2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷

2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项

只有一个。

1.（2分）中国首次火星探测任务天间一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成

为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约1100（）千米处，拍摄了火星全景图像.将11000

用科学记数法表示应为（）

A.llxlO3B.l.lxlO3C.l.lxlO4D.O.llxlO56

2.（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.长方体B.三棱柱C.三棱锥D.圆锥

3.（2分）如图，ABHCD,4=100。，ZBC£>=50°,NAC3的度数为（）

4.（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.角B.等腰三角形C.平行四边形D.正六边形

5.（2分）实数〃在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数6满足a+b>0,则b的值可

以是（）

_-----1-----1------i----1_>

-2-10123

A.-1B.0C.1D.2

6.（2分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,除数字外四张

卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是

A.-B.-C.-D.-

3524

7.（2分）已知关于工的一元二次方程f+如+机_1=0有两个不相等的实数根，下列结论

正确的是（）

A.w2B.77?>2C.m..2D.772<2

8.（2分）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同.用f表

示小球滚动的时间，v表示小球的速度.下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与f的函数

关系的图象大致是（）

A.B.

D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）若^/^3在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是

10.（2分）写出一个比-夜大且比夜小的整数

二二;的解为

（2分）二元一次方程组

12.（2分）如图所示的正方形网格中，O,A,B,C,。是网格线交点，若CQ与A3所

在圆的圆心都为点O,则8与A3的长度之比为

13.（2分）如图，AABC中，3c>84,点。是边3c上的一个动点（点。与点6,C不

重合），若再增加一个条件，就能使A4BQ与AABC相似，则这个条件可以是（写出一

个即可）.

14.（2分）如图，直线y=+b与抛物线y=-/+2x+3交于点A,B,且点A在y轴上,

点5在x轴上，则不等式-丁+2x+3>fcr+A的解集为.

15.（2分）如图，在四边形ABCD中，AC_L8£>于点O,80=IX）.有如下四个结论：①

AB=ADx®ZBAC=ZDAC；®AB=CD；®AO=CO.上述结论中，所有正确结论的

序号是.

16.（2分）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表

所示：

班级1班2班3班4班5班6班7班8班

人数2919252322272124

若已经有7个班级的学生完成了体检，且己经完成体检的男生、女生的人数之比为4:3,则

还没有体检的班级可能是.

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题6分；第23题5分；第24-26

题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）

17.（5分）计算：（；尸+2cos45。-1一夜|+（2021-万）°.

二£

18.（5分）解不等式组：厂2X.

2（1+x）>x

19.（5分）解方程：，1+1=4.

x+2x+2

20.（5分）已知2y之一y-l=0,求代数式（2y+x）（2y-x）-（2y-的值.

21.（5分）已知：如图，AABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段班>,使得点O在线段AC上，且NCBO=!NBAC.

2

作法：①以点A为圆心，/w长为半径画圆；

②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交DA于点尸（不与点3重合）：

③连接交AC于点

线段比>就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC.

\AB=AC9

点C在口A上.

・・•点产在口A上,

/.ZCPB=-ZBAC（填推理的依据）.

2

•;BC=PC,

,\ZCBD=____.

/.ZCBD=-ZBAC

2

22.(6分)如图，在矩形A8CE)中，对角线AC,相交于点O,过点C作CE//8D,交

4)的延长线于点E.

(1)求证：ZACD=ZECD;

(2)连接OE,若/揖=2,tanZACD=2,求OE的长.

23.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,2)是直线/:y=x-l与函数y=K(x>0)的

X

图象G的交点.

(1)①求。的值；

②求函数y=6(x>0)的解析式.

X

(2)过点P(〃，0)(〃>0)且垂直于x轴的直线与直线/和图象G的交点分别为M,N,当

S.>S^OPN时，直接写出〃的取值范围•

24.(6分)如图，AABC中，NC=90。，点E在43上，以跳;为直径的口O与AC相切于

点、D,与3c相交于点尸，连接8£),DE.

