2021年高考数学（理）押题预测卷（新课标III卷）02（全解全析）

2021年高考押题预测卷【新课标川卷】

理科数学•参考答案

123456

BCBBCB

789101112

BDCCAD

13、【答案】3

14、【答案】3

15、【答案】28〃

16、【答案】^-1,——U{o}U5」）

17、【答案】（1）证明见解析，«„=—；（2）证明见解析.

2n

9

18、【答案】（1）a=0.0035,中位数650,众数600；（2）分布列见解析；期望为一；（3）填表见解析;

10

有.

JT

19、【答案】（1）证明见解析：（2）

4

22

20、【答案】（1）^+^=1；（2）是,定点为（6,0六口（一6,0）.

21、【答案】（1）极小值1，无极大值；（2）答案见解析；（3）[―1,+8）.

2

22、【答案】（1）x+/-4y=0.（2）瓦.

23、【答案】（1）U⑵证明见解析.

1.【答案】B

由维恩图可知，阴影部分为集合AnB={l,2}.

故选：B.

2.【答案】C

1-i1-i

因为二所以

故恸洞苇九

故选：c.

3.r答枭」B

设该校男老师的人数为x,女老师的人数为y,则可得如下表格:

方案一方案二

男老师0.5%0.5%

女老师0.25y0.75y

y4y4

由题意，——=0.4,可得所以

0.5x+0.25yx3尤+y7

故选：B

4.【答案】B

4°=2,.

10%=m-a'°_\I-

1，故〃而，故〃=—•210

20%=〃"m=—"220

.20

令人=2，.・.2记=10,：.'lg2=l,故7=男^33,

2100.3

故选：B.

5.【答案】C

解：由已知可得。=8,8=4,

所以c=4石，故M为椭圆的右焦点，

由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直X轴时弦长最短,

所以当x=48时，最短的弦长为竺＞=2*=4,

a8

当弦与x轴重合时，弦长最长为2。=16,

则弦长的取值范围为[4,16],

故弦长为整数的弦有4到16的所有整数,

贝『'好弦''的长度和为4+16+(5+6+7+--+15)X2=240,

故选：C.

6.【答案】B

由于丽、0B'灭1均为单位向量，则|。4=|°q=|°4=1，

由砺+2砺+24=0可得2ON+23=一函，所以，4(OB+OC)'^OA,

/*2»2.---»\..7

即4(。8+OC+2OBOCj=\,所以，OBOC=—5，

由赤+2万+2反=6，可得(丽+2丽+2瓦=0,

即况2+4丽Z+4反之+4丽•丽+4砺•元+8砺•元=0，解得砺•砺+砺反=一；

所以，ABAC=(0B-0A^(0C-0A^=0B0C-^0A0B+0A0C)+0A：=-^+^+\=^.

故选：B.

7.【答案】B

士=上=工=工=4

有正弦定理得B兀，

sinAsinsinCsi♦n—

6

所以。=4sinA〃=4sinB,

所以AC+^BC=Z?+V36z=4sinB+4>/3sinA

=4sinB+4gsin(8+C)=4sin8+4氐in/+f

=4sin3+4>/31sinBcos—+cosBsin—|

I66)

=4sinfid-sincosfi

2

=lOsinB+25/3cosB=A/100+12sin(^>)=4A/7sin(B+0).

甘,26V3V3_71

具中tan(p—-----——<—0<0<—>

10536

n5乃71

由于一<3<——,所以一<3+夕<〃，

663

故当3+夕=楙时，AC+GBC的最大值为4"

故选：B

8.【答案】D

解：根据三视图可得直观图为四棱锥P-A6C。，如图:

底面是一个直角梯形，

AD^AB,AD//BC,

AT>=4,AB=BC=PO=2,

且「0_L底面ABC。，

2+4

,该四棱锥的体积为=x2x2=4,

2

故选：D.

