2021年高考数学学科基地押题卷10

2021年高考学科基地押题卷之10

数学

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求

作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4={犬|一1<%<3,XGN},B={C|CSA},则集合8中元素的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

•2016

2.已知。为实数，若复数2=（/—1）+3+i）i为纯虚数，则”!—=（）

1+i

A.1B.0

C.1+iD.1-i

7T

3.已知实数x，y，z满足X=4°-5,y=log53,z=sin（,+2）,则（）

A.zcxcyB.”z<xC.z<y<xD.x<z<y

4.如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中

任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万的概率为

)

万元

5.函数/（x）=（x2-4x+l）•，的大致图象是（）

6.安徽怀远石榴（Pimicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果''的美称，今年又喜获丰

收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备

制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单

位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能

超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）

（参考数据:LOI5100a4.432,1g11«1.041）

A.y=0.04xB.y=1.015x-lC.y=tanI?-1D.y=logu（3x-10）

7.已知F项等差数列｛%｝中，若4+生+%=15,若6+2,%+5,%+13成等比数列，则

等于（）

A.21B.23C.24D.25

8.如图，在ZVIBC中，若丽=4，AC=b觉=4丽，用"万表示4。为（)

一51-

B.AD=-a+-h

44

一51-

D.AD=-a一一b

44

9.如图，耳，与分别是双曲线夕一方=1（。〉0/>0）的左、右焦点，过大卜夜,0）的直线/与

双曲线分别交于点A3,若"36为等边三角形，则双曲线的方程为（）

229

5x5y.厂21

A.=1B.----y=1

7286-

y=i5y2

C.D.----------1

287

10.《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题:“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每

人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少''.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图,

若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）

A.左>20B.k>2\

C.左>22D.左>23

H.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积是()

TJ”用

917

A.6B.D.

2T

l+lnx,0<x<l

12.已知函数/(x)=41,,若方程/2(幻一(1+〃)/(刈+。=0恰有三个不同的实数

-T,X>1

[2X-'

根，则实数。的取值范围为

A.(-<»,0)B.(0,+oo)C.D.(0,1)

第U卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.在数列｛%｝中，。户0,%=24前"项和为S“，则又

14.设x>0,y>0,x+2y=2,则孙的最大值为

15.设曲线y=:在点(1,1)处的切线与曲线丁=6'+1在点。处的切线垂直，则点P的坐标为

x

16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为f，点”(后,20)(%>々)是抛物线。上一点，

以M为圆心的圆与线段板相交于点A，且被直线*=当截得的弦长为61M4|,若

\MA\

岛=2,贝iJ|AF|=.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分

17.在锐角三角形ABC中，BC=1,AB=g，sinU-B)=-.

4

(1)求AC的值；

(2)求sin(A-B)的值.

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，PAJ"平面ABC。，底面ABC。是菱形，PA=AB^2,

ZBAD=f^°.

(□)求证：直线6。，平面PAC：

(□)求直线P3与平面PAO所成角的正切值；

(□)设点M在线段PC上，且二面角C—MB—A的余弦值为，，求点〃到底面ABC。的距

离.

二+亡

19.设椭圆C:=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳、F2,过F2的直线交椭圆于AB

a2b1

两点，若椭圆C的离心率为:，AABF；的周长为8.

(□)求椭圆C的方程;

(□)已知直线/：y=Ax+2与椭圆C交于/、N两点，是否存在实数％使得以MN为直径的圆

恰好经过坐标原点？若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由.

20.设函数f(x)=X2-qQnx+l).

(1)当。=1时，求y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当。>：时，判断函数fW在区间是否存在零点？并证明.

21.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策某路桥公司为掌握春节期间

车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20〜10:40这一时间段内通过的车

辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直

方图如图所示，其中时间段9:20〜9：40记作区间［20,40),9:40〜10:00记作［40,60),10:00〜

10:20记作［60,80),10:20〜10:40记作［80,100］.比方：10点04分,记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值代表)；

(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中

随机抽取4辆，记X为9:20〜10:00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；

(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布NJ。?)，其

中〃可用这600辆车在9:20〜10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，/可用样本的方

差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该

收费点，估计在9:46〜10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).

参考数据：若T〜N(〃,Q2),则尸(M—b<TWM+b)=0.6826,

尸(M-2b<T<〃+2b)=0.9544,尸(M-3b<TWM+3b)=0.9974.

