初中七年级数学上册《4.3 角》课件（二）

角角的概念及分类内容角静态定义有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边动态定义角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.旋转开始时的射线叫作角的始边，旋转终止时的射线叫作角的终边.在角的形成过程中，射线旋转时经过的平面部分是角的内部，未经过的平面部分是角的外部知识解读（1）角的两边是射线，而非线段，因此角的大小与角的两边的长短无关，只与角的两边张开的幅度有关；（2）角的符号是“∠”,注意不能写成“<”；（3）没有特殊说明时，所说的角都是小于180°的角；（4）不能将平角当成一条直线，也不能将周角当成一条射线巧记乐背两条射线共端点，组成角的两条边；也可看成一射线，绕其端点来旋转.起始位置叫始边，终止位置叫终边；转了半圈叫平角，转了一整圈叫周角.角的分类

角按度数可分为五类：其中，大于0°而小于90°的角叫作锐角，如图4-3.1-1（1）；等于90°的角叫作直角，如图4-3.1-1（2）；大于90°而小于180°的角叫作钝角，如图4-3.1-1（3）；等于180°的角叫作平角，如图4-3.1-1（4）；等于360°的角叫作周角，如图4-3.1-1（5）.图4-3.1-1例1下列说法：①两条射线所组成的图形叫作角；②一条射线旋转而成的图形叫作角；③一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫作平角；④平角是一条直线.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个A解析：①没有说明两条射线是否有公共端点，故错误；角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故②错误；③正确；因为平角属于角的一种，它具有角的顶点、角的两边，直线很显然不具备这些条件，故④错误.故选A.

严格按照角的概念进行判断，尤其注意角的两条边是具有公共端点的两条射线.角的表示方法角的表示适用范围图例用三个大写英文字母表示任何情况都适用，表示顶点的字母必须写在中间

记作∠AOB或∠BOA用一个大写英文字母表示以这一点为顶点的角只有一个记作∠O用一个阿拉伯数字表示任何情况都适用，在角的内部靠近顶点处画上小弧线，表示出角的范围（即是哪两边所成的角），并注上数字记作∠1用一个希腊字母表示任何情况都适用，在角的内部靠近顶点处画上小弧线，表示出角的范围（即是哪两边所成的角），并注上希腊字母记作∠α知识解读(1)当用三个大写字母或用一个大写字母表示角时，靠近角的顶点处的小弧线可画也可不画，但用数字或用希腊字母表示角时，在角的内部靠近顶点处必须画小弧线表示角的范围；(2)用三个大写字母表示角的这种方法适用于任意一个角，但在具体运用时不便书写且容易出现笔误，因此对解题过程中出现次数较多的角应尽量用数字或希腊字母表示巧记乐背角的表示方法多，相应注意事项多；三个字母最常用，顶点字母要居中.例2利用不同的方法表示出图4-3.1-2中的每个角.（只表示小于平角的角）图4-3.1-2解：在图4-3.1-2（1）中，∠ABC还可表示为∠B或∠α，∠ACB还可表示为∠C或∠1，∠BAC还可表示为∠A或∠2；在图4-3.1-2（2）中，∠AOB还可表示为∠1，∠BOC还可表示为∠4，∠AOD还可表示为∠2，∠DOC还可表示为∠3.

