北京市通州区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市通州区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题1.已知二次函数的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（）A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0 C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0答案：B2.如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A. B.C. D.答案：B3.在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（）A.cm B.cm C.cm D.cm答案：C4.如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A.22.5° B.45° C.90° D.67.5°答案：B5.如图，在中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（）A.1 B. C. D.答案：D6.如图，是的直径，点在的延长线上，切于点．若，，则等于（）．A.6 B.4 C. D.3答案：C7.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直距离为（）A米 B.米 C.米 D.米答案：A8.某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）A.， B.， C.， D.，答案：D二、填空题9.如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点处观测，当量角器的0刻度线对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是__．答案：10.如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于________．答案：511.在ABC中，，，，那么的长为________．答案：612.已知P(，)，Q(，)两点都在抛物线上，那么________．答案：413.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝________m．答案：1214.如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________．答案：215.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．答案：216.如图，ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①；②ADE∽ABC；③；④．其中结论正确的是：________（只填序号）．答案：①②④三、解答题17.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．答案：∵二次函数的图象经过点；∴，解得：，∴∴对称轴为直线，∴，∴顶点的坐标为．18.如图，在中，，，．求，和．答案：在中，，，，∴∴，，.19.如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB．答案：（1）如图：（2）∵，∴，∵BD平分∠MBC，∴，∵是△ADB的一个外角，∴，∴.∵，∴△ABC∽△ADB．20.已知关于x的二次函数．（1）如果二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=2，求m的值；（2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．答案：（1）二次函数图象的对称轴为直线，∵A，B两点在x轴上（点A在点B的左侧），且AB=2，∴A（，），B（，）把点（，）代入中，∴，∴.（2）∵对称轴为直线，∴，∴二次函数图象顶点坐标为（2，），∵二次函数图象的开口方向向上，∴二次函数图象有最低点，∵若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，∴，∴．21.已知：A，B是直线l上的两点．求作：ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；④连接AC，BC．ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴OAB是等边三角形．∴．∵A，B，C在⊙O上，∴∠ACB＝∠AOB（）（填推理的依据）．∴．由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC（）（填推理的依据）．∴ABC就是所求作的三角形．答案：（1）作图正确；（2）证明：连接OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴OAB是等边三角形．∴．∵A，B，C在⊙O上，∴∠ACB＝∠AOB（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∴．由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）．∴ABC就是所求作的三角形，故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．22.如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．答案：证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，∴AB⊥CD，∴，∴，∵CF∥BD，∴，∴，∴．23.已知一个二次函数的表达式为．（1）当时，若P(，)，Q(，)两点在该二次函数图象上，求的值；（2）已知点A(，0)，B(，)，二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，直接写出的取值范围．答案：（1）当时，二次函数表达式为，∴对称轴为直线，∵P（，），Q（，）两点在该二次函数图象上，且关于对称轴对称，∴，∴；（2）①根据题意可得：二次函数一定经过，当抛物线对称轴的右半部分经过点，如图所示：时，，解得：；②当抛物线对称轴的左半部分经过点，如图所示：时，，解得：；③如图所示，当抛物线只与x轴有一个交点时，∴；综上可得：a的取值范围是或或．24.如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD＝6，求线段AE的长．答案：证明：（1）连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝，∵∠ABC＝，∴∠AOC＝2∠ABC＝，∵∠AOC+∠OCE＝，∴AD∥EC；（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，∵∠AOC＝，OA＝OC，∴∠OAC＝，∵∠BAC＝，∴∠BAD＝，∵AD∥EC，∴，∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，∴四边形OAFC是矩形，∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴，∵，∴，在Rt△AFE中，，∴AE=2AF=6．25.二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数的图象上．（1）求点B的坐标（用含的代数式表示）；（2）二次函数的对称轴是直线；（3）已知点(，)，(，)，(，)在二次函数图象上．若，比较，，的大小，并说明理由．答案：（1）∵令，∴，∴点A的坐标为（0，），∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（4，）.（2）A坐标为（0，），点B的坐标为（4，）点都在在二次函数的图象上．即关于对称轴对称对称轴为（3）∵对称轴是直线，，∴点（，），（，）在对称轴的左侧，点（，）在对称轴的右侧，∵，∴，∴，，∵，∴.26.如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．答案：（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E为AB的中点，∴∴，∴（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.∵∴四边形AFBO是平行四边形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.27.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝，d(B，⊙O)＝．（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．答案：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．∴，∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝，∴d（B，⊙O）＝；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(，0)，B(0，)．∴，∴，∵，∴∴，