(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4S：坐标系与参数方程

X=2yj3COSBc

在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程"(4为参数).直线/的参数方程

y=2sin0

x=y/3+tcosa

a为参数).

y=1+fsina

(□)求曲线C在直角坐标系中的普通方程;

(□)以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线/所得线段的中

点极坐标为(2,*J时，求直线/的倾斜角.

23.选修4-5：不等式选讲

己知函数f(x)=|2x-3|+|2x-l|的最小值为”.

(1)若加，ne[-A7,M].求证：2|加+〃|,,|4+〃〃?|；

21

(2)若%Z?e(0,+a)).a+2b=M,求一+—的最小值.

ab

2021年高考学科基地押题卷10

数学

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求

作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4=口|一1<、<3,xeN],3={C|CuA},则集合8中元素的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意解出集合A,再根据题意分析3中元素为A中的子集，可求出.

【详解】

解：因为集合4={划一1<^<3,xeN},

所以A={0,1,2）,

因为8={C|CaA},

所以8中的元素为A的子集个数，即8有23=8个，

故选：C.

【点睛】

本题考查集合，集合子集个数，属于基础题.

+j-016

2.已知。为实数，若复数z=（*—D+3+Di为纯虚数，则竺;_=（）

1+i

A.1B.0

C.1+iD.1-i

【答案】D

【解析】

因为z=(a?-l)+(a+l)i为纯虚数，所以片一1=0,〃+170,得。=1,则有空1—=

1+i

1+i20161+12(l-i),

------=----=----------=1故选D.

1+i1+i(l+i)(l-i)

TT

3.已知实数x，y，z满足x=4°s,y=log53,z=sin(-+2),则()

A.z<xvyB.y<z<xC.z<y<xD.X<Z<y

【答案】C

［解析］X=4°5="〉1，0=log5\<y=log53<log55=1,

z=si〃［耳+2J<0

综上所述，故z<y<x

故选C

4.如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中

任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万的概率为

（）

【答案】B

【解析】

【分析】

从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数〃=C；=15,由折线图得

6月至11月这6个月中利润（利润=收入一支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得

到所求.

【详解】

如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，

从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，

基本事件总数〃==15,由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入一支出）不高于

40万的有6月，8月，9月，10月，

•1•这2个月的利润（利润=收入一支出）都不高于40万包含的基本事件个数m==6,

・•.这2个月的利润（利润=收入一支出）都低于40万的概率为P=包=2=3，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题.

5.函数/（x）=（x2—4x+l）•，的大致图象是（）

JIJ/

【答案】A

【解析】

【分析】

用x<0排除8,C；用％=2排除。；可得正确答案.

【详解】

解：当x<0时，X2-4%+1>0>ex>0>

所以/（x）>0,故可排除8,C；

当x=2时，/（2）=-3/<0,故可排除D

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题.

6.安徽怀远石榴（PunicagranaWm）自古就有“九州之奇树，天下之名果''的美称，今年又喜获丰

收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备

制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单

位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能

超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）

（参考数据:LOI5100a4.432,1g11»1.041）

r

A.y=0.04xB.y=1.015-lC.y=tan[j^-l]D,y=logn（3x-10）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奖励规则，函数必须满足：xe（6,100],增函数，y<3,y<0.2x

【详解】

对于函数：y=0.04x,当x=100时，y=4>3不合题意；

对于函数：y=1.015'-1,当x=100时，y=3.432>3不合题意：

对于函数：y=tan（y1-1J,不满足递增，不合题意；

对于函数：y=logll（3x-10）,满足：xe（6,100],增函数，

且yWlog”(3x100-10)=Iogu290<log”1331=3,结合图象:

符合题意.

故选：D

【点睛】

此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.

7.已知正项等差数列仅“｝中，若4+4+4=15,若4+2,4+5,。3+13成等比数列，则

%。等于（）

A.21B.23C.24D.25

【答案】A

【解析】

•.•正项等差数列｛q｝中，。1+。2+。3=15,...。2=5/>0，•.•。1+2,。2+5,。3+13构成等比数

列，即7-d,10,18+d构成等比数列，依题意，有（7-d）（18+d）=100,解得d=2或d=T3

（舍去），；.a,。=%+（10—2）d=5+8x2=21,故选A.

8.如图，在AABC中，若丽="，恁=5，阮=4丽，用。,5表示粉为（）

一11-——51-

A.AD=-a+-bB.AD=-a+-b

4444

—31-—51-

C.AD=-a+-bD.AD=-a——b

4444

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.