在表示角时，首先要明确所表示的角，其次要熟悉角的四种表示方法，还要注重简便.角的测量方法与画法内容角的测量方法最常用的方法是用量角器来测量角的测量单位把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″角度制以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制制角度的换算1周角=360°，1周角=2平角=4直角；1平角=180°，1平角=2直角；1°=60′，1′=60″角的画法（1）借助三角尺可以画30°，45°，60°，90°等特殊角；（2）用量角器可以画任意度数的角知识解读（1）把高级单位转化成低级单位要乘进率；把低级单位转化成高级单位要除以进率；知识解读（2）转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错；（3）角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.巧记乐背一度等于六十分，一分等于六十秒；周角三百六十度，正好等于两平角；一个直角九十度，个个不多也不少.“度”与“度、分、秒”之间的换算方法把“度”换算为“度、分、秒”时，先把不足1度的部分化为分，再把不足1分的部分化为秒；把“度、分、秒”换算为“度”时，先把以秒为单位的部分化为分，再把以分为单位的部分化为度.解：18.29°=18°+0.29°=18°+0.29×60′=18°+17.4′=18°+17′+0.4′=18°+17′+0.4×60″=18°+17′+24″=18°17′24″.例3把18.29°转化为用度、分、秒表示的形式，把11°24′36″转化为用度表示的形式.11°24′36″=11°+24′+（36÷60）′=11°+24′+0.6′=11°+24.6′=11°+（24.6÷60）°=11°+0.41°=11.41°.

度、分、秒相邻两单位之间是60进制.大单位化小单位对应乘60，小单位化大单位对应除以60.对表示角的方法不清楚而致错例4如图4-3.1-3，下列说法正确的是（）①∠1就是∠A，②∠2就是∠B，③∠3就是∠C，④∠4就是∠D.A.①②B.③④C.①②③④D.只有②图4-3.1-3D

解析：①∠1的顶点处有三个角，不能用一个大写字母表示，故错误；②∠2的顶点处只有一个角，能用一个大写字母表示，故正确；同样∠3，∠4也不能用一个大写字母表示，故错误.故选D.

本题易忽略“如果用一个大写英文字母表示角时，该角的顶点处只能有一个角”，而误认为①③④的说法也正确，错选C.在进行角度单位的换算时，按10进制转换，造成计算错误例5（1）把26.19°转化为用度、分、秒表示的形式；（2）把33°14′24″转化为用度表示的形式.解：(1)26.19°=26°+0.19°=26°+（0.19×60）′=26°+11.4′=26°+11′+（0.4×60）″=26°11′+24″=26°11′24″.(2)33°14′24″=33°+14′+′=33°+14′+0.4′=33°+14.4′=33°+°=33.24°.

本题易忘记度、分、秒相邻两单位之间是60进制的，而按照10进制进行单位换算，得到错误结果：（1）26.19°=26°1′9″，（2）33°14′24″=34.64°.题型一数角的个数例6图4-3.1-4中有多少个小于平角的角？请用适当的方法把它们表示出来.图4-3.1-4思路导图分别找出以点A，B，C，D为顶点的角用较简单的方法分别表示每一个角把不同顶点的角的个数相加，便得题图中的角的总个数

解：以点A为顶点的角有1个，以点B为顶点的角有3个，以点C为顶点的角有3个，以点D为顶点的角有1个，共有8个角.

它们分别是∠A，∠1，∠2，∠ABC，∠α，∠β，∠ACB，∠BDC.方法点拨：

数角的个数时，先要找到角的顶点，若从顶点出发的射线有2条则只有1个角，若从顶点出发的射线有2条以上则肯定有多个角.题型二与钟表有关的角度问题例7在某天由13:15到13:54，时钟的时针和分针转过的角度分别是多少？角度a指针旋转的角度问题(54-15)××60=19.5°，分针转过的角度为(54-15)×=234°.解：时针转过的角度为方法点拨

解答指针旋转角度问题时，要熟记以下几个量：（1）时针每小时转动

=30°，时针每分钟转动

=0.5°；（2）分针每小时转动360°，分针每分钟转动

=6°.例8

如图4-3.1-5，在15:25时，钟面上的时针和分针所构成的角是多少度？角度b指针夹角的问题图4-3.1-5思路导图将起始时刻定为15：00，此时时针和分针所构成的角是90°从15：00到15：25，分别算出时针和分针转过的角度通过加减运算，求出在15:25时时针和分针夹角的度数解：将起始时刻定为15:00（下午3点整时），此时时针和分针构成的角是90°，将终止时刻定为15:25，从图4-3.1-5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，即分针转了6°×25=150°，时针转了0.5°×25=12.5°，所以在15:25时，钟面上的时针和分针所构成的角为150°-90°-12.5°=47.5°.解读中考：

