天中学李维维老师教案

天一中学李维维老师在“聚焦讲堂”的教学设计李维维，江苏省天一中学青年骨干教师，中国数学奥林匹克高级教练员，担当所在年级数学比赛主教练一职.以下是他在本次活动中的教学设计.“曲线上一点处的切线”详案（江苏省天一中学李维维）【目标要求】1.经过割线迫近切线的过程，理解割线的斜率迫近切线的斜率2.会求曲线上某点处的切线的斜率（方程）【要点难点】要点：切线斜率（方程）的探究难点：感悟割线迫近切线的“迫近”思想，割线斜率迫近切线斜率是“以直代曲”的一种数目化一、开场白T：我们知道直线的倾斜程度用斜率来刻画，而曲线的峻峭程度由均匀变化率来刻画（PPT打出来）下边我们来复习一下均匀变化率S：一般地，函数在区间上的均匀变化率为T：很好，特别地，一次函数在区间上的均匀变化率为（让学生答）：实质上，均匀变化率是两头点连线的斜率（依旧用直线的斜率来刻画），而意义在于近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋向.昨天上完课，有同学识我这样一个问题，（PPT演示，同均匀变化率的两个函数）.两个函数在区间上均匀变化率同样，那么如何的平均变化率更凑近实质变化呢？资料S：减小区间T：多小？1/5S：越小越好：我们知道，减小区间将会使区间退化成一个点，那么如何精准地刻画曲线上某一点处的“变化趋向”呢？我们来看这样一个演示（软件CorelDraw）资料T：若将点P邻近的曲线放大（即区间变小，两头点迫近），则会发现曲线在点P邻近看上去像是直线.若再放大，则曲线在点P邻近看上去几乎成了直线（试试让学生讲出来？？）资料T：事实上，若持续放大，则曲线在点P邻近将迫近一条确立的直线，该直线是经过点P的全部直线中最迫近曲线的一条直线.所以，在点P邻近我们能够用这条直线来取代曲线，也就是说，在点P邻近，曲线能够当作直线（即在很小范围内以直代曲）资料个人采集整理，勿做商业用途T：既然这样，我们也能够用直线的斜率来刻画曲线经过点P时上涨或降落的“变化趋向”于是如何找到这条经过曲线上一点P处最迫近曲线的直线就成为要点来看这张图，（只有PQ这条直线）.PQ是最迫近曲线的直线吗？资料S：不是：有更迫近的吗？S：有：可否作一条？S：（口述作图方法）T：还有吗？如何找到经过曲线上一点P处最迫近曲线的直线呢？我们下边分组来议论这个问题，每个小组取出自己的方案（分组议论）资料2/5S：我们小组的方案是：P不动，跟着点Q沿着曲线向点P运动，于是PQ愈来愈迫近曲线，当点Q无穷迫近点P时，直线PQ最后就成为在点P处最迫近曲线的直线资料个人采集整理，勿做商业用途T：很好，这条最迫近曲线的直线，事实上就是曲线在点P处的切线.这就是本堂课的主题（板书课题）.这类思想方法就是利用割线来迫近切线.这里说明一下（PPT里打出割线，切线的定义）.资料T：来看一下例1，我们亲身着手用割线迫近切线的方法来画切线（实物投影仪演示一下学生的成就，赐予一定）利用这类方法，我们找到了曲线上在P处最迫近曲线的直线，即曲线在点P处的切线.依据上节课的知识，我们知道能够用直线的斜率来刻画均匀变化率，所以我们能够用这条切线的斜率来刻画曲线在P点处的变化趋向，那么如何求这条切线的斜率呢？问题：如何求曲线上一点处的切线的斜率？（PPT打出来）（让学生讲）资料个人采集整理，勿做商业用途S：T：方才从图形上我们看到Q点无穷迫近P点，那么这个过程反应在数目上就是Q点横坐标与P点横坐标的差无穷小，当时，割线变为了切线.利用这类方法，我们能够计算曲线上一点处的切线斜率.资料例2解说（亲身板书）例3让学生上黑板板书小结：求曲线上一点处的切线斜率（方程）的步骤：①...②...最后我们来概括一下：（让学生说感觉）1.割线、切线的观点，切线斜率（方程）的求法2.近似到精准（宏观到微观）3/5【目标要求】3.经过割线迫近切线的过程，理解割线的斜率迫近切线的斜率4.会求曲线上某点处的切线的斜率（方程）【要点难点】要点：切线斜率（方程）的探究难点：感悟割线迫近切线的“迫近”思想，割线斜率迫近切线斜率是“以直代曲”的一种数目化【典例解析】例1.利用直尺，用割线迫近切线的方法作出以下曲线在点P处的切线例2.已知，求曲线在x=2处的切线斜率.例3.设曲线在点（1，a）处的切线与直线平行，求a的值．【学后反省】1.求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线的过程：①设曲线上的另一点②求得割线PQ的斜率＝_________③当时，（常数），k即为所求【作业反应】1.若函数在x=1处有增量时，函数相应的有增量＝___________．2.抛物线在点P(1,-1)处的切线的斜率是_________．3.曲线在点P(x0,y0)处切线平行于直线，则点P坐标为__________．4/54.曲线在处切线的倾斜角是_________．5.函数在点处的切线方程是．6.在高校数学教材中有结论“当时，”，利用这一结论，可得：当时，无穷趋近