适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习第五章三角函数第七节正弦定理和余弦定理及其应用课件

第七节正弦定理和余弦定理及其应用第五章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.正余弦定理的简单应用2.正余弦定理的综合应用3.正余弦定理的实际应用数学抽象逻辑推理数学运算数学建模强基础增分策略知识梳理

1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则余弦定理是勾股定理在一般三角形中的推广

定理正弦定理余弦定理公式

=

=__________=2R

a2=

,

b2=a2+c2-2accosB,c2=

b2+c2-2bccosAa2+b2-2abcosC定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a=

,b=

,c=

;

(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;

(3)a∶b∶c=

cosA=

,cosB=

,

cosC=

2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC微点拨三角形解的个数的讨论在△ABC中,已知a,b,A,用正弦定理求B时,解的情况如下:2.三角形的面积公式在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则面积S=absinC=

=

.

微点拨三角形面积公式的其他形式

(1)S=aha(ha表示a边上的高).(2)S=

(a+b+c)r(r为△ABC内切圆半径).(4)S△ABC=2R2sin

Asin

Bsin

C,其中R为三角形外接圆半径.

3.实际测量问题中的常用术语(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2).(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.4.解三角形实际应用题的步骤

所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素

(边或角)求其余元素的过程

常用结论1.三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.2.三角形中,大边对大角,大角的正弦值也较大,即a>b⇔A>B⇔sin

A>sin

B.3.在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sin

C,cos(A+B)=-cos

C,5.三角形中的射影定理:bcos

C+ccos

B=a,acos

C+ccos

A=b,acos

B+bcos

A=c.6.三角形中判断内角范围的方法:(1)若b2+c2>a2,则角A为锐角;(2)若b2+c2=a2,则角A为直角;(3)若b2+c2<a2,则角A为钝角.7.在锐角三角形ABC中,必有sin

A>cos

B,sin

B>cos

C,sin

C>cos

A等.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sinA+sinB+sinC.(

)(2)在△ABC中,若sin2A=sin2B,则必有A=B.(

)(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(

)××√答案

A3.在△ABC中,若a=2,b=2,A=60°,则角B=

.

答案

30°

增素能精准突破考点一正余弦定理的简单应用(多考向探究)考向1.三角形基本量问题典例突破(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=

.

方法点拨正弦定理、余弦定理的基本应用,主要是利用两个定理,进行边角互化,进行基本量的计算.三角形中边角互化的基本原则:(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.解析

(1)设a,b,c分别为△ABC的角A,B,C的对边.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos

B,又a+c=5,则11a2+9a-20=0,解得a=1,故c=4,b=4,考向2.判断三角形形状问题典例突破例2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccosB-ccosA,则△ABC为(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案

D

解析

(方法1)因为a-b=ccos

B-ccos

A,所以由正弦定理得sin

A-sin

B=sin

Ccos

B-sin

Ccos

A.又因为sin

A=sin(B+C)=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C,sin

B=sin(A+C)=sin

Acos

C+cos

Asin

C,所以sin

Bcos

C+cos

Bsin

C-sin

Acos

C-cos

Asin

C=sin

Ccos

B-sin

Ccos

A,整理得sin

Bcos

C-sin

Acos

C=0,因此(sin

B-sin

A)cos

C=0,所以sin

B=sin

A或cos

C=0.因为A,B,C∈(0,π),所以A=B或C=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形,故选D.(方法2)因为a-b=ccos

B-ccos

A,由余弦定理得

整理得a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0,所以(a-b)(a2+b2-c2)=0,因此a-b=0或a2+b2-c2=0,即a=b或a2+b2=c2,故△ABC是等腰三角形或直角三角形,故选D.方法总结判断三角形形状的基本方法

对点训练2(2022广东汕头高三检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinBsinC=sin2A,则△ABC为(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形答案

C

考点二考点二正余弦定理的综合应用(多考向探究)考向1.范围与最值问题典例突破例3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A+cos2B=2cos2C,则角C的取值范围是(

)答案

B

解析

由已知得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),因此sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2,于是由余弦定理得名师点析均值不等式在解决三角形最值问题中的应用在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的积,两边的和等代数式,这就为均值不等式的应用提供了条件,因此在解决最值或取值范围问题时,应注意均值不等式的合理运用.对点训练3(2022山东滨州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差数列,则△ABC的面积的最大值为

.

解析因为sin

A,sin

B,sin

C成等差数列,所以2sin

B=sin

A+sin

C.由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accos

B=(a+c)2-2ac-2accos

B,即ac(1+cos

B)=6,又22=a2+c2-2accos

B≥2ac-2accos

B,即2≥ac(1-cos

B),当且仅当a=c时等号成立,所以2×6≥ac(1-cos

B)×ac(1+cos

B),即2×6≥(acsin

B)2,考向2.多三角形背景问题典例突破技巧点拨多三角形背景问题的求解策略(1)寻找各三角形中已知条件较多,边角关系较明显的三角形,以这样的三角形为主运用正弦定理、余弦定理解决问题.(2)注意发现不同三角形内角之间的关系,尤其是具有互余、互补关系的角,通过这些关系结合诱导公式的运用进行三角函数值之间的转化并进行求解.对点训练4如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AB⊥AC,AB=2.(1)若∠ABC=30°,CD=AD,求BD的长;(2)若AC=2,∠ADB=30°,求sin∠CAD的值.考向3.与三角函数结合的综合问题典例突破例5.(2022山东临沂二模)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面答案

A

名师点析正弦定理、余弦定理常常与三角恒等变换、三角形面积公式等结合在一起综合考查学生的能力,解题的关键是结合条件,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,然后在此基础上再进行三角恒等变换,注意和差倍角公式、降幂公式、辅助角公式等的灵活运用.答案

D

考点三正弦定理、余弦定理的实际应用典例突破例6.(1)某同学为测量滕王阁的高度,选取了与底部水平的直线DF,将自制测量仪器分别放置于D,E两处进行测量(如图),测量仪器高AD=2m,点P与滕王阁顶部平齐,并测得∠CBP=2∠CAP=60°,AB=64m,则该同学测得滕王阁的高度约为(参考数据≈1.732)(

)A.50m B.55.5m C.57.4m D.60m(2)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在北偏东45°,距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿南偏东75°的方向,以9海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为(

)答案

(1)C

(2)B

解析(1)因为∠CBP=2∠CAP=60°,所以∠CAP=∠AP