本节内容在中考中涉及的知识点主要有角的测量方法和度、分、秒的换算，题型有选择题和填空题，难度较小.例9（北京中考）如图4-3.1-6，用量角器测量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（

）A.45°

B.55°

C.125°

D.135°图4-3.1-6B考点一角的测量解析：由题图可知，∠AOB的度数为55°.故选B.例10（广西百色中考）下列关系式正确的是（

）

A.35.5°=35°5′B.35.5°=35°50′C.35.5°＜35°5′D.35.5°＞35°5′解析：因为35.5°=35°30′，而35°30′＞35°5′，

所以35.5°>35°5′.故选D.D考点二度、分、秒的换算例11（四川雅安中考）1.45°=_______′.解析：1.45°=60′+(0.45×60)′=87′.87核心素养例12

(1)当过点O的射线有3条时，如图4-3.1-7（1），则图中共有____个角，它们分别是______________________.(2)当过点O的射线有4条时，如图4-3.1-7（2），则图中共有____个角，它们分别是_________________________________________.(3)当过点O的射线有5条时，如图4-3.1-7（3），则图中共有____个角，它们分别是____________________________

_______________________________________.

∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB3∠AOC∠AOB∠COB.6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.10(4)当过点O的射线有n（n为大于3的正整数）条时，请你猜想图中共有_________个角，并简述理由.解：（1）3∠AOC∠AOB∠COB.（2）6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.（3）10.∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB.(4)理由如下：由(1)(2)(3)小题可知，，

由此猜想当过点O的射线有n（n为大于3的正整数）条时，则图中共有个角.角的比较与运算内容角的比较方法测量法先用量角器量出角的度数，再比较其大小叠合法把两个角的顶点和一边重合，两个角的另一边落在重合边的同侧，根据另一边的位置关系来比较大小比较角的大小的方法知识解读（1）角的大小关系和角的度数的大小关系是一致的，这是从“数”的方面来进行比较的；（2）使用叠合法时应注意顶点重合，一边重合，两个角的另一边落在重合边的同侧；（3）两个角的比较还可用中间值法，通过两个角与中间值的比较，得出大小关系巧记乐背比较两个角大小，通过测量可分晓；若用叠合来比较，“重合”“同侧”要记牢；若是差别比较大，估测也能比大小.例1不用量角器，比较图4-3.2-1和图4-3.2-2中角的大小.（用“>”连接）图4-3.2-1图4-3.2-2分析：图4-3.2-1中∠α和∠β均为锐角，因此，在不测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，使∠α与∠β的顶点和一边重合，观察另一边的位置来比较角的大小.图4-3.2-2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此通过估测可直接比较出它们的大小.图4-3.2-3

解：如图4-3.2-3，将∠α向∠β平移，使∠α与∠β的顶点和一边重合，观察另一边的位置，发现∠α落在∠β内部，因此∠β>∠α.

由图4-3.2-2可知，∠1为锐角，即∠1<90°；∠2为直角，即∠2=90°；∠3为钝角，即90°<∠3<180°，因此∠3>∠2>∠1.

在不用量角器测量角的度数的情况下比较角的大小有两种方法:一种是运用典型的“叠合法”比较大小；另一种是运用“估测法”，按照常见的“锐角<直角<钝角<平角<周角”来比较大小.角的和、差、倍、分内容角的和差如图4-3.2-4.（1）∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；（2）∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC图4-3.2-4角的倍分如图4-3.2-5.(1)如果2个∠1的和是∠2，那么∠2是∠1的2倍或∠1是∠2的，记作∠2=2∠1或∠1=∠2；

(2)如果3个∠1的和是∠3，那么∠3是∠1的3倍或∠1是∠3的，记作∠3=3∠1或∠1=∠3图4-3.2-5知识解读（1）角的和、差是指角的度数的和、差；（2）因为度、分、秒是60进制的，所以在角度的运算中要注意单位的换算；（3）初中数学中角的度数是非负数，所以在角的运算过程中不能出现负值例2用一副三角尺，你能画出哪些大于0°而小于180°的角？

解：用一副三角尺可直接画出的角有30°，45°，60°和90°.

