2021年高考理数真题试卷（四川卷）514带答案解析

2021年高考理数真题试卷（四川卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的.

1.设集合人=仅|-2SX42},Z为整数集，则ACZ中元素的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解：.「A={x|-24x42},Z为整数集，

AnZ={-2,-1,0,1,2},

则AnZ中元素的个数是5,

故选：C.

【分析】由A与Z,求出两集合的交集，即可作出判断.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含X，的项为（）

A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

【答案】A

【考点】二项式系数的性质

【解析】【解答】解：（x+i）6的展开式中含X，的项为吟3=-15x4,

故选:A.

【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案.；本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项

公式是迅速作答的关键，属于中档题.

3.为了得到函数丫=5析（2x-g）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平行移动g个单位长度B.向右平行移动g个单位长度

C.向左平行移动g个单位长度D.向右平行移动?个单位长度

OO

【答案】D

【考点】函数y=Asin（3X+4））的图象变换

【解析】【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数丫=5,2(x-)=sin(2x

oo

-T)的图象，故选：D.

【分析】由条件根据函数丫=人$而(3*+巾)的图象变换规律，可得结论.；本题主要考查函数y=Asin(3x+巾)

的图象变换规律，属于基础题.

4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()

A.24B.48C.60D.72

【答案】D

【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，

然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A$24种排法.由分步乘法

计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3x24=72个.

故选：D.

【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位

置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可.；本题考查了

排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题.

5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基

础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

()

(参考数据：lgl.l2=0.05,lgl.3=0.11,lg2=0.30)

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【答案】B

【考点】等比数列的通项公式

【解析】【解答】解：设第n年开始超过200万元，

则130x(1+12%)12015〉200,

化为：(n-2015)Igl.l2>lg2-lgl.3,

0.30—0.11c

n-2015>F^=3.8.

取n=2019.

因此开始超过200万元的年份是2019年.

故选：B.

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130x(1+12%)。2。15>200,两边取对数即可得出.；本题考

查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项

式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项

式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（

A.9B.18C.20D.35

【答案】B

【考点】程序框图

【解析】【解答】解：初始值n=3,x=2,程序运行过程如下表所示:

V=1

i=2v=lx2+2=4

i=lv=4x2+l=9

i=0v=9x2+0=18

i=-1跳出循环，输出v的值为18.

故选：B.

【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i,v的值，当i=-l时，不满足条件泛0,跳

出循环，输出v的值为18.；本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的

i,v的值是解题的关键，属于基础题.

y>x-1

7.设p：实数x,y满足（x-1）2+（y-1）2<2,q：实数x,y满足｛y21-x,则p是q的（）

y<1

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，简单线性规划的应用

【解析】【解答】解：（X-1）2+（y-1）242表示以（1,1）为圆心，以我为半径的圆内区域（包括边

y>x-1\

界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，

y<l）

故P是q的必要不充分条件,

故选：A

【分析】画出p,q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案.；本题考查的知识是线性规

划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档.

8.设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且

|PM|=2|MF|,则直线0M的斜率的最大值为（）

A.—B,-C.—D.1

332

【答案】C

【考点】抛物线的简单性质

2

【解析】【解答】解：由题意可得F（号0）,设P（迎，yo）,

22p

显然当yo<O,koM<0；当yo>O,koM>0.

要求的最大值，设yo>O,

2

则和0F+前0F+4FP=0^4<OP-0F)=切衣|oF=迎+与为），可得k°M=

6p33

2二2壁9IZ20.2p=亨

py。Vpy。

当且仅当y°2=2p2,取得等号.

故选：c.

【分析】由题意可得F(W，0),设P(迎，y。)，要求k°M的最大值，设y°>0,运用向量的加减运

22p

2

算可得0M=(汉+号也)，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值•；

336P33

本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考

查运算能力，属于中档题.

9.设直线h,l2分别是函数f(x)=「7居图象上点Pl,P2处的切线，Il与I2垂直相交于

Lnx,x>1

点P，且h,L分别与y轴相交于点A,B,则APAB的面积的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

【答案】A

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：设Pi(xi,yi),P2(X2,y2)(0<xi<l<X2),当0<x<l时，F(x)=一2,

X

当x>l时，F(x)=1，h的斜率k.=--,12的斜率k2」，

xx1x2

.「Il与I2垂直，且X2>X1>O,

kj^2=---1,即xiX2=l.直线h：y=~—(x-xj-lnXpl2：

x]x2x]

y=—(x-x2)+lnx2.

x2

取x=0分别得到A(0,1-Inxi),B(0,-l+lnx2),

|AB|=|1-Inxi-(-1+lnx?)|=|2-(Inxi+lnxz)|=|2-lnxiX2|=2.

