北京市重点中学2024届数学八上期末经典模拟试题含解析

北京市重点中学2024届数学八上期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知一组数据为2，3，5，7，8，则这组数据的方差为（）A．3 B．4.5 C．5.2 D．62．下列因式分解正确的是（）A． B．C． D．3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．104．甲、乙两名运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练.如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S(千米)与行驶时间t(小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t=0.5或t=2或t=5.其中正确的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6.56．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75° B．135° C．120° D．105°8．多项式12ab3c-8a3b的公因式是（）A．4ab2 B．-4abc C．-4ab2 D．4ab9．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（）.A． B． C． D．10．用我们常用的三角板，作的高，下列三角板位置放置正确的是()A． B． C． D．11．下列语句是命题的是()(1)两点之间，线段最短．(2)如果，那么吗?(3)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．(4)过直线外一点作已知直线的垂线．A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4)12．下列命题是真命题的是（）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．两锐角之和一定是钝角C．如果x2＞0，那么x＞0D．16的算术平方根是4二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_________________．14．分式值为0，则____________________．15．如图，平面直角坐标系中有点A(0，1)、B(，0)．连接AB，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于点P1；连接BP1，以B为圆心，以BP1为半径画弧，交x轴于点P2；连接P1P2，以P1为圆心，以P1P2为半径画弧，交y轴于点P3；按照这样的方式不断在坐标轴上确定点Pn的位置，那么点P6的坐标是_____．16．使代数式有意义的x的取值范围是_____．17．比较大小：__________1．（填>或<）18．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是_____.三、解答题（共78分）19．（8分）已知与成正比例，且当时，．（1）求与的函数表达式；（2）当时，求的取值范围．20．（8分）如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．21．（8分）先化简,再求值：，其中22．（10分）如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）．（1）请在图中作出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标；（3）求△ABC的面积．23．（10分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．（1）若，求的度数；（2）若，垂足为，延长交于点，连接，求证：．24．（10分）（1）问题：如图在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______．（2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长．25．（12分）已知一次函数y=2x+b.(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b的值;(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b的值.26．某班要购买一批篮球和足球．已知篮球的单价比足球的单价贵40元，花1500元购买的篮球的个数与花900元购买的足球的个数恰好相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）若该班恰好用完1000元购买的篮球和足球，则购买的方案有哪几种？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式分别进行计算即可．【题目详解】解：这组数据的平均数是：（1+3+5+7+8）÷5＝5，则方差＝[（1﹣5）1+（3﹣5）1+（5﹣5）1+（7﹣5）1+（8﹣5）1]＝5.1．故选C．【题目点拨】此题考查方差，掌握方差公式是解题关键．2、C【分析】分别利用公式法和提公因式法对各选项进行判断即可．【题目详解】解：A．无法分解因式，故此选项错误；B．，故此选项错误；C．，故此选项正确；D．，故此选项错误．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，一个多项式如有公因式首先提取公因式,然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项,考虑使用平方差公式,如果剩余的是三项,则考虑使用完全平方公式．同时,因式分解要彻底,要分解到不能分解为止．3、B【解题分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【题目详解】在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=2．故选B．4、B【分析】①甲的速度为1203=40，即可求解；

②t≤1时，乙的速度为501=50，t＞1后，乙的速度为(120-50)(3-1)=35，即可求解；

③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；

④甲的函数表达式为：，乙的函数表达式为：时，，时，，即可求解．【题目详解】①甲的速度为1203=40(千米/小时)，故正确；

②时，乙的速度为501=50(千米/小时)，后，乙的速度为(120-50)(3-1)=35(千米/小时)，故错误；

③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确；

④由①②③得：甲的函数表达式为：，

乙的函数表达式为：当时，，当时，，当时，，解得(小时)；当时，，解得(小时)；当时，，解得(小时)；∴甲、乙两名运动员相距5千米时，或或小时，故错误；

综上，①③正确，共2个，故选：B．【题目点拨】本题为一次函数应用题，考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：根据速度=路程÷时间求出速度；待定系数法求函数解析式；找出各线段所对应的函数表达式做差解方程．5、C【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【题目详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．

故选C．【题目点拨】本题考查众数和中位数的定义．解题关键是，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．6、B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【题目详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【题目点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．7、D【解题分析】如图，根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°.故选8、D【分析】利用公因式的概念，进而提出即可．【题目详解】多项式12ab3c-8a3b的公因式是4ab，故选：D．【题目点拨】此题考查了公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．9、D【解题分析】如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，∴M+N=540°+180°=720°；②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°；③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°．故选D．10、D【解题分析】根据高线的定义即可得出结论．【题目详解】A、B、C都不是△ABC的边上的高．故选：D．【题目点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．11、C【分析】根据命题的定义对四句话进行判断即可．【题目详解】（1）两点之间，线段最短，它是命题；(2)如果，那么吗?不是命题；（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；(4)过直线外一点作已知直线的垂线，是作法不是命题．故选C．【题目点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．12、D【分析】直接利用对顶角的性质、锐角钝角的定义以及实数的相关性质分别判断得出答案．【题目详解】A．如果两个角相等，这两角不一定是对顶角，故此选项不合题意；B．两锐角之和不一定是钝角，故此选项不合题意；C．如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，故此选项不合题意；D．16的算术平方根是4，是真命题．故选：D．【题目点拨】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、且【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【题目详解】方程两边同乘（），

