2024届一轮复习人教A版 第3章导数及其应用第2节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题 课件（69张）

第二节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题第三章导数及其应用关键能力·研析考点强“四翼”考点1讨论函数的零点个数——综合性01考点2由函数的零点个数求参数的范围——综合性考点3函数极值点的偏移问题——综合性拓展考点隐零点求解问题

考点1讨论函数的零点个数——综合性

利用导数求函数零点个数的方法(1)构造函数g(x)，利用导数研究函数g(x)的性质，结合图象判断零点的个数．(2)利用零点存在定理，先判断函数在某个区间有零点，再结合图象与性质确定零点的个数．

当a≥－1时，φ′(x)＝ex＋a＞1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)＞φ(0)＝1－a≥0，所以－1≤a≤1；当a＜－1时，令φ′(x)＝ex＋a＝0，解得x＝ln(－a)．当0＜x＜ln(－a)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0，ln(－a))上单调递减；当x＞ln(－a)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(ln(－a)，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(ln(－a))＝－2a＋aln(－a)≥0，解得－e2≤a＜－1.综上可得，实数a的取值范围是[－e2，1].

考点2由函数的零点个数求参数的范围——综合性

已知函数零点的个数求参数的常用方法(1)分离参数法：先分离参数，构造新函数，利用导数求其最值，再根据题设利用函数零点存在定理构建关于参数的不等式，求解不等式可确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数的分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的小范围并在一起，可得参数的范围．

例3

(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．考点3函数极值点的偏移问题——综合性

因为x∈(0，1)时，f(x)＝x(1－lnx)>0，x∈(e，＋∞)时，f(x)＝x(1－lnx)<0，故1<x2<e.先证：x1＋x2>2，若x2≥2，x1＋x2>2必成立．若x2<2,要证x1＋x2>2，即证x1>2－x2，而0<2－x2<1，故即证f(x1)>f(2－x2)，即证f(x2)>f(2－x2)，其中1<x2<2.设g(x)＝f(x)－f(2－x)，1<x<2，则g′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)].

拓展考点隐零点求解问题

例4已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(2)证明：函数f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2<f(x0)<2-2.

例5设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；解：当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，lna)，单调递增区间是(lna，＋∞)．(解答过程略)

1．按导函数零点能否精确求解可以把零点分为两类：(1)“显零点”：数值上能精确求解的．(2)“隐零点”：能够判断其存在但无法直接表示．2．解决“隐零点”问题，常用虚设零点、代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．

02一题N解·深化综合提“素养”

读想算思求证：x1x2>e21．证明不等式的解题策略．2．如何构造函数由极值的定义建立等量关系、求导研究有关函数的单调性转化与化归读想算思f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x21．函数极值的定义．2．欲证x1x2>e2，需证lnx1＋lnx2>2

令m(k)＝kek－ek＋1，则m′(k)＝kek<0，故g′(k)在(－∞，0)上单调递减，故g′(k)>g′(0)＝0，故g(k)在(－∞，0)上单调递增，因此g(k)<g(0)＝0，命题得证．

1．本题考查应用导数研究极值点偏移问题，基本解题方法是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．2．基于课程标准，解答本题一般需要具有良好的转化与化归能力、运算求解能力、逻辑思维能力．本题的解答体