9.【答案】C

由已知得，对于选项A,/(%-x)=cos(2%-2x)+sin(〃-x)=/(x),正确;

对于选项8,令r=sinx(/G[—1,1]),

、2

又/(%)=2尤则=一一;9

-2sinx+sin+1,y=-2r+?+121+一♦

78

71%'

—上是增函数，y=-2上是减函数,

(627

{7171\

所以/(X)在二,二上是减函数，正确；

(62)

对于选项C,/(X)+/(万一％)=cos2x+sinx+cos(24一2x)+sin(=-x)=2(cos2x+sinx)^0,错

误；

对于选项。，令，=sinx(tG[—1,1]),

(iA2o

所以/(x)=-2sin2%+sinx+l=-2尸+Z+l=-2l+—,

19

所以当才=时，^=-,正确•

4o

故选：c.

10.【答案】c

解:由题得/'(x)=e*-l,设切点(f,f(ty),mf(t)=e'-t,f\t)=e'-I；

则切线方程为：y—(e'-f)=(d-l)(x—f),

即y=(/-l)x+d(l-f),又因为y=ox+b,

所以a=d—1，b=e'(.\-t),

则a+。=-l+2e'-fe'，

令g⑺=-l+2e'-te',则g'⑴=(l-t)e'，

则有/>1，g'（，）<0；t<l,g"）>0,即gQ）在（f』）上递增，在（1,+8）上递减,

所以f=1时,gQ）取最大值g（l）=-l+2e—e=e—l,

即a+力的最大值为e-l.

故选：C.

11.【答案】A

直线/方程为y=丘，代入椭圆方程得（；+-）/=1x=±2

J1+4A2

设M(xM,yM),N(XN,yN),则|MN|=~xM)~+(yN~y^)~

2।2ll+k2

Jl+k~|尤M-XNIJl+4~

J1+4k2J+4/\l+4k2

点A到直线/的距离为d=卜2〔,

、2卜_耳\-2k

历以SAAMN=；4MN\=,2Jl+4%2

\-2k-2A/1+4G-(1-2k)/诙

记八k)=k^,贝____________________2jl+41c-2(2k+1)

《1+4k2八K)1+4公r

(1+4公户

当左（一;时，（Q〉0,）（口递增，当得＜Z＜0时，八幻＜0,/（处递减，

所以％=-g时，/（口取得唯一的极大值也是最大值/（一；）=&.即AMAN面积的最大值为血.

故选：A.

12.【答案】D

X[

由题意得，xxe=t,2X2In2x2=t,即2工2皿2元？=*2的.也？声=1，

令函数F（x）=x・/,则f\x）=（\+x）ex,

所以，JTV—1时:/（X）＜0,段）在（・8,・1）上单调递减，心＞一1时，/（X）＞O,/（%）在（-1,+co）上单调递

增，

又当不仁（-8,0）时，y（x）＜0,x£（o,+oo）时，Xx）＞0,作函数/（l）=x"的图象如图所示.

由图可知，当/＞0时，有唯一解，故玉二ln2%,且内＞0,

…八21nZr「，/、2-21nZ,,，…

设力⑺=—^一,，＞。则〃。）=——，令。=0解得ue，

得人Q）在（0,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减,

2In?2

；.h(t)Wh(e)=一,即——的最大值为一.

e玉龙2e

故选：D.

13.【答案】3

1Z

作出可行域，如图AABC内部(含边界)，作直线/：x—3y=o,由x-3y=z得＞—

直线向下平移时，纵截距减小，z增大，

所以平移直线/,当直线/过点A(O,-1)时，z1rax=0-3x(-l)=3.

故答案为:3.

【来源】黄金卷16-【赢在高考?黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷(山东高考专用)

【答案】3

八2)七一1)量化一11+2化一1

1%))1X

工一11的展开式通项为

(元)yxy

所以,的展开式通项为

(+1,加以・(一1户铲T。+2C：•(-1丫・针7°=以.(一炉・铲-8+2C：.(_1丫./T。，

/22-8=0务=4

“2-10=0可得彳「

r=5

因此，（尤2+2）］4—1］的展开式的常数项为。；­（一1）4+2。。（一1）5=3.