(1)求证：ZADE=ZDBE；

(2)若sinA=|,BC=6,求口O的半径.

c

D

25.（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品

橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度

等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.测评分数（百分制）如下：

甲：77,79,80,80,85,86,86,87,88,89,89,90,91,91,91,91,91,92,93,

95,95,96,97,98,98

乙：69,79,79,79,86,87,87,89,89,90,90,90,90,90,91,92,92,92,94,

95,96,96,97,98,98

b.按如下分组整理、描述这两组样本数据：

测评分数X60,,x<7()7Q,x<808Q,x<909(啜kI100

个数

品种

甲02914

乙13516

c.甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示:

品种平均数众数中位数

甲89.4m91

乙89.490n

根据以上信息，回答下列问题

（1）写出表中机，〃的值

（2）记甲种橙子测评分数的方差为s：,乙种橙子测评分数的方差为学，则s；,s；的大小

关系为

(3)根据抽样调查情况，可以推断一种橙子的质量较好，理由为—.(至少从两个不同

的角度说明推断的合理性)

26.(6分)如图，在等腰三角形A8C中，ZBAC<60°,AB=AC,。为8c边的中点，将

线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接BE交AD于点F.

(1)依题意补全图形

(2)求NA/石的度数；

(3)用等式表示线段AF,BF,斯之间的数量关系，并证明.

27.(7分)在平面直角坐标系》。)，中，抛物线丫=尔+法+“-4("0)的对称轴是直线％=1.

(1)求抛物线了=。f+〃x+a-4(aw0)的顶点坐标；

(2)当-2期k3时，y的最大值是5,求。的值；

(3)在(2)的条件下，当啜!kf+1时，y的最大值是“7,最小值是〃，且%-〃=3,求r

的值.

28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点尸，给出如下定义：将图形M绕点P

顺时针旋转90。得到图形N,图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点

D为点C关于点P的“垂直图形”

(1)点A关于原点。的“垂直图形”为点5.

①若点A的坐标为(0,2),则点B的坐标为—；

②若点3的坐标为(2,1),则点A的坐标为；

(2)£(-3,3),尸(—2,3),G(a,0).线段关于点G的“垂直图形”记为E9，点£的对

应点为£,点尸的对应点为9.

①求点E的坐标(用含。的式子表示)；

②若口。的半径为2,E9上任意一点都在口。内部或圆上，直接写出满足条件的EE的长

度的最大值.

>'A

5-

4-

3-

2-

1_

-5-4-3-2-10-12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

图1备用图

2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项

只有一个。

1.（2分）中国首次火星探测任务天间一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成

为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000千米处，拍摄了火星全景图像.将11000

用科学记数法表示应为（）

A.HxlO3B.l.lxlO3C.l.lxlO4D.O.llxlO5

【解答】解：将11000用科学记数法表示为l.lxlO」.

故选：C.

2.（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.长方体B.三棱柱C.三棱锥D.圆锥

【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个三角形，

则可得出该几何体是三棱柱.

故选：B.

3.（2分）如图，AB//CD,ZA=100。，=50°,NACB的度数为（）

【解答】解：ZA=100°.

.-.ZA+ZACD=180°.

.-.ZACD=80°.

•.•ZBCE>=50°.

ZACB=ZACD-BCD=30°.

故选：B.

4.（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.角B.等腰三角形C.平行四边形D.正六边形

【解答】解：A.角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

5.（2分）实数。在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数6满足a+6>0,则6的值可

以是（）

4tl।।I।、

-2*-l0~1~2~

A.-1B.0C.ID.2

【解答】解：根据数轴有：-2<a<-l.

•：a+b>G.

的值可以是2.

故选：D.

6.（2分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,除数字外四张

卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是

13

2-D.4-

【解答】解：根据题意画树状图如图:

开始

共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种,

，两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为3=工，

123

故选：A.

7.（2分）已知关于x的一元二次方程f+〃a+〃-1=0有两个不相等的实数根，下列结论

正确的是（）

A.tn丰2B.m>2C.m..2D.m<2

【解答】解：根据题意得△=1-4x1x（,”-1）=（"?-2）2>0,

解得机工2,

故选：A.

8.（2分）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同.用f表

示小球滚动的时间，丫表示小球的速度.下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与/的函数

关系的图象大致是（）

【解答】解：由题意得，

;•小球从静止开始，设速度每秒增加的值相同为。.

