2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）

2021年高考数学(理)2月模拟评估卷(一)(全国2卷)

本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分

满分150分.考试时间120分钟

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={(乂丁)|"一了=。},5={。/)|一2》+、=3},则4B=()

A.(-3,-3)B.(3,3)C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}

【答案】C

x—y=0

【解析】联立方程组4c.c,解得x=-3,y=—3,r.AB={(-3,-3)}.

-2x+y=3

故选C.

2.设i为虚数单位，复数二一+「一=()

l-l\+1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

111+i+l—i2

【解析】-~~~^=7=1.故选D.

1-z1+z(l-z)(l+z)2

3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有()种.

A.阎B.43C.34D.

【答案】C

【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，

由乘法原理共有3x3x3x3=34种.故选C

4.已知P为抛物线C：/=2px(p>0)上一点，点P到C的焦点的距离为9,到》轴的距离为6厕P=()

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】由题意5=9-6=3.〃=6.故选B.

5.新型冠状病毒肺炎的潜伏期X(单位：日)近似服从正态分布：X~N(7,cf2),若P(X>3)=0.872,

则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（）

A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744

【答案】C

【解析】因为"=7,所以根据正态曲线的对称性知，

产（X211）=尸（XW3）=1-P（X>3）=1-0.872=0.128.故选C.

6.设S,为等比数列｛4｝的前〃项和，若>0,q=；,S“<2,则等比数列｛q｝的公比的取值范围是（）

A.（0,?B.（°，|C（用

【答案】A

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,因为q>0q=；,S,<2,所以（）<q<1,

S=>一"I<2n]q"4+4g<°=W'3+4g<0,因为0<q<l,

\-q\—q\—q

所以有一3+44<0——3+4夕〈4”,因为0<q<1,所以0<q〃<L

3

因此要想一3+44</对于〃£]^恒成立,只需一3+44<0=>9<7，而0<4<1,

3

所以0<乡〈一.故选A

4

7.已知函数/（另=2而（5+0）,（。>0,|同<多的部分图象如图所示,/（力的图象过《7，1）,

8（个,-1）两点，将“X）的图象向左平移得个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）在0,子上的最小

值为（）

A.B.yp2C.—5/3D.—1

【答案】A

nr»(

【解析】由图象知，彳=子-：=乃，，T=2;r4ij0=l,，/(x)=2sin(x+0),

将点A与1卜勺坐标代入得,2sin仁+9］=1，即sin(59)=g,又同</勿=一心,

则/(x)=2sin(x—/,将/(%)的图象向左平移得个单位得到函数

g(x)=2sinx+---=2sin(x+3=2cosx,；.g(x)在0,—上的最小值为2cos*-日

故选A

/、((Q-2)X+2Q+1,X42〃/、

8.已知函数〃x)=FI(a〉0且awl),若J(x)有最小值,则实数。的取值范围是

2。，x〉2

()

【答案】D

［解析】由于函数/(X)有最小值,则函数y=(a—2)X+2a+1在区间(―,2］上不为增函数，可得

5,x<2

。一240.当。2时J(x)=<22<5,此时函数/(X)无最小值;

2r>2'

当“―2<0时，即当4<2时,函数卜=(。-2)*+2。+1在区间(一叫2］上为减函数，

3

①若函数y=2al在(2,物)上为增函数厕a>1,且有2(。-2)+2a+1W2a2-',g|J2〃-3v0,解得a45,

a

此时1<aW］；②若函数y=2al在(2,4W)上为减函数，则0<a<1.

33

且2优'>0,所以,2(a—2)+2。+140,即4a—3<0，解得。<公,此时。<a41.

综上所述，实数a的取值范围是(0,^.故选D.

