2022-2023学年山东省新泰市高二年级下册学期第一次阶段考试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省新泰市高二下学期第一次阶段考试数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.【详解】对于A，，故A错；对于B，，故B错；对于C，，故C正确；对于D，，故D错．故选：C．2．设函数在处的导数为2，则（

）．A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】根据导数的定义与极限的性质计算即可.【详解】.故选：A.3．已知，为的导函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；将代入得：，故C错误．故选：A．4．若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析出关于点对称，进而求出不等式的解集.【详解】由，对上式求导可得，即，所以关于对称，因为，所以图像的开口向上，对称轴为，由，得，解得.故选：C.5．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）．A．26种 B．31种 C．36种 D．37种【答案】D【分析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可．【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法.故选：D．6．已知函数的图象在处的切线方程为，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.【详解】解：因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，故.故选：B.7．函数在定义域R内可导，若，且，设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求出的对称轴，并判断的单调性，由此比较三者的大小关系.【详解】由，可知关于对称，由，可知当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.而，，因为，所以，因为，所以，所以.即.故选：B.8．某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（

）A．288种 B．336种 C．384种 D．672种【答案】D【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案.故选：D二、多选题9．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若，则正整数x的值是1【答案】ABC【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.【详解】选项A，因为，故A正确；选项B，，故B正确；选项C，由，，得，故C正确；选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.故选：ABC.10．用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（

）A．个位是0的四位数共有60个 B．2与4相邻的四位数共有60个C．不含6的四位数共有100个 D．比6701大的四位数共有71个【答案】ABD【分析】对于A特殊元素法，先排零；对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论；对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位；对于C，分别考虑首位为7，前两位为67.【详解】个位是0的四位数共有个，A正确．若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确．不含6的四位数共有个，C错误．比6701大的四位数共有个，D正确．故选：ABD11．已知函数的导函数为，则（

）A．若在处取得极值，则B．若函数在上是减函数，则当时，C．若为偶函数，则是奇函数D．若是周期函数，则也是周期函数【答案】ACD【分析】函数在极值处导函数为0，偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数；周期函数的导函数必然也是周期函数，根据导函数的性质容易得答【详解】A:根据极值的定义，极值点处导数值为0，A对；B：反例是减函数，但是故B错；C：为偶函数，所以所以是奇函数，C对；D：是周期函数，若为其一个周期，则，也为周期函数，故D对;故选：ACD12．已知是函数的一条切线，则实数的值可以为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根据的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得的可能取值.【详解】设是函数图象上的一点，，所以在点的切线方程为①，直线过原点，由①令得，，所以或，当时，，当时，，综上所述，的可能取值为.故选：ABD三、填空题13．的展开式中的常数项是．【答案】/1.3125【分析】根据二项展开式的通项公式，求出展开式中的常数项对应的的值，再代入通项公式，即可得解．【详解】二项式展开式的通项为，令，可得，故，所以展开式的常数项为．故答案为：14．高二年级数学组准备从含彭老师、张老师的4个老师中选取3老师给学生进行专题讲座，要求彭老师、张老师至少有一个人参加，且若二人同时参加，则他们演讲课顺序不能相邻，那么不同的讲课顺序的种数为.【答案】16【分析】利用分类加法原理和排列组合知识即可求解【详解】第一类，当彭老师、张老师只有一个人参加时，演讲课的顺序种数为；第二类，当彭老师、张老师都参加时，从剩余的2人种选一人，然后让彭老师、张老师讲课的顺序不相邻，有种；共有种.故答案为：1615．从3名骨科､4名脑外科和5名内科医生中选派4人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科､脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（作数字作答）【答案】270【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理再结合组合的概念求解.【详解】第一类:有2名骨科医生，1名脑外科医生，1名内科医生，则不同的选派方案为种;第二类:有1名骨科医生，2名脑外科医生，1名内科医生，则不同的选派方案为种;第三类:有1名骨科医生，1名脑外科医生，2名内科医生，则不同的选派方案为;由分类计数原理得，不同的选派方案种数是60+90+120=270.故答案为:270.16．已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是．【答案】【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案为：.四、解答题17．设．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求解即可；（2）分别令和即可求解.【详解】（1）的展开式的通项公式为，所以.（2）因为，所以当时，，当，，所以.18．已知是函数的极值点，则：(1)求实数的值．(2)求函数在区间上的最值．【答案】(1)；(2)在上的最小值为，最大值为.【分析】（1）由求得的值；（2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.【详解】（1），由题意知，或，时，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以为函数的极值点，满足要求；时，，因为，当且仅当时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极值点，不符合题意.则.（2）由（1）知，且在单调递减，在单调递增，又，，，则，.19．已知函数满足.(1)求在处的导数；(2)求的图象在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，再令即可得出答案；（2）由（1）求得，再根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】（1）由，得，则，所以；（2）由（1）得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即.20．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个，3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个.因为，所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.21．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：．【答案】(1)极大值为，极小值为；(2),证明见解析.【分析】（1）求导得，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．（2）将问题转化为有两个不同的实根，构造函数，，利用导数研究函数单调性极值与最值即可得出．【详解】（1）当时，函数．，令，得或当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则在处取得极大值，在处取得极小值．极大值为，极小值为．（2）关于的方程有两个不同实根,，即有两不同实根，，得，令，，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，时，取得最大值，且，得图象如图：.

，即当时，有两个不同实根，．两根满足，，两式相加得：，两式相减地，上述两式相除得．不妨设，要证：．只需证：,即证．设，令，则，函数在上单调递增，且,，即，．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．已知函数（且）(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案；（2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案．【详解】（1）因为，当时，时，所以在单调递减；时，，所以在单调递增；当时，时，，所以在和单调递增，时，在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，，所以在和上单调递增，时，在单调递减；（2）当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点；，所以在上有唯一零点，符合题意；当时，由（1）可知为极大值点，且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意．综上所述，.【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有