因为15°=45°-30°(或60°-45°)，所以可采用一副三角尺画出15°的角.图4-3.2-6具体操作步骤：如图4-3.2-6，先用含45°角的三角尺画出45°的∠AOB，再在∠AOB的内部用含30°角的三角尺画出30°的∠AOC，则∠BOC=15°.同理，因为75°=45°+30°,105°=45°+60°,120°=60°+60°,135°=45°+90°,150°=90°+60°,165°=180°-45°+30°，所以用一副三角尺可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角.

一副三角尺上的角都是特殊角，将这些角进行加减运算，可得到其他的角，也就是一副三角尺可画出的角.角的平分线内容角的平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线知识解读(1)角平分线是一条射线；(2)因为角平分线把角分成两个相等的角，所以在满足∠AOB=2∠AOM=2∠BOM的情况下可断定OM一定是∠AOB的平分线;(3)角平分线和线段的中点有很多相似之处，如中点和角平分线都可以通过测量或折叠得到巧记乐背角平分线是射线，角的顶点是端点；位置总在角内部，把角等分是特点.角的三等分线和四等分线如果射线OP，OC在∠AOB的内部，且∠BOC=∠COP=∠AOP=∠AOB，那么OP，OC是∠AOB的三等分线；如果射线OM，ON，OQ在∠AOB的内部，且∠BOM=∠MON=∠NOQ=∠AOQ=∠AOB，那么OM，ON，OQ是∠AOB的四等分线.例3如图4-3.2-7，已知OC平分∠BOD，且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数.图4-3.2-7解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC=20°，所以∠BOD=2∠BOC=2×20°=40°.又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD=2∠BOD=2×40°=80°.

已知OB是∠AOC的平分线，则可得（1）∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，在解题时要灵活运用其关系.关于角的和差的无图计算题，未进行分类讨论而漏解例4已知∠AOB=20°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数.图4-3.2-8解：本题有两种情况：当OB在∠AOC的内部时，如图4-3.2-8（1），∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+30°=50°；当OB在∠AOC的外部时，如图4-3.2-8（2），∠AOC=∠BOC-∠AOB=30°-20°=10°.综上所述，∠AOC的度数为50°或10°.

本题易只考虑到一种情况，仅得到∠AOC=50°，或仅得到∠AOC=10°.对角平分线的概念理解不透彻而导致错误例5如果∠AOB=2∠BOC，那么OC一定是∠AOB的平分线吗？图4-3.2-9

解：当∠AOB=2∠BOC=2∠AOC时，如图4-3.2-9（1），OC是∠AOB的平分线；而只有条件∠AOB=2∠BOC时，OC不一定是∠AOB的平分线，如图4-3.2-9（2）.

本题易受思维定式的影响，根据题干画图只画出了第一种情况，误以为OC一定是∠AOB的平分线.题型一角的大小比较6例6如图4-3.2-10，解答下列问题：(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；(2)借助三角尺比较∠DOE与∠BOF的大小；(3)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.图4-3.2-10思路导图(1)根据叠合法进行比较(3)利用量角器分别量得∠AOE与∠DOF的度数,进而比较大小(2)利用三角尺量得∠DOE>45°,∠BOF<45°,进而得出结论解：（1）∠FOD<∠FOE.(2)用含有45°角的三角尺比较，可得∠DOE>45°，∠BOF<45°，所以∠DOE>∠BOF.(3)用量角器量，得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.方法点拨：

本题用了三种方法比较角的大小，一般需根据具体情况选择合适的方法来比较.叠合法在具体运用时不是很方便，因此在某些情况下，常利用题图中的“同边”构造叠合法.题型二角的代数计算例7计算：（1）48°39′+67°31′；（2）78°-47°34′56″；（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5.解：（1）48°39′+67°31′=115°70′=116°10′.（2）78°-47°34′56′′=77°59′60′′47°34′56′′=30°25′4′′.（3）22°16′×5=22°×5+16′×5=110°80′=111°20′.（4）42°15′÷5=8°+2°15′÷5=8°+135′÷5=8°27′.方法点拨：

