的取值范围.

22.(本小题满分12分)

曲线的极坐标方程为0=——-------，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于4B

1-COS。

和C,。四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|4B|+|CD|有最小值？并求出这个最小值.

23.(1)己知a,b,C是不全相等的正数，求证：Q(/?2+c2)+b(c2+Q2)+c®2+匕2)>6Q/?C；

(2)求证：V6+V7>2V2+V5.

参考答案及解析

I.答案：D

解析：解：命题“若|x|+|y|二0,则x片0且y于0”的逆命题是若x40且y40,则|x|+|川大0,

故选：D.

直接利用四种命题之间的关系进行分析即可.

本题考查了四种命题，解题的关键是知道逆命题即为原命题的条件和结论互换.

2.答案：C

解析：解：■：ACtB=A,：.AcB,

①A=。时，aW0,

②力。0时，={x|—y/a<x<Va)<>,-2,解得。<aW%

综上得，a的取值范围是(—8,4].

故选：C.

根据力nB=4可得出4UB,然后讨论4：A=0时，aW0；4于0时，然后即可得出a的

取值范围.

本题考查交集的定义及运算，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题.

3.答案：D

解析：解：如图，-------------------15

BP=3CP;\

・•・BP=3CP；\

:,AB=3CE=CD：\

/.CD=3CE;\

一一一一------------A—c

：,PD-PC=3(PE-PC);\

PE=|PC+|RD\

又两=mPC+nRD;

f771=3

由平面向量基本定理得，1;

故选。.

可以画出图形，根据条件前=3CE，从而根据向量减法的几何意义便可得到而-PC=3（PE-玩）,

这样可以求出向量两，这样根据平面向量基本定理便可得出m-n的值.

考查相似三角形的对应边的比例关系，向量数乘、减法的几何意义，以及向量数乘的运算，平面向

量基本定理.

4.答案：C

解析：解：：a,b6R且a>b,

由于a,b符号不确定，故a?与炉的大小不能确定，故A不一定成立；

由于a,b符号不确定，故|a|与网的大小不能确定，故B不一定成立；

由于y=G尸为减函数,故C）a<（》b成立，即C一定成立；

不等式两边同除a，但a的符号不确定，g与1的大小不能确定，故。不一定成立；

故选：C.

根据不等式的基本性质，结合己知中a>b,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案.

本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键.

5.答案：C

解析：解析：

试题分析：每一步的运行情况如下表所示，可见第五步运行后，k=6,7=T+熠=2+1=3.

步骤Tk条件框蠲

加

第一步01蝴血一海蝴也画1

兽

叔

第二步12感班徵“：：端®.一0

兽

..碗,

第三步13曲做------二副触城0

兽

竽镀

inin

第四步14曲鲍1醐“二曲跑l—1

售

运蟠

|>|III

第五步25——Y徽小型1

考点：程序框图的运算，三角函数的性质.

6.答案：C

解析：解：对于①如果数据/,不，…，与的平均数是卷方差是S2,

则2X1+3,2x2+3,2Xn+3的平均数和方差分别是后+3和4s2,故①错误:

对于②若事件4、B互为对立事件，则事件4、B满足PQ4)+P(B)=1,故②正确;

对于③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故③错误；

对于④样本中心(三司一定在回归直线;=bx+；上，但是样本点不一定落在回归直线；=bx+；上,

故④错误；

对于⑤回归方程y=2020-4『变量x增加一个单位，；大约减少4个单位，故⑤正确.

故结论错误的有3个，

故选：C.

根据平均数，方差判断①，根据对立事件和互斥事件判断②③，根据线性回归方程判断④⑤.

本题考查了命题的真假判断，关键掌握平均数方差，对立事件和互斥事件判断，线性回归方程，属

于中档题.

7.答案：B

解析：解：如图：由椭圆上任意

一点M到右焦点尸(c,0)的距离与

它到1的距离之比为定值，

过点M作右准线x=8的垂线，垂

足为B,

当点4,B,M在同一直线上时，

此时|M*+2|MF|取最小值，

M点的纵坐标为百，

解得x=2A/3»或x=—2百(舍去),

故点M的坐标为(2V5,国)，

故选：B.

根据新定义结合图形，可得当|K4|+2|MF|取最小值时，M点的纵坐标为百，即可求出

本题考查了椭圆的简单性质，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题

8.答案：D

解析：

本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档.

根据已知中的收费标准，求当尤＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案.

解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则

不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；

当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.

可得：当x>4时，所收费用y=12+[x—4+勺x2+l=2[x+勺+5,

故选：D.

9答案:A

解析：

本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角

函数化简求值中的应用，属于基础题.

由已知利用两角和的正切函数公式可求tana的值，进而利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数

基本关系式即可计算求解.

解：•.•tan(a+3=-3,

.c2sinacosa2tana2x24

・••曲2a=/nza+c。沟=嬴小=河=『

故选：A.