故答案为：3.

15.【答案】284

解：如图1,设矩形488的中心为。|,的外接圆圆心为。2,连接。0「。。2,取A3中点E，

连接PE,«E,

所以由球的截面性质可知，。。，平面45。。，。。2，平面八:

在圆。2中，因为NAP3=6（）。，AB=2y/3,

所以当P优弧AB上运动，且在中垂线与圆02的交点处时面积最大，如图2,

此时=故尸K必过圆。2的圆心。2，

所以ZAPE=30°，AE=G，所以AP=AB=PB=2G

即当△PAB面积最大时，△QA8为等边三角形，

所以「

E_LAB，PE=3,P02=2,02E=1,

在矩形ABC。中，E为AB中点，&为BD中点,AD=2

所以。

］EJ.AS,01E-1,

所以NPE。是二面角尸-AB-。的平面角，即NPEQ|=120°,

由。。_L平面A3C£）,。。2,平面25，

所以。。，。田，oo1

2O2E,

所以在四边形。。乃。2中，

。，。七=如图

NOO|E=9（）ZOO2E=90\ZO2£O,=120\1,O2E=1,3,

所以/。。

201=60,/\OO2E^/\OO}E,

所以NEO«=30

所以在直角三角形。或中，。，

△0NEOQ=300,£=1,

所以0«=G，因为QA=gAC=2,

所以R2==|。。『+|a=7,

所以球。的表面积为S=4万穴2=28万.

故答案为：28%

图1

16.【答案】f-i,--U{o}U-J

当xe(O,l］时，易知函数丫=1—y单调递减，且Xf0时，y-2,X=1时，y=P其大致

\2J

图象如下,

又函数“X)是定义在［-1,1］上的奇函数，故函数/(X)的图象如下,

要使函数g(x)=/(x)-r有3个零点，只需函数y=/(x)的图象与直线y=，有且仅有3个交点,

由图象可知，-万u{o}u-j'j.

故答案为：11,一；U{o}u

17.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析.

2n;

(1)由题对%+i+2%+得“=°两边同时除以。“+9“得」------=2

an+\an

1cf1]

又一二2,所以一卜是首项为2,公差为2的等差数列，

4可

所以'=2+2(〃-1)=2〃

所以

2n

111(11

(2)由(1)。,",_x_______—_x_______

4+4\n〃+1

=lxfi_l+l-l+-4-[、_j_____1_

所以s.

41223n44(〃+1)

111

因为〃eN*所以W一而用

即s.＜：

9

18.【答案】(I)。=0.0035,中位数650,众数600；(2)分布列见解析；期望为一；(3)填表见解析;

10

有.

(1)由题意知1(X)x(O.(X)\5+a+O.(X)25+().(X)15+O.(X)1)=1,

解得a=0.0035,

样本平均数为亍=500x0.15+600x0.35+700x0.25+800x0.15+900x0.10=670,

中位数650,众数600.

(2)由题意，从［55(),650)中抽取7人，从［750,850)中抽取3人，

随机变量x的所有可能取值有0,1,2,3.

「k03-k

P(x=k)=37(A:=0,1,2,3),

所以随机变量X的分布列为:

P0123

3563211

X

120120120120

H*711Q

随机变量X的数学期望E（X）=」+2x——+3x——=—

,）12012012010

(3)由题可知，样本中男生40人，女姓60人，属于“高分选手''的25人，其中女姓10人；得出以下2x2

列联表；

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计

男生152540

女生105060

合计2575100

2_n(ad-hc)2_100(10x25-15x50)250

K——--------------------=-------------------=—=5.556>5.024,

(Q+〃)(c+d)(Q+c)(〃+d)25x75x40x609

所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关.