在进行角的加减运算时，应把度与度、分与分、秒与秒分别相加减，并在运算中注意进位或借位的进率都是60；当角度乘某数时，要分别与度、分、秒相乘，然后按进率60整理相乘结果；当角度除以某数时，要先把度相除并把余数化为分，再与分相除并把余数化为秒，最后与秒相除.题型三几何图形中角的和、差、倍、分计算例8如图4-3.2-11，∠DOE∶∠BOE=1∶2，∠DOC∶∠COA=1∶2，如果∠AOB=120°，那么∠COE是多少度？图4-3.2-11解：因为∠DOE∶∠BOE=1∶2，∠DOE+∠BOE=∠BOD，所以∠DOE=∠BOD.因为∠DOC∶∠COA=1∶2，∠DOC+∠COA=∠AOD，所以∠DOC=∠AOD.因为∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°，所以∠COE=∠DOE+∠DOC=∠BOD+∠AOD=（∠BOD+∠AOD）=∠AOB=40°.方法点拨：

在几何图形中进行角的计算时，首先仔细观察图形，弄清各角之间的和、差、倍、分关系；然后看根据已知角的度数能否直接求出未知角的度数，若能可直接计算，若不能可将角的和差作为一个整体，如此题，不能单独求出∠BOD和∠AOD的度数，将“∠BOD+∠AOD”作为整体，便找到了其与已知∠AOB的关系，进而求出结果.题型四求折叠图形中角的度数例9如图4-3.2-12，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠GFC′的度数.图4-3.2-12思路导图由∠EFG=55°，∠EFG与∠EFC的和是180°，可求得∠EFC的度数求出∠EFC′与∠EFG的差，便得∠GFC′的度数由折叠的性质，可知∠EFC与∠EFC′的度数相等解：因为∠EFG=55°，∠EFG+∠EFC=180°，所以∠EFC=180°-∠EFG=180°-55°=125°.由折叠的性质知∠EFC′=∠EFC=125°.所以∠GFC′=∠EFC′-∠EFG=125°-55°=70°.

把一张纸片沿某条直线折叠，则出现两个相互重合的角，这个现象说明：如果把折叠后互相重合的两个角展开并看成一个角，那么折痕是这个角的平分线，这是折叠图形的一个显著特点，求折叠图形中角的度数时常利用这个特点.知识链接解读中考：

本节内容在中考中的考点主要有：（1）角的大小比较，一般结合圆周角（后面学习）考查，单独命题的几率很小；（2）角的和、差、倍、分计算，常与折叠结合考查，题型有选择题和填空题；（3）角的平分线的定义，常融合于角的计算中，不会单独考查.例10（浙江金华中考）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.在图4-3.2-14的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）A.点CB.点D或点EC.线段DE(异于端点)上一点D.线段CD(异于端点)上一点图4-3.2-14C考点一角的大小比较解析：如图4-3.2-15，连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通过测量各角的度数可知，射点在线段DE上时角最大，射点在点D右上方或点E左下方时角度较小.故选C.图4-3.2-15例11（湖北恩施中考）已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（）

A.28°B.112°C.28°或112°D.68°C考点二角的和、差、倍、分计算图4-3.2-17解析：如图4-3.2-17，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°.核心素养例12

已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，求∠MON的度数.分析：由于本题没有指明OC在∠AOB的内部还是外部，因此应分情况讨论.解：当OC在∠AOB的内部时，如图4-3.2-18（1）.因为OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，所以∠MON=∠CON+∠COM=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=45°.当OC在∠AOB的外部时，如图4-3.2-18（2）.因为OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因为∠AOB=∠BOC-∠AOC=90°，所以∠MON=∠COM-∠CON=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=45°.综上所述，∠MON的度数为45°.图4-3.2-18方法点拨：