：.v=vQ+at=0+axt,

即v=故是正比例函数图象的一部分.

故选：D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）若^/^^在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_x..5

【解答】解：式子在实数范围内有意义，则X-5..0,

故实数x的取值范围是：x.5.

故答案为：x..5.

10.（2分）写出一个比-夜大且比血小的整数谴1）

【解答】解：

1<V2<2,

-2>-V2<-l,

二比-夜大且比&小的整数有-1,0,1.

故答案为：-1（或。或1）.

11.（2分）二元一次方程组的解为F=°.

[x+2y=2-[y=L

【解答】解：出+尸巴

[x+2y=2②

②+①得3x+3y=3,即x+y=l③，

①-③得，x=0,

②—③得，y=1,

方程组

故答案为：1.

[y=l

12.（2分）如图所示的正方形网格中，O,A,B,C,。是网格线交点，若CO与A8所

在圆的圆心都为点O,则CD与AB的长度之比为一夜:1

-—1-一L-1--T-一■

；A'''C111

【解答】解：由勾股定理得，0C=0£>=巧丁=2&,

则OC2+OD1=CD2,

.-.ZCOD=90°.

CD与AB的长度之比=9°"2左：型吐=」：1,

180180

故答案为：72:1.

13.（2分）如图，A48C中，8C>84,点。是边8C上的一个动点（.点D与点、B,C不

重合），若再增加一个条件，就能使与AABC相似，则这个条件可以是_44£>=NC

或N8D4=NB4C或组=殷（写出一个即可）.

——BCAB一

.,.当N54D=NC时，ABAD^ABCAi

当N8D4=NB4C时，\BAD^>\BCA；

当丝=丝时，^BAD^\BCA.

BCAB

故答案为Z84D=NC或NBD4=N54。或空=也.

BCAB

故答案为ZB4Z)=NC或NB/M=N84C或空=处.

BCAB

14.（2分）如图，直线y=fcv+b与抛物线丫=-产+21+3交于点A,B,且点A在y轴上,

点5在x轴上，贝IJ不等式一W+2x+3>fcc+A的解集为_0<x<3

【解答】解：•.■抛物线y=-d+2x+3交y轴于点A,交x轴正半轴于点8,

・,.点A(0,3),

当y=0时，0=-X2+2X+3,

%=3,二-1，

.,.点B（3,0）,

等式-/+2x+3>Ax+b的解集为0cx<3，

故答案为0cx<3.

15.（2分）如图，在四边形ABCD中，AC_L3D于点O,BO=DO.有如下四个结论：①

AB=AD-.®ABAC=ADAC③AB=CD;®AO=CO.上述结论中，所有正确结论的

序号是①②.

【解答】解：•.•AC_LB£>,

/.ZAOB=ZAOD=90°,

在A4O8和AAO£>中，

BO=DO

<ZAOB=ZAOD,

AO=AO

.■.MOB=MOZXSA5）,

:.AD=AB,ZBAC=ZDAC,

由条件不能证明43=CD,AO=CO,

故①②正确，

故答案为①②.

16.（2分）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表

所示：

班级1班2班3班4班5班6班7班8班

人数2919252322272124

若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为4:3,则

还没有体检的班级可能是1班或者5班.

【解答】解：•.•己经完成体检的男生、女生的人数之比为4:3.

.•・已经体检了的人数为7的倍数.

・•・去掉1班的时候，其他7个班相加为161,161是7的倍数，故可能为1班没有体检；

去掉5班其他7个班相加168,也是7的倍数，故可能为5班没有体检.

故答案为：1班或者5班.

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题6分；第23题5分；第24-26

题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）

17.（5分）计算：（；尸+2cos45°-|八5|+（2021-万）°.

【解答】解：原式=4+2义也-0+1

2

=4+应-0+1

=5.

18.（5分）解不等式组：\X~12X.

2（14-X）>X

【解答】解：解不等式工―1<,一得：x<2,

2

解不等式2（1+x）>x,得：x>-2,

则不等式组的解集为-2vxv2.