解得，

∵，

∴，

解得，

又，

∴，

∴，

即且．

故答案为：且．【题目点拨】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，关键是会解出方程的解，特别注意：不要漏掉隐含条件最简公分母不为1．14、-1【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0，列出方程和不等式即可得出结论．【题目详解】解：∵分式的值为0∴解得：a=-1故答案为：-1．【题目点拨】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0是解决此题的关键．15、(27，0)【分析】利用勾股定理和坐标轴上点的坐标特征分别求出P1、P2、P3的坐标，然后利用坐标变换规律写出P4，P5，P6的坐标．【题目详解】解：由题意知OA＝1，OB＝，则AB＝AP1＝＝2，∴点P1（0，3），∵BP1＝BP2＝＝2，∴点P2（3，0），∵P1P3＝P1P2＝＝6，∴点P3（0，9），同理可得P4（9，0），P5（0，27），∴点P6的坐标是（27，0）．故答案为（27，0）．【题目点拨】本题考查了作图-复杂作图和规律探索，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题的方法．16、x≥0且x≠2【解题分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解不等式即可．【题目详解】由题意得：x⩾0且2x−1≠0，解得x⩾0且x≠，故答案为x⩾0且x≠.【题目点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件.牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键.17、＞【分析】先确定的取值范围是，即可解答本题．【题目详解】解：，；故答案为：＞．【题目点拨】本题考查的是实数的大小比较，确定无理数的取值范围是解决此题的关键．18、50°【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．【题目详解】解：如图，在△BDE与△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE=∠CFD，∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=50°，∴∠EDF=50°，故答案是：50°．【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．三、解答题（共78分）19、（1）y=2x-4；（2）-6＜y＜1．【分析】（1）设y=k（x-2），把x=1，y=-2代入求出k值即可；

（2）把x=-1，x=2代入解析式求出相应的y值，然后根据函数的增减性解答即可．【题目详解】解：（1）因为y与x-2成正比例，可得：y=k（x-2），

把x=1，y=-2代入y=k（x-2），

得k（1-2）=-2，解得：k=2，

所以解析式为：y=2（x-2）=2x-4；

（2）把x=-1，x=2分别代入y=2x-4，

可得：y=-6，y=1，∵y=2x-4中y随x的增大而增大，

∴当-1＜x＜2时，y的范围为-6＜y＜1．【题目点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．20、（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE=AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【题目详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF(AAS)，∴DF=EF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CEAC．∵点G是AC的中点，∴CE=AG=EG=AD，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG，∴AD∥GE，∴四边形ADEG是菱形．【题目点拨】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．21、，【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入化简后的式子即可解答本题．【题目详解】解：；当时，原式【题目点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22、（1）见解析；（2）A′（2，3）、B′（1，0）、C′（5，1）；（3）.【分析】（1）根据题意可知将△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位；（2）根据坐标系即可写出个各点坐标；（3）根据割补法即可求解.【题目详解】解：（1）如图所示；（2）由图可知，A′（2，3）、B′（1，0）、C′（5，1）；（3）S△ABC＝3×4﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣﹣2﹣3＝．【题目点拨】此题主要考查直角坐标系与几何，解题的关键是熟知坐标点的写法.23、(1)；(2)详见解析【分析】（1）先根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠CAB的度数，再由作法可知AM平分∠CAB，根据角平分线的定义求解即可；（2）由角平分线的定义及平行线的性质等量代换可得，可知AC=CM，根据等腰三角形的“三线合一”可得CO垂直平分AM，根据垂直平分线的性质即可证明结论．【题目详解】（1），，又，，由作法知，是的平分线，（2）由作法知，是的平分线，又∴，又垂直平分线段．【题目点拨】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题关键是能从作法中确定AM平分∠CAB．24、（1）=；⊥；（2）+=；（3）2【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质即可得出结果；（2）连结CE，同（1）的方法证得△ADB≌△AEC，根据全等三角形的性质转换角度，可得△DCE为直角三角形，即可得，，之间满足的等量关系；（3）在AD上方作EA⊥AD，连结DE，同（2）的方法证得△DCE为直角三角形，由已知和勾股定理求得DE的长，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求得AD的长．【题目详解】解：=，⊥，理由如下：∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵，∴，∴，即，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，故答案为：=；⊥．（2）+=，证明如下：如图，连结CE，∵与均为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，，即，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，则△DCE为直角三角形，∴+=，∴+=；（3）如图，作EA⊥AD，使得AE=AD，连结DE、CE，∵，∴，AB=AC，∵，AE=AD，∴，，∴，即，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∵，则△DCE为直角三角形，∵，，∴，则，在Rt△ADE中，AD=AE，∴，则．【题目点拨】本题是四边形综合题，主要考查了全