9.若0<a<0<c,且。反=1,则下列结论一定正确的是()

①lga+lg〃<()②ac>l③2"+2">4④a+c?>2

A.①②B.②③C.①③D.①④

【答案】D

【解析】因为0<a<〃<c,且abc=l,所以O<a<l,c>l,O<ab<l,从'>l,所以对于①，

lg«+lg/?=lgab=lg-<Igl=0.故①正确；对于②，令a=!力=l,c=2,显然ac=1,故②错误；

c2

对于③,2"+2"-4=2"+2"-2欣-2而=2"(1-2A)+2〃(1一2"),由于Ac>l,ac>(),所以

1一2及<0,1—2",<0,所以2"+2/^-4=2"(l—2&)+2"(l-2"')<0,故③错误；对于④，由于0<a<b<c,

a+c~>2\lac，>2-Jahc=2，故④正确.故选D.

10.已知。为ABC所在平面内一点，若(04+OB)-AB=(08+OC)-BC=0,AB=6,AC=4,则

AOBC=()

A.-5B.-10C.10D.5

【答案】B

【解析】由己知得，((24+O8)<OB—tM)=(03+00-(OC—08)=0

2

oOB'-OA=OC2_o"=0O卜口8卜口。则Q为ABC的外心

设。。，4反。后_14。,垂足分别为。，£

根据两个向量数量积的儿何意义，可知AO-BC=AO(AC-AB)

=40.40-40»8=,4|时一|71叩/1司=2*4—3*6=—10,故选B.

11.已知f(x)是定义在(1,+刃)上的单调函数,g(x)是(0,+s)上的单调减函数，且/(2')=/(3v)=/(5，,

则()

A.g(2x)<g(3y)<g(5z)B.g(5z)<g(2x)<g(3y)

C.g(3y)<g(5z)<g(2x)D.g(3y)<g(2x)<g(5z)

【答案】B

、

【解析】由已知得2'=3'=5：=k>1,则x,y,ze(0,-H»)，所以x=log2k,y=log3kz=log5k,

2x21gzlg3lg9,°°2x21gzlg5lg25,

所以—=-----------=---->1，则2,x>3y,—=---------------=------<1，贝ij2x<5z,

3ylg231g左lg85zlg251gzlg32

所以0<3y<2x<5z.乂因为g(x)是(0,+oo)上的单调减函数，所以g(3y)>g(2x)>g(5z)

故选B.

12.已知点4,B,C在半径为2的球面上，满足A8=AC=1,8C=有,若S是球面上任意一点，则三棱锥

S—ABC体积的最大值为()

3+263+273门2+373e3+73

AA.-----hD>.------C.-------D.-----

1261212

【答案】A

【解析】设A6c外接圆圆心为。',三棱锥S—ABC外接球的球心为O.A8=AC=1,

设。为3c中点，连A。,如图，

则AD1BC,且0'在AO」:,AD=*2_(苧2=1，设ABC外接圆半径为r,

31______

尸=(―)2+(AD_r)2=1+(]一万,解得r=l,.[QO'|=物-r=6

要使S-ABC体积的最大，需S到平面ABC距离最大，即S为0'0的延长线与球面的交点，最大值为

百+2.所以三棱锥S-A3C体积的最大值为，X(6+2)SAB-X(G+2)X(」X6=3+2G

332212

故选A

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.已知向量"2=(2/,1),〃=(x,2)满足力〃=时•W，则实数X=.

【答案】0或,

4

【解析】mn=时•忖可得孙〃平行且同向，因为，〃=(2/,1),〃=(%2),所以2x2/=%，解得尤=0或

x=2,经检验,x=0或尤=1均合题意，故x=0或九=2.

444

14.设曲线y=alnx+d(a>o)上任意一点的切线为/,若/的倾斜角的取值范围是则实数

a=.

【答案】:

0

【解析】y=oInA：+x2(a>0),x>0,=-+2x>2^--2x=2，当且仅当q=2x时等号成立,

X

l的倾斜角的取值范围是£，£[・•・.2痴=tan£=1,解得a=1.

42)48

15.己知双曲线M：=_与=1(。>0,。〉0),ABC为等边三角形.若点4在y轴上，点员C在双曲

a~b

线M上，且双曲线M的实轴为ABC的中位线，则双曲线M的离心率为.