19.（5分）解方程：—I2£_.

x+2+=x+2

【解答】解：去分母得：l+x+2=2x,

解得：x=3,

经检验，1=3是原方程的解，

.,・原方程的解为：x=3.

20.（5分）已知2y2一y一1=0,求代数式（2y+%）（2y-x）-（2y-/）的值.

【解答】解：原式=4丁一2丁+工2

=4y2-2y,

当2y2-y-l=0,即2y2-y=l时，

原式=2（2y2-y）=2x1=2.

21.（5分）已知：如图，AABC中，AB=AC,AB>BC.

求作：线段班>，使得点。在线段AC上，且NC8O=1NBAC.

2

作法：①以点A为圆心，长为半径画圆：

②以点C为圆心，8c长为半径画弧，交口4于点P（不与点3重合）;

③连接3P交AC于点C.

线段8。就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC.

-,-AB=AC,

.,.点C1在口A上.

•.•点P在□A上，

ZCPB=-ZBAC（圆周角定理）（填推理的依据）.

2----------------

-.BC=PC,

:.NCBD=

ZCBD=-ZBAC

2

【解答】解：（1）如图，3。为所作;

A

（2）证明：连接PC,如图，

-AB=AC,

.・•点C在□A上.

•・•点尸在口A上,

:.NCPB=L/BAC（圆周角定理）,

2

­/BC=PC,

/.NCBD=/CPB,

ZCBD=-ZBAC.

故答案为：圆周角定理；Z.CPB.

22.(6分)如图，在矩形中，对角线AC,相交于点O,过点C作CE//BD,交

AD的延长线于点石.

(1)求证：ZACD=ZECD；

(2)连接OE,若/1B=2,tanZACD=2,求。E的长.

BC

【解答】证明：（1）・.,四边形ABCD是矩形,

:.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

:.OC=OD,

;./ODC=NOCD,

•・・CE//BD,

NODC=NDCE,

ZACD=ZECD；

CD

:.AD=4,

-DOUCE.

ADAO

——=——=1t,

DEOC

:.DE=AD=4,

•：OFI/CD,

/.AAFO^AAZX7,

.AFFOAO\

茄一而一二一5'

AF=DF=2,OF=—CD=1,

2

；,EF=6,

EO=-JEF2+OF2=036+1=A/37.

23.(5分)如图，在平面直角坐标系x。)，中，A(a,2)是直线/:y=x-l与函数y=A(x>0)的

X

图象G的交点.

(1)①求。的值；

②求函数y=&(x>0)的解析式.

X

(2)过点P(〃，0)(〃>0)且垂直于x轴的直线与直线/和图象G的交点分别为M,N,当

SWM>S/时，直接写出«的取值范围•

【解答】解：(1)①4(〃,2)代入y=X—1得：2=a—l,

/.cz=3;

②,.,々=3，

/.4(3,2),

把A(3,2)代入y=人得：2=幺，

x3

,\k=6，

：.函数y=4(x>0)的解析式为>；

XX

(2)如图：

,•*SROPM=2OP,PM，SAOPN=­°P,PN，S〉OPM>S£&OPN

：,PM>PN，即VM>NN，

由图象G:y=9与直线/:y=x—l交于4(3,2)知，当x>3时，yM>yN,

x

*',当S&OPM>S&OPN时，x>3,即〃>3.

24.(6分)如图，A48C中，NC=90。，点石在AB上，以BE为直径的口。与AC相切于

点、D,与5C相交于点/，连接5。，DE.

(1)求证：ZADE=ZDBE；

(2)若sinA=—,BC=6,求口O的半径.

5

c

D

【解答】（1）证明：连接QD,如图,

・・・AC为切线,

.\OD.LAD,

:,ZODA=90°.

,.♦BE为直径，

ZBDE=90°f

•;NDBE+ZBED=90。,ZADE+NODE=9伊,

而NODE=NOED,

:.ZADE=ZDBEx

(2)解：设口。的半径为，

在RtAACB中，sin4=—

AB5

/.AB=-BC=-x6=\0

33f

-OD.LAD,BCA.AC,

:.OD//BC,

/.zXAZXX^AACB,

AOOD10-rr

——=——，即Hrl-----=-,

ABBC106

解得r="，

4

即口。的半径为”.