10.答案:B

解析：解：小明本次电工考试中，共参加3次考试，包括3种情况：

①小明理论考试第一次没过，第二次通过，操作考试第一次通过；

②理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次通过；

③理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次没过.

••・小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率：

、、、、

「=(1_3*3*出2,3*(1_”22+.13(1_2?(1_2?—3

故选：B.

小明本次电工考试中，共参加3次考试，包括3种情况：①小明理论考试第一次没过，第二次通过，

操作考试第一次通过；②理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次通过；③理论考试一次

通过，操作考试第一次没过，第二次没过.由此能求出小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率.

本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意相互独立事件的乘法概率公式的合理运用.

II.答案：A

解析：解：由题意可得：双曲线的方程席-会1,

所以双曲线的渐近线方程为y=±^x.

所以根据图象的特征可得：NAFO=30。，

所以c=2a,

又因为炉=。2—。2,

所%=百，

所以双曲线的渐近线方程为y=+V3x.

故选A.

根据双曲线的方程得到渐近线为y=+^x,结合题中的条件画出图象进而得到乙4F。=30°,即得到

a与c的关系式，进而得到a与b的关系式，即可得到答案.

解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件得到a、b与c的关系，进而得

到答案.

12.答案：D

解析：解：函数图象如下，

要使直线y=2与函数y=f(x)的图象有三个交点，只要ae?22,解得aN2e-2；

故选。.

由题意，二次函数开口应该向上，并且ae222,得到aN2e-2,得到选项.

本题考查了数形结合解决函数图象的交点个数问题，属于经常考查内容.

13.答案：一l-i

解析：解：黑=*2=3=

-21

故答案为：—1—i.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

14.答案：

4

解析：

由/(I-x)=1—/(x),f(0)=0,令“轲求得小)=也再通过/◎=#(%),利用赋值法可

分别求得呜、黑)、fG)、f给的值，从而可得/⑴+fG)+fG)+黑)+/G)+/②的值•

本题考查抽象函数及其应用，突出考查整体思想与赋值法的综合运用，属于中档题.

解：-.-/(l-%)=1-/(x),/(0)=0,

.-./(1-1)=1-/(1)=0,即/(1)=1；

/(1一3=1一/©，整理得：/©=也

又呜=部)，

令x=l,W(^)=1/(l)=p

令X=I，则/1(6="G)=

令X.则心=3©=[,即筋)=；;

|<7<7，对于任意的％i，xED,当％i<%2时，都有f(%i)工f(%2)，

yo/o2

・••/0)=/(》=%

则/⑴+展)+展)+6)+肥)+%)=1+#"：X3=芳.

故答案为：?.

4

15.答案：130

解析：解：△力BC是直三角形，AB=20V7m,AC=10V7m,

可得CB=lOVH，

由于sinB="=萼=工，可得8=30。，

AB20>/72

因为DEF是等边三角形，

设NCED=。，DE=x,那么4BFE=30°+。，则CE=xcos。,

△"E中由正弦定理，可得高10y/21-XCOS0

sin(3O°+0)

同_区

整理可得:_10]0

X2cos0+y/3sinO夕sin(8+a)'其中tcma=—

可得％N10V3,

则4DEF面积S=jx2-sin60°>|x(10A/3)2Xy=75V3«130m2.

故答案为：130.

△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20小m,AC=10V7m.CB=10V21，可得NA=60°,

NB=30。，T^ZLCED=9,DE=x,那么NBFE=30。+0,则CE=xcos。，在三角形ABFE中利用

正弦定理求解x的最小值，即可求解^DE尸区域内面积的最小值.

本题考查三角形的面积的求法，考查三角形边长的求法，角的表示求解最值问题，解题时要注意正

弦定理的合理运用，是中档题.

16.答案：2V5

解析：解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a,

所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：V3a.

所以球的半径为：更a.

2

所求球的体积为等x(?a)3=36兀，

所以Q=2V5.

故答案为2遍.

求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可.

本题考查球的内接体，球的体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力.

17.答案：解：(1)・・・。1=1,a2=a,且须+i=Z(an+Qn+2),

1+n(a-1)=k[l+(n-1)(Q—1)+1+(n+l)(a—1)],解得k=—.

c.n(n-l)(a-l)(a-l)n2-(a-3)n

n=Hd-------2-----=--------2-------；

(2)由Q=Lk=-i,得an+i=一式即+%+2)，

•**an+2+an+l=~(.an+l+an)»an+3+an+2=~(.an+2+an+l)=an+l+an»

当血是偶数时，Sn=+。3+。4+…+an-l+an

=(al+a2)+(a3+a4)+…+(an-l+an)

=^(a1+a2)=n.

aa

当九是奇数时，Sn=+。2+。3+。4+…+n-l+n

aa

=+(a2+的)+(。4+。5)+…+(n-l+n)