【答案】V2

【解析】实轴长为2a，则BC=4a.BC关于N轴对称，不妨设B在双曲线左支，则其横坐标为2a，根据

ABC为等边：:角形,NABC=60可得y„=-^a.故B(2a,一百a).C(—2a,—Ga)，将B的坐标代入双

曲线方程有，华-算=1,则。=乩则,=缶，故e=JL

ab~

16.已知单调递增的数列｛a,J满足q、6、«5成等比数列，％、包、％成等差数列，则」的取值范围是.

【答案】(f,l)(1,2)

【解析】设等差数列出、。4、4的公差为d，则。2=。4-4,/=4+”,且d>0,设等比数列q、。3、a5

a.<a^<a,

的公比为九则q=2,%=%/且4工0,4工1.由题意可得＜--v4—d<%

右，即1q

qa3<a4<a5

a3<a4<a3q

一%<d—a<—a,八a.

由不等式的基本性质可得《4q,%v%+4<2%g——-.①当4>0时，则—<a<aq

qq33y

2a3<2a4<2〃3g

可得…，1＜鬻＜2一方吗卷＜2磊此时,%＞0,由%＜%可畛＞1，又

—

<2—j'V2,此时1</<2；②当«3<0时，则一^<a3<a、q，可得0<q<1,

q%q-«5q

-1aa+d1cl41a,-1.

•'-2---<------<一，即2--7<—<一，此时生<0,由%<4可得一<1，（）<4<1,则2--7<1,此

q-«3<zqq-%q%q-

时.＜1.综上所述的取值范围是S，l）（1,2）.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、

23题为选考题.

（一）、必考题：共60分

17.（12分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6c已知2csin3=3asinC,cosC=；.

（1）求证：ABC为等腰三角形；

（2）若ABC面积为2夜，。为AB中点,求线段CO的长.

3

解:（1）由2csinB=3asinC,根据正弦定理可得2M=3ac,所以26=3。,则6=一。,（2分）

2

29221322

112»2_^2ci+--a—c**—a—c

XcosC=-，根据余弦定理可得cosC=彳=ac,c=----4_------=4_,

33lab2a•3。3c「

2

13cc3

则/=二。2-。2,所以c=-a=b,

42

因此ABC为等腰三角形；（6分）

（2）因为角。是三角形内角，所以sinC＞0,则sinC=Jl—cos2c=2也,

3

因为A3C面积为2亚,

所以20=工。加也。=，4.34.述,解得。=2,所以。=，=3,（9分）

2223

又。为A3中点，所以cosZADC=-cosZBDC,

+CD2-32CD2-22r-

则-----------=--+----------，整理得ch=丁17，所以co=YU.（12分）

3342

2xxCD2xxCD/

22

18.（12分）已知椭圆C：\+方=1（。＞0）的离心率为e=#，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆

与直线％—y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若尸与AB均不重合,设直线PA与P8的斜率分别为配卷,证明：为定值.

解：（1）由题意可得圆的方程为f+丫2=尸.

因为直线了一丁+2=0与圆相切，

2

=及梆b=6，

所以d=正

又6=+=，即a-J§c，又/=c2+〃,解得a=V3,c—l,

a3

22

所以椭圆方程为2+匕=1.(6分)

32

(2)证明：设P(Xo，yo)(%HO),A(75,O),8(V5,O),

则直+应=1.即；=2—注=2do',

32033

2

,2(3-x0)

则&=―~一，，即6b-%%=年=3=2,

2

x0—\/3x(「-3x0—33

2

；.勺山2为定值一1-（12分）

19.（12分）在四棱锥P-ABCD中,B4_L底面ABCD,AO_LA8,AB〃CC4O=OC=AP=2,A8=1,点E为棱PC

的中点.

（2）求直线PC与平面尸£）8所成角的正弦值.

