2024届一轮复习人教A版 第6章立体几何思维深化微课堂寻找球心解决与球有关的问题 学案

思维深化微课堂寻找球心解决与球有关的问题球与其他几何体的切、接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：类型一球与多面体的切、接问题已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．[思维架桥]如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F.由条件可求DE，PE，EF，DE，设OD＝OF＝r，由OP2＝OF2＋PF2，可求得棱锥的内切球的半径．2－1解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F.由条件可求DE＝1，PE＝2.易知EF＝DE＝1，设OD＝OF＝r.由OP2＝OF2＋PF2，求r＝2－1.所以棱锥的内切球的半径为2－1.在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B．9C．6π D．32[思维架桥]利用勾股定理先求AC，若V最大，则球一定与直三棱柱的若干面相切．分别讨论球与直三棱柱侧面相切或与上下底面相切两种情况，可得球的最大体积V.B解析：因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10.故三角形ABC的内切圆半径满足8r+6r+10r2＝6可得r＝2，故直三棱柱ABC­A1B1C1的内切球半径为32此时V的最大值为43π×323处理球的外接问题的策略(1)“接”的处理：抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，求半径常用等体积法．(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补成为一个正方体．正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以将其补成为一个长方体．长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．[应用体验]在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．83π2解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为15-32＝6，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝564，所以R2＝x2＋PC22＝758＋1＝83类型二球与旋转体的切、接问题如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V[思维架桥]内切球的半径与圆柱的底面圆半径相等，圆柱的高是内切球的直径，利用体积公式即可得到V132解析：设球O的半径为r，则V1V2＝“切”的处理方法：首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．[应用体验]如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的38A．R2 B．C．4R3 D．D解析：设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h<R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H>R)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R.因为V1＋V2＝38V，所以13πr2h＋13πr2H＝38×43πR3，所以r2(h＋H)＝32R3.因为h＋H＝2