=?(a2+a3)=%+?[一(。1+a2)]

=1-(n—1)=2—n,n=1也适合上式，

综上可得,Sn=自型;言之”)；

(3)设数列｛an｝是等比数列，则它的公比q=舒=%

m-1mm+1

-am=a,am+1=a,am+2=a,

①若am+1为等差中项，则2am+1=am+am+29

即2a血=+qm+i,解得：Q=1,不合题意；

a

②若a7n为等差中项，则2am=m+l+Q7n+2，

即2口相一1=Q771+a^+i,化简得：a2+a—2=0,

解得a=一2(舍k=%“+】•=—————=」一=

时115入am+am+2am-l+a7n+l1+。25，

③右'。机+2为等差中项，则2am+2=am+1+am,

即2am+i=am+am-1,化简得：2a2-a-1=0,

解得a=---k=・，德七一-—————-，----

册何"2'am+am+2am-i+m+1i+a25

综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=-|.

解析：(1)由已知求得公差，再由等差数列前般项和求得答案；

(2)把k=一?弋入即+1=k(an+%1+2)，可得an+2+即+i=一(%!+1+即)，与+3+%i+2=一(％1+2+

册+1)=册+1+an,然后分n为奇数和偶数求得又；

mm+1

(3)设数列｛an｝是等比数列，则它的公比q=言=即得到*==a,am+2=a,然

后分若am+i为等差中项，。机为等差中项和a^+2为等差中项三类求解得答案.

本题考查数列递推式，考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前。项和公式的求法，解题时要注

意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题.

18.答案：解：(1)从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，

•••任选一名员工，它的得分大于45分的概率是

・•・估计此次调查中，该单位得分大于45分的员工有

900义卷=240(名);

(2)根据题意，填写2x2列联表：

“满意”的人数“不满意”人数合计

女12416

男31114

合计151530

(3)假设该企业员工“性别”与“工作是否满意”无关,

n(ad-bc)230x(12x11-3x4)2

计算K2=X8.571>6.635；

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)15x15x16x14

・••能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关.

解析：(1)求出任选1名员工，得分大于45分的概率，计算该企业得分大于45分的员工人数；

(2)根据所给数据，计算2x2列联表；

(3)计算观测值，对照临界值，即可得出结论.

本题考查了古典概型的概率与列联表、独立性检验的应用问题，是中档题.

19.答案：证明：（1）取AC中点E,连接ME,NE,

由已知M,N分别是4B,PC的中点,

•••ME//AB,NE//PA

又ME,NEu平面MNE,MECNE=E,

二平面MNE〃平面P4B,

•••MN〃平面P4B

（2）解：•••等边△4PD所在平面垂直于平行四边形4BCD所在平面,

.•iN到平面MCD的距离九=V3

BC=2AB=2,•••MC=CD=1,

Z.MCD=—

3

三棱锥N-MCO的体积=次MCM=ixixlxlx^xV3=i.

解析：（1）取4。中点E,连接ME,NE,结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME〃/IB,NE//PA,

由面面平行的判定定理易判断出平面MNE〃平面P4B,再由面面平行的判定定理得到MN〃平面PAB；

（2）求出N到平面MCC的距离，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥N-MC。的体积.

本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查求三棱锥N-MCD的体

积.熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键.

20.答案：（1）祥见解析；（2）〃.

解析：试题分析：（1）由点斜式写出直线，的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，

利用根与系数关系求出力，8两点的横坐标的和与积，写出向量蕊,凝的坐标，展开数量积后代入

根与系数关系得答案；

（2）设直线，的方程为I：x=ky-曼，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系

数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案.

试题解析：（1说朋=坐®舛到与抛物线方程联立得蟾•-琳*史工溟设询初漏k颐热。

堂号里

密.嘉=&匐-赧得-争十%物'=J即遹-，值+当计标=敏;

（2）设直线虹津=勉-更与抛物线联立得/•-%氟+/，=坦

瑜第一盛孰七脸,宏精一第3津

.,*事=——

:酶-率^-碱蝴-域酶-域‘-'"

时T

考点：/.直线与圆锥曲线的关系；2.抛物线的简单几何性质.

21.答案：解：(1)v/(%)=ax(x—2)2=ax3—4ax2+4ax,

・•.ff(x)=3ax2—8ax+4a=3a(%—|)(x—2).

令(⑶=0,解得3a(x-|)(x—2)=0,

・•・x=，或％=2.

・・・/(%)=ax(x-2)2(%6R)有极大值32,又f(2)=0.

・••/■(乃在¥=轲取得极大值，

,-./(|)=||a=32,a=27.

(2)由((x)=3a(x-|)(x-2)知：

当a>0时，函数/(x)在［-2,守上是增函数，在［|,1］上是减函数.

此时，Vmax=/(|)=pa-

又对Vxe［-2,1］,不等式/(x)<?