2022-2023学年山东省新泰市东校高一年级下册学期第二次质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省新泰市东校高一下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．已知i为虚数单位，若复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的运算化简复数，再求共轭复数即可.【详解】因为，所以.故选：B.2．已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】设圆锥的高为，根据圆锥及球的体积公式求出，再由勾股定理计算可得.【详解】设圆锥的高为，则，解得，所以母线长为.故选：C3．某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图，则（

）A．选取的这部分学生的总人数为1000人B．选取的学生中参加机器人社团的学生数为80人C．合唱社团的人数占样本总量的40%D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍【答案】C【分析】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量关系，即可得答案.【详解】由题图知：选取人数为人，故合唱社团占比为，所以，机器人社团占比为，故该社团人数为人，所以合唱社团的人数是参加机器人社团人数的倍.综上，A、B、D错，C对.故选：C4．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.【详解】解：.故选：C.5．为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【答案】D【分析】变换，再根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选项，对比得到答案.【详解】.对选项A：得到的函数为，A错误；对选项B：得到的函数为，B错误；对选项C：得到的函数为，C错误；对选项D：得到的函数为，D正确，故选：D6．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平面AEF的法向量，进而可求出点B到平面AEF的距离.【详解】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，.设平面的法向量为，，则，即令，则，得.又，所以点B到平面AEF的距离为故选：C7．如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，则面积的最大值为（

）

A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理可得，利用三角形面积公式以及倍角公式、辅助角公式，利用三角函数的性质即可求解最大值.【详解】设，则在中，由正弦定理得，所以，故当时，此时面积最大为，故选：D8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.【详解】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，所以.故选：D.二、多选题9．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中随机取出2个球，则（

）A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是【答案】BD【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD.【详解】由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3，不放回地从中取2个球的样本空间共20种，记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”，则，所以，故B正确；有放回地从中取2个球的样本空间，共25种；记事件为“取出1个红球和1个白球”，则，共12种，所以，故C错误；记事件为“取出2个白球”，则，共9种；所以，所以至少取出1个红球的概率为，故D正确.故选：BD10．某校组织全体学生参加了“喜迎二十大，结合中华传统文化与楚文化的创新突破”的剧本创作大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）

A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B．图中x的值为0.020C．估计全校学生成绩的平均分约为83D．估计全校学生成绩的80%分位数为95【答案】AD【分析】根据频率分布直方图计算出成绩在区间内的频率，即可求解A；利用频率分布直方图中频率之和等于1可求解B；利用频率分布图计算出平均数即可求解C；根据百分位数的定义可求解D.【详解】由所给频率分布直方图可知，抽取的学生成绩在区间内的频率为，∴成绩在区间内的学生有人，故A正确；由，得，故B错误；抽取的学生的平均分为，估计全校的平均分为84，故C错误；设抽取学生成绩分位数为m，则，解得，估计全校学生成绩的分位数为95，故D正确．故选:AD．11．已知是平面单位向量，且，若该平面内的向量满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据平面向量的数量积运算可判断A；根据可判断B；设,由可求出，从而可判断CD.【详解】因为是平面单位向量，且，所以.因为，所以，故A错误；因为，所以，即，故B错误；设，因为，所以，解得，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：BCD.12．函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．的图像关于直线对称C．在上单调递增D．若将的图像向右平移个单位长度，则所得图像关于轴对称【答案】AD【分析】根据函数的零点、正弦型函数的对称性、单调性，结合正弦型函数图像变换性质逐一判断即可.【详解】由函数的图象可知，因为，所以，显然有，因为，所以令，得，即，因此选项A正确；因为，所以函数的图像不关于直线对称，因此选项B不正确；当时，不是的子集，所以函数在上不单调递增，因此选项C不正确；将的图像向右平移个单位长度，得到函数的解析式为，因为，所以函数是偶函数，图像关于轴对称，因此选项D正确，故选：AD三、填空题13．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为．