当题目中没有给出图形时，应根据题意画出图形，考虑到所有可能出现的情况，分情况讨论解题.余角与补角余角和补角的概念内容余角如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角补角如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角知识解读(1)互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果三个或三个以上的角相加等于90°（或180°）时，不能说这些角互余（补）；(2)互余（补）是指两个角之间的数量关系，而不是位置关系，即互余（补）的两个角可能相邻，也可能不相邻，还可能有一部分重合；(3)在某个图形中，一个角可能没有余（补）角，也可能有一个或多个余（补）角；(4)若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角和一个钝角巧记乐背余角补角不孤独，它们总是成对出；和为直角称互余，和为平角称互补.例1如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°.(1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？(2)∠1的余角是哪个？(3)∠1的补角是哪个？图4-3.3-1解：（1）因为∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.所以图中互为余角的角有4对，分别是∠1与∠2，∠3与∠4，∠2与∠3，∠1与∠4.(2)由∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°，得∠1的余角是∠2和∠4.（3）由∠1+∠BOD=180°，得∠1的补角是∠BOD.

不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.余角和补角的性质内容余角的性质同角（等角）的余角相等补角的性质同角（等角）的补角相等知识解读（1）得到余（补）角的性质的依据是等式的基本性质——等式的传递性；（2）同角的余（补）角相等指的是三个角之间的关系，等角的余（补）角相等指的是四个角之间的关系巧记乐背同、等角的余角相等，同、等角的补角相等；运用的依据都相同，图形之中找等角.例2如图4-3.3-2，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°，找出图中与∠2相等的角，并说明理由.分析：图中连同∠1和∠2在内总共有9个角(小于平角的角)，∠2是个锐角，∠1，∠5，∠6，∠8是钝角，这4个角显然不可能与∠2相等，再逐一判断∠3，∠4，∠7，∠O是否与∠2相等即可.图4-3.3-2解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3.理由如下：因为∠2+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定义），所以∠2=∠7（同角的补角相等）.因为∠1+∠3=180°（平角的定义），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的补角相等）.因为∠1+∠4=180°（平角的定义），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠4（同角的补角相等）.“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的补角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的情况下使用起来更简捷.方位角内容方位角为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式，通常以正南、正北方向为基准，配以偏东或偏西的角度来描述物体所在的方向，这种方法叫作方位角描述法知识解读画图标准：一般按“上北下南，左西右东”.表示格式：南（北）偏东（西）××度.特殊情况：知识解读①只用东、西、南、北四个方向中的任意一个方向表示时分别在其前面加“正”，如正东、正西、正南、正北；②习惯上北偏东45°用东北表示，北偏西45°用西北表示，南偏东45°用东南表示，南偏西45°用西南表示.巧记乐背方位角表示方向，习惯南、北放在前；多用偏字表旋转，测得度数知方向.例3如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中的方位填空.图4-3.3-3（1）射线OA表示______________________；（2）射线OB表示______________________；（3）射线OC表示______________________；（4）射线OD表示______________________；（5）射线OE表示_______________________.解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC，OD为一类，表示形式为“×偏×”，其中注意OC与OD中角度的转化；射线OB，射线OA各为一类.正南方向北偏西45°或西北方向南偏西60°方向南偏东70°方向北偏东30°方向误认为多个角的和为90°或180°时，也称其为互余或互补例4如图4-3.3-4，O是直线AB上一点，赵敏说：“因为∠1，∠2，∠3，∠4四个角组成一个平角，所以它们互为补角.”你认为这种说法正确吗？为什么？图4-3.3-4

解：这种说法不正确.因为补角特指两个角之间的一种特殊关系.根据补角的概念可知，当多个角的和等于180°时，不能称其互为补角.

若不理解补角特指两个角之间的一种特殊关系，本题易误认为正确.根据余（补）角的性质寻找相等的角，考虑问题不全面例5如图4-3.3-5，AB与CD交于点O，且∠AOE=∠COF=90°，∠AOC=30°，则图中30°的角还有哪几个？图4-3.3-5解：因为∠BOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOD=∠AOC=30°.又因为∠EOF+∠COE=∠AOC+∠COE=90°，所以∠EOF=∠AOC=30°.所以图中30°的角还有∠BOD，∠EOF.