2xiXn112x<Xn

联立两直线方程可得交点P的横坐标为x二一1，・•.SAPAR^|ABH|XP|=~X2X—1二

x1+x2△尸即22x1+x2

2_2、

Xj+X2X+1.・••函数y=x+1在(0,1)上为减函数，且0<X1V1,「.盯\—〉1+1=2,则

X[X]xx1

APAB的面积的取值范围是(0,1).

故选：A.

【分析】设出点P1,P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线11与L的斜率，由两直线垂直求

得Pi,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程，求得A,B两点的纵坐标，得到

|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的

取值范围.；本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最

值，考查了数学转化思想方法，属中档题.

10.在平面内，定点A,B,C,D满足|市|=\DB\=\DC\,DA»'DB='DB»DC=DC»DA=-

2,动点P,M满足|万|=1,两=祝，贝U|丽『的最大值是()

AC37+60国

A.——43D37+2

4B-7.4.4

【答案】B

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：由|=|5B|=।pc卜可得D为&ABC的外心，又DB-DB*DC=DC,

DA)可得而“DA-DC)=0>DC,(DE-DA)=0>即DB,AC=DC,/°，即有DB-1-AC'DC-1-

AB，可得D为△ABC的垂心，

则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形.

由DA,而=-2,即有I福|・|福|cosl20°=-2,解得I福1=2,△ABC的边长为4cos30°=2、/9

以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,

可得B(3,-«),C(3,«),D(2,0),由|薪|=1，可设P(cos9,sin0),(0<8<2n),

由而=元，可得M为PC的中点，即有M(3+c”正等与)，贝|j|丽代(3-3+c°S9)

2

2+（遥+sin8+局2=（3-cos8）"+（3>/^+sin8）=37-6cos8+6V^sin8_

-27s-44

TT

37+12sin（8一万），当sin（6-5=1,即。=爸时，取得最大值，且为号.

【分析】由|DA|=|DB|=|DCb可得D为△ABC的外心,又福•徐瓦•许说•五，可得可

得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形.运用向量的数量积定义可得△ABC的

边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,求得B,C的坐标，再设P(cos。，

sin6),(O<0<2n),由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函

数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值.；本题考查向量的定义和性质，以及模的

最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档

题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

ll.cos2--sin2-=.

88------------------------

【答案】立

2

【考点】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：cos2--sin2^=cos(2x—)=cos.

88842

故答案为：立

2

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子

的值.；此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关

键.

12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中

成功次数X的均值是.

【答案】|

【考点】离散型随机变量的期望与方差

【解析】【解答】解：..・同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成

功，，这次试验成功的概率p=l-(5)2=■!，・,・在2次试验中成功次数X〜B(2,.•.在2次试验

244

中成功次数x的均值E(X)=2x3=故答案为：4

【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X〜B(2,

3),由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E(X).；本题考查离散型随机变量的分布列的求法，

4

是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用.

13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_

【答案】叵

3

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解：.••三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,

结合给定的三棱锥的正视图，

可得：三棱锥的底面是底为2M，高为1,

棱锥的高为1,

故棱锥的体积v=(5X2折1)Xl=爽，故答案为：近

【分析】由己知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2V3-高为1，棱锥的高为1，

进而得到答案.；本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的

形状是解答的关键.

14.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当OVx<l时，f(x)=4乂,则

【答案】-2

【考点】函数奇偶性的性质

【解析】【解答】解：f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，，f(-|)=f(-2-；)=f(-)

=-f(”

xG(0,1)时，f(x)=4X,

f(-：)=-2,

2

「f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，

・・・f(-1)=f(1),f(-1)=-f(1),

f(1)=0,

・・.f(--)+f(1)=-2.

2

故答案为：-2

【分析】根据f(x)是周期为2的奇函数即可得到f(-|)=f(-2-)=f(-)=-f(|),利

用当0<x<l时，f(x)=4*,求出f(-|),再求出f(1),即可求得答案.；考查周期函数的定

义，奇函数的定义，学会这种将自变量的值转化到函数解析式f(x)所在区间上的方法.