19.【答案】(1)证明见解析；(2)

4

解：(1)在五面体A8CDE/中，

因为四边形A3CD是正方形，所以CCV/A8

又因为43<=平面A3户石，82平面A3庄:，所以CQ〃平面A3RE.

(2)因为四边形ABC。是正方形，所以CO1AD

又因为CO1AE,又A£>cAE=A,ARAEu面人。£,所以C£)_L平面AOE

又因为OKu平面ADK,所以81OE.

又因为AD1OE,所以以点£)为坐标原点，DA,DC,OE分别为x,V,z轴，如图建立空间直角

坐标系.

因为CD=2EF=2,EF=ED

0(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,l).

由(1)CO〃平面ABEE,CDu平面COKE,平面CDEED平面£F

所以CD”EF,所以丽觉.可得尸(0,1,1).

由题意知平面ADE的法向量为DC=(0,2,0)

设平面BCF的法向量为n=(x,y,z).

n-BC^O{-2x=Q

由一得C

n-FC=0[y-z=O

令y=l,得z=l,尤=0,所以为=(0,1,1)

设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为0.

|"五|272

8S*阿丁万T三

所以平面ADE与平面5CF所成锐二面角为£

4

20.【答案】(1)?+?=1；⑵是，定点为(石,0)和卜6,0).

(1)设右焦点为上，则|耳,=#7¥=6=归闸

」.(||+1N可)111ax=4+26-石=4+«

x-.]NF\=2a-\NF]

.-.\MN\+\NF\^MN\-\NFi\+2a<\MFl\+2a

即N点为M”与椭圆的交点时，周长最大

,.1\MF^-V5,所以2a+石=4+石na=2,c=l

：.b=a2—c2=y/3

/v2

所以椭圆E的标准方程为—+^-=1

43

（2）由⑴知A（-2,0）,设3（拓,％），则。（一毛，一%）

当直线BC斜率存在时，设其方程为丫=辰

y=kx

12

联立《2y2得/

上X+乙=13+4公

43

2月

.•・x0=---------

令尤=0,得y

同理得。

2k

•」PQI=

1+上合

设PQ中点为s,则s[o,-4

.”22699c

即x1+y2+—y+—7=-7+3

k4k24k2

r6

即x2+y02+—y-3=0

k

令y=0,得x=±百

所以过点（6,0）和卜6,0）,且为定点.

当直线5c斜率不存在时，容易知道B（0,百）,C（0,-百）

此时P(0,b),Q(0,一6)

所以以P。为直径的圆是以原点为圆心，&为半径的圆，显然也过定点（百,0）和卜君,0）

综上，此圆过定点（6,0）和卜6,0）

21.【答案】（1）极小值1,无极大值；（2）答案见解析；（3）[-1,+8）.

(1)/'(x)=x-sinx,

因为(x-sinx)'=1-cosxNO,

所以/'（X）在（y,y）单增,又/'（0）=0,

所以当Xe（-00,0）时，/'（X）＜（）J（X）单调递减;

当XC((),+»)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

故当x=0时，/（X）取极小值/（0）=1,无极大值.

(X2

(2)g'(x)1-2------FCOSX—1(e"-a),

„2

由(1)知，/(x)>/(()),即1+cosx_1>0.

当avo时，e*-。〉0,8，(%)20,8(力在(-<»,+00)单增；

当。>0时，令e*—a=0，得尤=In。.

于是，当XG(-oo,lna),e*-a<0,g'(x)W0,g(x)单减,

当xe(lna,+oo),ev-a>0,g,(x)>0,g(x)单增.

综上，当.40时，g(x)在(-8,+8)单增；

当a>0时,g(x)在(fo,lna)单减，在(lna,+o。)单增.

(3)令〃(x)=/'(X)—e'-区+1,则〃(x)=-e*+(l—/?)x-sinx+l,xe［(),+oo).

k'(x)=—e*-cosx+1—/?,//(%)的导函数