只观察∠AOC与∠BOD是∠BOC的补角，根据同角的补角相等得出答案，未考虑∠AOC与∠EOF是∠COE的余角，从而造成漏解.对方位角的概念理解不清楚例6图4-3.3-6如图4-3.3-6，从点B看点A，点A所在的方向为（

）

A.南偏东58°B.北偏西32°C.南偏东32°D.东偏南58°解析：根据题意，可知点B是基准点，则点A的方位角是58°的余角，即南偏东32°.故选C.C

错解：①不理解方位角是哪个角而误选A；②不理解方位角的表示形式具有规定性而误选D；③不理解A，B两点中哪个点是基准点而误选B.易错总结例7（1）已知∠α=50°17′，求∠α的余角和补角；（2）已知∠α的余角是65°17′46″，求∠α及∠α的补角.题型一有关余角和补角的计算

角度a

求一个角的余角或补角解：(1)因为90°-50°17′=39°43′，180°-50°17′=129°43′，所以∠α的余角是39°43′，补角是129°43′.(2)因为90°-65°17′46″=89°59′60″-65°17′46″=24°42′14″，180°-24°42′17″=179°59′60″-24°42′14″=155°17′46″，所以∠α是24°42′14″，∠α的补角是155°17′46″.

已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可，但要注意相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制.方法点拨：角度b余角和补角的综合运算例8一个角的余角比这个角的补角的一半小30°，求这个角的度数.思路导图根据“余角=补角的一半-30°”，列出方程并求解设这个角为x°,则其余角为(90-x)°,其补角为(180-x)°解：设这个角为x°，则这个角的余角为(90-x)°，补角为(180-x）°.由题意，得90-x=×(180-x)-30，解得x=60.答：这个角的度数是60°.

解决有关余角、补角的问题时，一般都是先设未知数，再由题意列出方程，最后求出结果.注意要充分利用余角、补角这两个条件.方法点拨：例9星期六，乐乐和同学们去公园游玩，在虎山上玩得非常开心，但回来后忘记了虎山在公园里所在的位置，只记住了大门和游乐场的位置（如图4-3.3-7），根据同学们的回忆得到下列信息：(1)大象馆在游乐场的正北方向；(2)虎山在大象馆的北偏西66°的方向上；(3)虎山在大门的北偏西32°的方向上；(4)大象馆在大门的东北方向.题型二利用方位角确定点的位置图4-3.3-7思路导图根据信息(1)(4)确定出大象馆的位置

根据信息(2)(3)确定出虎山的位置解：能.方法如下：(1)先过大门这个点沿东北方向画射线，再过游乐场这个点沿正北方向画射线，两条射线的交点即为大象馆的位置.(2)先过大门这个点沿北偏西32°方向画射线，再过大象馆这个点沿北偏西66°方向画射线，两条射线的交点即为虎山的位置，如图4-3.3-8.图4-3.3-8

用方位角确定位置时，首先要弄清观测点，然后确定观测点的东南西北方向，根据方位角的含义来确定.仅靠一个方位角只能确定点的方向而不能确定点的位置，但两个方位角可以确定点的位置.方法点拨：例10如图4-3.3-9(1)，∠AOB和∠COD都是直角.(1)试猜想，∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系？说明理由.(2)当∠COD绕点O旋转到图4-3.3-9(2)的位置时，你的猜想还成立吗？说明理由.题型三探究角与角之间的关系图4-3.3-9解：(1)∠AOD和∠BOC互补.理由如下：因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC.又因为∠BOD+∠BOC=∠COD=90°，所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°.故∠AOD和∠BOC互补.故∠AOD和∠BOC互补.(2)∠AOD和∠BOC互补仍然成立.理由如下：因为∠AOB和∠COD都是直角，所以