15.在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的"伴随点”为P，(击，岳)；当P是

原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面曲线C上所有点的"伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴

随曲线现有下列命题：

①若点A的"伴随点"是点A\则点A，的"伴随点”是点A；

②单位圆的"伴随曲线"是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线"C关于v轴对称;

④一条直线的“伴随曲线"是一条直线.

其中的真命题是(写出所有真命题的序列).

【答案】②③

【考点】命题的真假判断与应用

y-xy

【解析】【解答】解：①若点A(x,y)的"伴随点"是点AY一9'F—9)，贝I点A'(二

x+yx+yx+y

X

99)的"伴随点”是点(-X,-y),故不正确；

x+y

②由①可知，单位圆的“伴随曲线"是它自身，故正确；

y

③若曲线C关于x轴对称，点A(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),"伴随点"是点A*(-/9,

x+y

A

9n),则其"伴随曲线"C关于y轴对称，故正确；

x"+y

④设直线方程为y=kx+b(bwO)，点A(x,y)的"伴随点”是点A，(m,n),则

••・点A(x,y)的"伴随点"是点A'(J二二「.x=-产y=m=

1n

x^+yx4+yykn+mkn+m

•・.代入整理可得n^+n2-4n-l=0表示圆，故不正确.

x'+yb

故答案为：②③.

【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论.；此题考查点的坐标规律，读懂题目信

息，理解“伴随点”的定义是解题的关键.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，

拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部

分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：

吨)，将数据按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方

频率

0.52

图

6

0.12

0.8

0.4

0.

o511.522.533.544.5月均用水里(吨)

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.

【答案】(1)解：:0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,

a=0.3

(2)解：由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5x(0.12+0.08+0.04)=0.12,

由30x0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万

(3)解:由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0,52)=0.73<85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%；

则x=2.5+0.5x----73=2.9吨

0.3X0.5

【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征

【解析】【分析】(1)根据各组的累积频率为1,构造方程，可得a值；

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；

(3)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值.

本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题.

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且――+=――.

abc

(1)证明：sinAsinB=sinC；

(2)若b2+c2-a2=|be,求tanB.

【答案】（1）证明：在AABC中，・.•誓+等=等

cosA,cosBsinC

由正弦定理得:---------1---------=-------

sinAsinBsinC

,cosAsinB+cosBsinA_sin(4+B)

sinAsinBsinAsinB

sin(A+B)=sinC.

整理可得：sinAsinB=sinC

（2）解：b2+c2-a2=|be,由余弦定理可得cosA二|.

.“4cosA3

sinA=-,--=-

5smA4

cosA,cosBsinC.cosB1

sirMsinBsinCsinB4

tanB=4.

【考点】正弦定理，余弦定理，余弦定理的应用

【解析】【分析】（1）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.

（2）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（1）的条件，求解B的正切函数值即可.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的

应用，考查了转化思想，属于中档题.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，ADIIBC,NADC=NPAB=90。，BC=CD=1AD.E为棱AD的中点，异面直

线PA与CD所成的角为90。.

（1）在平面PAB内找一点M,使得直线CMII平面PBE,并说明理由:

（2）若二面角P-CD-A的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】(1)解：延长AB交直线CD于点M,•.,点E为AD的中点，，AE=ED=9AD,

BC=CD=-AD,ED=BC,

2

ADIIBC,即EDIIBC.四边形BCDE为平行四边形,即EBIICD.

ABnCD=M,/.MGCD,z.CMIIBE,

BE评面PBE,CMII平面PBE,

MGAB,ABc?P®PAB,

MW平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=ABnCD),使得直线CMII平面PBE

(2)解：如图所示,

,.1ZADC=ZPAB=90。，异面直线PA与CD所成的角为90°,ABnCD=M,

，APJ■平面ABCD.CD±PD,PA±AD.因此NPDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为

45".PA=AD.不妨设AD=2,则BC=CD=|AD=1./.P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),

EC=(-1,1,0),~PE=(0,1,-2),AP=(0,0,2),设平面PCE的法向量为n=(x,y,

z),则｛五*竺=。，可得：｛，一之=2.令y=2,则x=2,z=l,n=(2,2,1).

nxEC^O'—x+y=0

设直线PA与平面PCE所成角为。，则sin0=|cos(Q㈤|=靠调==|•

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点，可得AE=ED=：AD,由BC=CD=

|AD,可得ED=BC,已知EDIIBC.可得四边形BCDE为平行四边形，即EBIICD.利用线面平行的判定定

理证明得直线CMII平面PBE即可.