【详解】

AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-（AC-AB\^-AB+-AC^-a+-b

44V74444

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法

运算和数乘运算法则.

22

9.如图，6，K分别是双曲线三—亲■=1（。>0,0>0）的左、右焦点，过片（一近,0）的直线/与

双曲线分别交于点A3,若A43E为等边三角形，则双曲线的方程为（）

A5/5/2

B.---/=1

7286-

c.y=1D5%25y21

287

【答案】C

【解析】

根据双曲线的定义，可得|AFiHAF2|=2a,

•••△ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|

.'.|BFi|=2a

又：|BF2HBFi|=2a,

.,.|BF2|=|BFi|+2a=4a,

「△BF1F2中，|BFi|=2a,|BF2|=4a,ZFIBF2=120°

・・.|F|F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF#|BF21cos120。

4c2=4a2+l6a2-2x2ax4ax(--))=28a2,

2

解得c2=7a2,又。=近所以/=1,户=6方程为总=1

故选C

点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a,b

的关系是解决本题的关键.

10.《九章算术》卷七一盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每

人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，

若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）

A.左>20B.k>2\

C.k>22D.A：>23

【答案】A

【解析】

【分析】

根据程序框图确定表示的含义，从而可利用方程组得到输出时x的值，从而得到输出时.A的取

值，找到符合题意的判断条件.

【详解】

由程序框图可知，X发示人数，y表示养价

5%+45=y

该程序必须输出的是方程组《.的解，则x=21

y=3+7x

.•M=21时输出结果..・判断框中应填左>20

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时攵的取

值，属于常考题型.

11.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积是()

闾“阳

917

A.6B.一D.

2T

【答案】D

【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得,

故选D.

l+lnx,O<x<l

12.已知函数'I，若方程/2(x)—(l+a)/(x)+a=O恰有三个不同的实数

—r，%>l

[2X-'

根，则实数。的取值范围为

A.(-oo,0)B.((),+<»)C.(l,+oo)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

/⑴一(i+a)/(x)+a=o等价于=a或〃力=1,由〃x)=l有唯一解可得=a有

两个不同的根，转化为y=/(x),y=a的图象有两个交点，利用数形结合可得结果.

【详解】

/2(x)-(l+a)/(x)+a=0可变形为[/(x)-l]=0,

即/(力=。或/(尤)=1,

由题可知函数/(x)的定义域为(0,+8),当XG(0,l］时,

函数/(X)单调递增：当X€(l,+8)时，函数/(X)单调递减,

画出函数/(X)的大致图象，如图所示，

当且仅当x=l时，/(x)=l，

因为方程/*2(x)-(l+a)/(x)+a=0恰有三个不同的实数根，

所以=a恰有两个不同的实数根，

即〉=/(力，>=。的图象有两个交点,

由图可知0<a<l时，>=/(x),y=a的图象有两个交点，

所以实数。的取值范围为(0,1)，故选D.

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用,

属于难题.函数零点的几种等价形式：函数y=/(x)-g(x)的零点o函数y=/(x)-g(x)在x

轴的交点。方程/(x)-g(x)=0的根。函数y=f(x)与y=g(x)的交点.

第H卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.在数列｛0“｝中，qwO,=2a“T(〃N2,〃eN*),前〃项和为S“，则&

【答案】—

2

【解析】由题意可得乌~=2,故数列｛a。｝为等比数列，且公比q=2,

an-\

4

故%=1—q_l-q4_15

a2a、q<7(l-q)2

故答案为：—

2

14.设x>O,y>0,x+2y=2,则孙的最大值为.

【答案】-

2

【解析】

【分析】

己知x>0，y〉0，x+2y=2,直接利用基本不等式转化求解d的最大值即可.

【详解】

X〉0，>,>0,x+2y..2回，即2..2廊，两边平方整理得孙,，；，

当且仅当x=l,y=!时取最大值?；

-22

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件.

15.设曲线y='在点(U)处的切线与曲线,=6'+1在点P处的切线垂直，则点P的坐标为

X

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】

分别求出y=-,y=e*+l的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求.

X

【详解】

设P(X。,%),因为y=L的导数为了=--V，所以曲线在点(1,1)处的切线的斜率为一1；因

X广X

为y=e*+1的导数为y'=e',曲线y=e*+1在点P处的切线斜率为蟆，所以(一1)xe'"=-1,

解得小=0,代入y=e'+l可得%=2,故尸(0,2).