【答案】/【分析】根据旋转之后的几何体为圆台去掉半球体，根据圆台与球体的体积公式求解即可.【详解】如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉一个半球体

则旋转一周所形成的几何体的体积为.故答案为：.14．在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为【答案】/【分析】由平面与平面的夹角的定义求解即可【详解】分别取的中点，连接，因为侧面PAB是等边三角形，，四边形ABCD是边长为2的正方形，所以，，又，平面平面,所以是平面PAB与平面ABCD的平面角，又，所以，所以，所以平面PAB与平面ABCD的夹角为15．已知，，则．【答案】【分析】首先由得出的值及，再求出的值，根据二倍角公式及同角三角函数的商数关系将问题化简后代值即可．【详解】因为，两边平方得，，即，又因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：．16．如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：

①当为的中点时，平面；②存在点，使得；③当为的中点时，直线GH与BE所成角的余弦值为；④三棱锥的外接球的表面积为.其中正确的结论序号为.（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】用线面平行，线面垂直的判定以及余弦定理来一一判别.【详解】①如图所示，取的中点，连接，因为为的中点，所以且因为为棱的中点，所以且，则且，所以四边形为平行四边形，则，又面，又面，所以面，因此①正确.

②连接，因为平面为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面.点平面，点平面，∴平面且与平面不平行，所以不存在点，使得，因此②不正确.

③连接，，连接.因为为正方形，所以点是的中点，又为的中点，为的中点，所以且，.因为为正方形，平面，，所以，.因为，所以直线与所成角为.在中，由余弦定理有，因此③正确.

④因为为正方形，平面，所以两两垂直，所以棱锥的外接球的直径为以为相邻的棱的长方体的体对角线，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，因此④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：判断②时，利用线面垂直判定证明线面垂直，进一步论证发现线线垂直的条件不具备；线面垂直判定定理不仅可以用来证明线线垂直，也可以用来论证线线不垂直.四、解答题17．已知函数，若函数图像相邻两条对称轴间的距离是．(1)求及单调递减区间．(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)；单调递减区间(2)【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.【详解】（1）因为函数，又因为函数图像相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，所以，则，所以函数，令，解得，所以函数单调递减区间为.（2）由（1）可知：函数，因为，所以，则，所以，所以要使方程在上有解，则.18．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，（2）由线面平行即可求证，（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，因为N是PC的中点，所以且，又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，，MQ，平面MNQ，所以平面平面PAD．（3）因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．

19．某学习的注册用户分散在、、三个不同的学习群里，分别有人、人、人，该设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从、、三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计人参与游戏．(1)每局“七人赛”游戏中，应从、、三个学习群分别匹配多少人？(2)设匹配的名学员分别用：、、、、、、表示，现从中随机抽取出名学员参与新的游戏．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M为事件“抽取的名学员不是来自同一个学习群”，求事件发生的概率．【答案】(1)应从、、三个学习群分别匹配人、人、人(2)（ⅰ）答案见解析（ⅱ）【分析】（1）利用分层抽样可求得、、三个学习群分别匹配的人数；（2）（i）利用截距法可列举出所有的可能抽取的结果；（ii）确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件发生的概率.【详解】（1）解：三个学习群人数比例为，因此，应从学习群匹配的人数为人，应从学习群匹配的人数为人，应从学习群匹配的人数为人.（2）解：（ⅰ）所有可能的结果为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种；（ii）“抽取的名学员不是来自同一个学习群”抽取的名学员不是来自同一个学习群”包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共种，所以其概率为.20．已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.【详解】（1）因为，解得，所以.（2）因为，则，则，可得，所以，则，又因为，则，所以.21．如图所示，为了测量河对岸地面上两点间的距离，某人在河岸边上选取了两点，使得，且（米），现测得，其中，．求：(1)的值；(2)两点间的距离（精确到1米）．（参考数据）【答案