(2)如图所示，由NADC=NPAB=90。，异面直线PA与CD所成的角为9(rABnCD=M,可得APJL平面

ABCD.由CDJLPD,PA±AD.因此NPDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45。.PA=AD.不妨设

AD=2,则BC=CD=|AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),利用法向量的性质、

向量夹角公式、线面角计算公式即可得出.

本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能

力，属于中档题.

19.已知数列同｝的首项为1,Sn为数列同｝的前n项和，Sn+i=qSn+l,其中q>0,n£N*.

(1)若2a2,a3,a?+2成等差数列，求an的通项公式；

(2)设双曲线x2-事=1的离心率为en,且e2=|,证明：ei+e2+--•+en>9号.

【答案】(1)解：••,Sn+i=qSn+l①，，当*2时,Sn=qSn」+l②,两式相加你可得am=q・an,

即从第二项开始，数列｛aj为等比数列，公比为q.

当n=l时，.数列｛aj的首项为1,ai+a2=S2=q・ai+l,a2=q=ai・q,

•・・数列｛aj为等比数列，公比为q.

V2a2,a3,a?+2成等差数列，

2q+q+2=2q2,求得q=2,或q=-1.

根据q>0，故取q=2,，an=2nr,nGN*

(2)证明：设双曲线x2-二=1的离心率为en,

...en=姮尹=Jl+an2.

由于数列｛aj为首项等于1、公比为q的等比数列，

•••e2=-=71+a22=Ji+q2,q=§,

22n2

an=(y-1，；.en=y/1+an=Jl+2n->(^)~=(］尸.

2n-11

/.ei+e2+--•+en>l+|+(^)+...+(^)=;匕=,原不等式得证

3

【考点】数列的求和，数列与解析几何的综合

【解析】【分析】(1)由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列｛an｝为首项等于1、公比为q的等比

数列，再根据2a2,a3,az+2成等差数列求得公比q的值，可得｛a。｝的通项公式.

(2)利用双曲线的定义和简单性质求得，根据ez=|="口7，求得q的值，可得｛aj

的解析式，再利用放缩法可得en=J1+>g)n-1,从而证得不等式成立.

本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，数曲线的简单性质，属于难

题.

20.已知椭圆E：[+[=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线I：

a2b2

y=-X+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线I，平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线I交于点P.证明：

存在常数入，使得|PT|241PAi・|PB|,并求人的值.

【答案】(1)解：设短轴一端点为C(0,b),左右焦点分别为Fi(-c,0),F2(c,0),其中c>0,

则c2+b2=a2；

由题意，AFiF2c为直角三角形，

22

\F1F2\=+\F2C\,解得b=c=*a,

，椭圆E的方程为三+\=1；

2a2

代人直线I：y=-x+3,nJW3x2-12x+18-2b2=0,

又直线I与椭圆E只有一个交点，则4=122-4x3(18-2b2)=0,解得b2=3,

椭圆E的方程为兰+4=1；

63

由b?=3,解得x=2,则y=-x+3=l,所以点1■的坐标为(2,1)

(2)证明：设P(xo,3-xo)在I上，由k0T=\,I'平行OT,

得I'的参数方程为｛、,“U，

y=3—%o+f

2

代人椭圆E中，得(x()+2t)2+2(3-x0+0=6，

22

整理得2t+4t+x0-4xo+4=O；

设两根为tA,tB,则有tA・tB=鱼包；

2

而IPTI2=_2+2t)2+(3—%o+《)2?=2(%o—2)2,

|PA|=+2以)-％o[2+[(3-％o+以)一(3—&)[2=|V5tA|,

|PB|=J[(%o+25)一&]2+[(3-+J)—(3—%o)[2=|V5te|,

且|PT/二入|PA|・|PB|,

•1-IP"_2(&-2产_4

2

••一\PA\X\PB\-1(X0-2)・5，

即存在满足题意的入值.

【考点