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的儿何意义，侧重考

查数学抽象和数学运算的核心素养.

16.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，点M5,2扬（玉）4）是抛物线。上一点，

以M为圆心的圆与线段ME相交于点A，且被直线x=]■截得的弦长为百若

偿=2,贝iJ|AF|=

\AF\

【答案】1

44

【解析】将M点坐标代入抛物线方程得8=2px0,解得/=一，即M—,2,r2

P

--P-+（20）2,由于|M4|为圆的半径，而叫=g|也叫，所以NOME=T，

P2J~

ZBDM=—,—=gpA_£=l+（20丫,两边

6P223p23Hp2）'）

【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形

中解三角形的方法.首先M点是在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得乙的坐标，然后

根据直线截圆所得弦长，得到M点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出夕的值.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

44

17.在锐角三角形ABC中，BC=1,AB=C，sin(万-B)=

4~

(1)求AC的值;

(2)求sin(A-B)的值.

【答案】(1)72(2)—世

8

【解析】

【分析】

(1)由三角形ABC为锐角三角形，根据诱导公式化简sin(万-8)=乎，即可求出sinB的值，再利用同

角三角函数间的基本关系求出cosB的值，山AB,BC及cosB的值，利用余弦定理即可求出AC的长；

(2)由BC,AC及s加8的值，利用正弦定理求出sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出

cosA的值，然后利用两角差的正弦函数公式化简sin(A-B)后，把各自的值代入即可求出值.

【详解】

解：(1)•.•△ABC为锐角三角形，sin(万一8)=理

..V14

..sin3D—---

4

cosB—Jl-sin，B-.11

V164

•.•在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-5CcosB

=(V2)2+l2-2xV2xlx—=2

4

：.AC=y/2

(2)在"BC中，由正弦定理得匹"=""

sinAsinB

1V14

得.“BCxsinBI',近

sinA=---------=——-——

ACV24

cosA=Jl-sin2A-3

4

sin(A-3)=sinAcos8-cosAsin8=2^ZX^--—

44448

【点睛】

此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，P4,平面ABCO,底面ABC。是菱形，PA=AB=2,

ZBAD=60°.

(□)求证：直线皮＞_L平面PAC；

(□)求直线PB与平面尸AO所成角的正切值；

(□)设点M在线段PC上，且二面角C—MB—A的余弦值为2,求点M到底面A8CO的距

7

离.

【答案】(口)证明见解析；(匚)@5；()；.

52

【解析】

【分析】

(口)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

()建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即

可；

()设两'=%前，由题意结合空间直角坐标系求得；I的值即可确定点M到底面A6CD的距离.

【详解】

()由菱形的性质可知8D_LAC,

由线面垂直的定义可知：BDA.AP，且APcAC=A，

由线面垂直的判定定理可得：直线平面PAC；

（）以点/为坐标原点，/O/P方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面45C。内与4。垂直的

方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-型，

则：P（0,0,2）,B（V3,l,0）,A（0,0,0）,D（0,2,0）,

则直线尸8的方向向量而=（右,1,一2）,很明显平面PAD的法向量为沅=0,0,0），

设直线P8与平面E4D所成角为。，

卅in"PBm_垂＞V5csin。GV15

|P4x网V8xlcos。＞/55

（）设加（苍丁"），且加=2卮（0V4W1）,

由于P（0,0,2）,C（在3,0）,网6,1,0）,4（0,0,0）,

X—yj?＞A,

故：（x,y,z-2）=4（63,—2）,据此可得：＜y=32,

z——22+2

即点M的坐标为22+2）,

设平面CMB的法向量为：“=（5,y,ZI）,则：

^'-CB=（x1,y1,z1）.（O,-2,O）=-2y1=0

I•砺=（司，为4＞（七一岳』一3424-2）=0'

据此可得平面CMB的一个法向量为：1=（2,0,、6）,

设平面A/A4的法向量为：n,=（x2,^2,z2）,则：

%,AB=(xj,y2,z2)45^,l,oj=y]3x2+y2=0

^•Mfi=(x2,y2,z2)-(V3-^A,l-3A,22-2)-0

据此可得平面MBA的一个法向量为:n2=1,一百,

c32

2+------5

二面角C—MB—A的余弦值为2,故:1—之

3A27,

7V7xJl+3+

(1—4)2

整理得14^2—194+6=0，

解得：2=-^2=-.