（I）证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图:

可得3（1,0,0）,。（2,2,0）,。（0,2,0）,2（0,0,2）,石（1,1,1）,（2分）

8E=（0,1,1）,。。=（2,0,0）,故8后.℃=0，所以8石，。。.（5分）

（2）BD=（-1,2,0）,PB=（1,0,-2）,PC=（2,2,-2）

设〃=（x,y,z）为平面PBD的一个法向量，

则〈即〈c八，不妨令y=l,可得〃=（2,1,1）.（9分）

n-PB=0[x-2z=0''

设直线PC与平面PDB所成角为。

/、n-PC40

于是有sin0=cos（n,PC）=—n----=—j=-----『=—,

\/H||PCX/6X2X/33

所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为正.（12分）

3

20.（12分）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年

樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿

者的身高编成如下茎叶图（单位：厘米）.若身高在175cm及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且

只有文学院的“高个子''才能担任兼职主持人.

艺术学院文学院

91589

91612589

65017346

721801

119

（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高

个子”的概率是多少；

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用J表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出&的分布

列,并求4的数学期望.

解：（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为:

158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181,

其升高的中位数为：168+169=168.5cm；（3分）

（2）由茎叶图可知，"高个子’'有8人，“非高个子”有12人,

Q12

A按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5x—=2人，“非高个子”为5x二=3人,

2020

C27

则从这5人中选2人,至少有1人为高个子的概率P=1-/=下；（7分）

1U

（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则J的可能取值为0、1、2、3.

故P(J=0)=盘W=3=』PC=I)=型4=亚="

C；5628'Cg5628

pze15_1

P(J=2)=P化=3)=

"3'=五，C；56

即4的分布列为:

0123

515151

P

28285656

所以E(J)=0*鲁+1*篇+2乂2+3'工=£.(12分)

ZoZoJ)Odoo

21.(12分)已知函数/'(x)=e*-ox+sinx-l.

(1)若函数/(x)在(O,+8)上为增函数,求实数a的取值范围；

(2)当14"2时,证明：函数g(x)=(x-2)/(x)有且仅有3个零点.

解：(1)因为/'(x)=e*-a+cosx,

由函数〃x)在(0,+8)上为增函数，则a<e"+cosx在x«。,”)上恒成立.(2分)

令=ex+cosx,xe(0,-Ko),"(%)=e*-sinx

当x〉0时,e*>1,所以"(x)=e*-sinx>。恒成立.

所以〃(x)在(0,+8)为增函数.所以〃(力>/2(0)=2

所以aW2.(5分)

(2)由g(x)=(x_2)/(x)=(x_2乂eX_ax+sinx—l),则g(2)=0,g(0)=0

所以x=2.x=0是8(司=(X-2)〃%)的两个零点.

因为l«a<2,由(1)知，函数/(x)在(0,〜)上为增函数,/(x)>〃0)=0,无零点.

所以下面证函数/(x)在(YO,0)上有且仅有1个零点.(7分)

①当xe(-oo,-7t］时1<a<2,，一ar2%/(X)Ne'+7t+sinx-l>0.无零点.(8分)

②当xc(—兀,0)时,sinx<0.设〃(x)=/'(x),M'(x)=e*-sinx>0,

.••/'(X)在(―兀⑼上递增,

XV/,(0)=2-a>0,/,(-7r)=e-,t-l-a<0,

:,存在唯一零点飞e（-兀,0）,使得/'（7））=°・

当xe(—7i,Xo)时,/'(x)<0J(x)在(一兀,天)上递减；

当xe(%,0)吐了'(X)>0J(x)在(而,0)上递增.

所以，函数“X)在(-兀,0)上有且仅有1个零点.

故函数“X)在(y。,。)上有且仅有1个零点.⑴分)

综上：当14a<2时，函数g(x)=(x-2)/(%)有且仅有3个零点.(12分)

(二)、选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线G的极坐标方程为夕sin=2J5,

2,

X=t-{----1

0W不JT,曲线C2的参数方程为彳1t«的参数).

…二+1

It

(1)将曲线G的极坐标方程、。2的参数方程化为普通方程.

(2)设G,。2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.

解：(1)Qx?sin(e+?)=2夜，

psin^cos^+pcos^sin^-=272,0效版y

0x+y=4(0«xW4).

即G：x+y=