4

25.（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品

橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度

等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.测评分数（百分制）如下：

甲：77,79,80,80,85,86,86,87,88,89,89,90,91,91,91,91,91,92,93,

95,95,96,97,98,98

乙：69,79,79,79,86,87,87,89,89,90,90,90,90,90,91,92,92,92,94,

95,96,96,97,98,98

b.按如下分组整理、描述这两组样本数据:

测评分数X60,,x<7()7Q,x<808Q,x<909(啜kI100

个数

品种

甲02914

乙13516

c.甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示:

品种平均数众数中位数

甲89.4m91

乙89.490n

根据以上信息，回答下列问题

（1）写出表中机，〃的值

（2）记甲种橙子测评分数的方差为s：,乙种橙子测评分数的方差为学，则s；,s；的大小

关系为＜

（3）根据抽样调查情况，可以推断一种橙子的质量较好，理由为—.（至少从两个不同

的角度说明推断的合理性）

【解答】解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91,即〃?=91，

将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90,因此中位数是90,即

拉=90,

答：m=91,〃一90;

（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得

故答案为：<；

（3）甲品种较好，理由为：甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高.

故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高.

26.（6分）如图，在等腰三角形A8C中，ZBAC<60°,AB=AC,。为3c边的中点，将

线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接砥交4）于点尸.

（1）依题意补全图形

（2）求NA7话的度数；

（3）用等式表示线段瓶，BF,所之间的数量关系，并证明.

【解答】解：（1）图形如图所示:

(2)-AB=AC=AEf

.•.点A是MCE的外心，

vZC4£=60°,NCBE=、NCAE,

2

/.Za?E=30°,

-AB=AC,BD=DC,

:.ADVBC,

ZBDF=90。,

・•.Z/女=N6ED=90。—30。=60。.

(3)结论：EF=AF+BF.

理由：如图，连接C尸，EC,在即上取一点7,使得口=叱，连接CT.

・・・AO垂直平分线段3C,

・・.FB=FC,

・•.4BFD=/CFD=ZAFE=60°，

.\ZCFE=60°,

•;FT=FC,

.•.ACFT是等边三角形，

：.CF=CT,"C7=60。，

・・・AC=A£,NC4E=60。，

・・.AACE是等边三角形，

.\C4=CE,ZACE=ZFCr=60o,

.­.ZFC4=Z7UE,

.\^FCA=^TCE(SAS),

:,AF=ET,

.\EF=FT+ET=BF+AF.

27.(7分)在平面直角坐标系中，抛物线yox?+打+。一4（4W0）的对称轴是直线工=1.

（1）求抛物线>+勿;+。_43工0）的顶点坐标；

(2)当一2领k3时，y的最大值是5,求。的值；

(3)在(2)的条件下，当掇!kf+1时，y的最大值是加，最小值是"，且〃?-〃=3,求f

的值.

【解答】解：(1)将x=l代入抛物线卜=奴2+法+。-4得，

y=a+b+a—4=2a+b—4,

•.•对称轴是直线x=l.

_,_±=1,

2a

:.b=—2a,

：,y=2a+b-4=2a-2a-4=-4>

抛物线丫=以2+队+”-4(4*0)的顶点坐标为(1,-4)；

(2)①。<0时，抛物线开口向下，y的最大值是-4,

•.•当—2领k3时.，y的最大值是5,

.•.”0不合题意；

②。>0时，抛物线开口向上，

•.•对称轴是直线x=l.l到-2的距离大于1到3的距离，

，x=-2时，y的值最大，

y=4a-2h+a-4=5a-2b-4=5，

将人=一2々代入得，a=l；

(3)①4,0时，

a=1f

b=-2a=—2，

y的最大值是机=/一2r+l—4=产一2r—3，最小值是n=(t+1)2-2(/+1)—3,

•：m—n=3i

r-2r-3-[(r+1)2-2(r+1)-3]=3,解得：t=-l；

②—r<1时，

2

「.y的最大值是6=(/+l)2-2(r+1)-3,最小值是〃=-4，

\'m~n=3，

.•.。+1尸-2«+1)-3-1)=3,解得：z=±