27

2

由点M的坐标易知点M到底面48CD的距离为1或者鼻.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22

19.设椭圆C:j+2r=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别为百、月，过工的直线交椭圆于A,B

ab

两点，若椭圆C的离心率为:，AABF；的周长为8.

（□）求椭圆C的方程；

（□）己知直线/：丁=丘+2与椭圆C交于M、N两点，是否存在实数％使得以MN为直径的圆

恰好经过坐标原点？若存在，求出女的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（匚）—+^-=1（!：）存在，k=±-y[3

433

【解析】

【分析】

（D根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得a,Ac的值，进而求得椭圆的标准方

程.

(II)设出M,N两点的坐标，联立直线/的方程和椭圆方程，计算判别式求得攵的取值范围，并写

出根与系数关系，根据圆的几何性质得到丽■.丽=0，由此得到XW+M%=。，由此列方程，

解方程求得人的值.

【详解】

cl

Q=2

a222

(I)由题意知＜4。=8b=#),所以所求椭圆的标准方程是工+匕=「

,43

a2+b2=c2c=\

(II)假设存在这样的实数k,使得以MN为宜径的圆恰好经过原点.

卜--1

设M(XI,y)、N(x2,y2),联立方程组彳43，

y-kx+2

消去y得(3+4左2)/+16日+4=0,

由题意知，斗是此方程的两个实数解，

所以△=(1662-16(3+4%2)>0,解得女>,或&<一,，

22

一，4—16k

所以中2=彳记，内+“

又因为以MN为直径的圆过原点，所以丽•丽=0,所以西々+乂%=。，

而乂%=(例+2)(柘+2)=+22(%+/)+4,

2232

:.xix2+yly2=(\+k^xix2+2k(xl+x2)+4=0,BP(l+Zr)—f_+~^<+4=o,解得

k=+—V3-

3

故存在这样的直线使得以MN为直径的圆过原点.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查运算

求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

20.设函数f(x)=x2-a(\nx+1).

(1)当Q=1时，求)=/(幻在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当”>|时，判断函数f(x)在区间是否存在零点？并证明.

【答案】(1)y=x—1：⑵函数/(X)在(0,电)上存在零点，证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求导，求出/即可求解；

(2)根据/'(x)的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.

【详解】

ZA2

函数/(X)的定义域为(0,-w),f'(x)=2x--=丝二巴.

XX

12r2—1

(1)当〃=1时一，/(x)=x2-lnx-l,f'(x)=2x--^—~

XX

又/⑴=0,切点坐标为(1,0),切线斜率为％=r(i)=i,

所以切线方程为y=x-1：

(2)当xe。嗜J时，f'(x)=2x~a<0,

所以/(x)在［，器)上单调递减，

-2a-2+a2>0,

所以函数/（X）在上存在零点.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的

存在性的判断，属于中档题

21.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策某路桥公司为掌握春节期间

车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20〜10:40这一时间段内通过的车

辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直

方图如图所示，其中时间段9:20〜9：40记作区间［20,40）,9:40〜10:00记作［40,60）,10:00〜

10:20记作［60,80),10:20〜10:40记作［80,100］.比方：10点04分,记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中

随机抽取4辆，记X为9:20〜10:00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（M，/）,其

中〃可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，人可用样本的方

差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该

收费点，估计在9:46〜10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若T〜N（〃,q2）,则。（〃一b<T<4+b）=0.6826,

P（2cr<TW〃+2b）=0.9544,P（//-3（T<T<x/+3cr）=0.9974.

【答案】（1）10点04分；（2）详见解析；（3）819辆.

【解析】

【分析】

(1)用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.(2)先用分层抽样的知识计算出10量车中

位于［20,60)的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，并求得数学期望.(3)由(1)

可知〃=64,计算出方差b?和标准差利用正态分布的对称性，计算出在9:46〜10:40这一时

间段内通过的车辆的概率，乘以1000得到所求车辆数.

【详解】

解：(1)这600辆车在9:20〜10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

(30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010)x20=64,即10点04分。

(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就

是位于时间分组中在［20,60)这一区间内的车辆数，即(0.005+0.015)x20x10=4,所以X的可

能取值为0,1,2,3,4。

所以尸(X=0)=旨=(,