2021年湖北中考数学真题分类汇编之方程与不等式

2021年湖北中考数学真题分类汇编之方程与不等式

一.选择题（共5小题）

1.（2021•襄阳）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的

成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下

面所列方程正确的是（）

A.5000(1+x)2=4050B.4050(1+x)2=5000

C.5000(1-x)2=4050D.4050(1-x)2=5000

2.（2021•荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度

之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一

根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设

木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）

y=x+4.5y=x-4.5

A.<1_1B.?=x+l

/X-l

y=x+4.5y=x-4.5

C.D.

2y=x-l2y=x+l

3.（2021•荆州）定义新运算"※”:对于实数相，n,p,q.有［nz,p］※0ri\=mn+pq,其

中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：［2,3］派［4,5］=2X5+3X4=22.若关于x

的方程廿+1，8※［5-2鼠灯=0有两个实数根，则上的取值范围是（）

A.左＜5且右£。B.k《互c.且上roD.上》回

4飞44

4.（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需

时间比原计划生产450台机器所需时间少I天，设现在平均每天生产x台机器，则下列

方程正确的是（）

A.400.450=B450-400=1

xx-50x-50x

C.40°-45°=50D.450_400=50

xx+1x+1x

5.（2021•恩施州）分式方程」_+1==旦的解是（)

X-1X-1

A.x=lB.x=-2C.x=_3D.冗=2

4

填空题（共4小题）

6.（2021•湖北）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索,

索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为

尺.

（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳

索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺.）

7.（2021•湖北）关于x的方程/-2蛆+序-机=。有两个实数根a,p,且」_则

ap

m=.

8.（2021•襄阳）不等式组卜+2>4*-1的解集是____________________.

I2x>l-x—

9.（2021•随州）已知关于x的方程/-（A+4）x+4A=0（%W0）的两实数根为x\,xi,若

X1x2

=3,则4=.

三.解答题（共4小题）

10.（2021•湖北）（1）计算，（3-V2）°X4-（273-6）+3^Zg+V12；

（2）解分式方程：—2—^^=1.

2x-ll-2x

11.（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程f-6X+2〃L1=0有xi,X2两实数根.

（1）若Xl=l,求X2及胆的值；

（2）是否存在实数m,满足Cxi-1）（^2-1）=2?若存在，求出实数m的值；若

m-5

不存在，请说明理由.

12.（2021•荆州）已知：。是不等式5（a-2）+8<6（«-1）+7的最小整数解，请用配方

法解关于x的方程x2+2ar+a+l=0.

13.（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，

下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有

35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只

值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

2021年湖北中考数学真题分类汇编之方程与不等式

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

1.(2021•襄阳)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的

成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下

面所列方程正确的是()

A.5000(1+x)2=4050B.4050(1+x)2=5000

C.5000(1-x)2=4050D.4050(1-x)2=5000

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】等量关系为：2年前的生产成本X(1-下降率)2=现在的生产成本，把相关数

值代入计算即可.

【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x,根据题意得：

5000(1-%)2=4050,

故选：C.

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a

(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，匕为终止时间的有关数量.

2.(2021•荆门)我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度

之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一

根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余I尺；问长木多少尺？如果设

木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是()

y=x+4.5y=x-4.5

B.<i

产x+l

,/y=x+4.5Djy=x-4.5

12y=x-l12y=x+l

【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【分析】直接利用“绳长=木条+45上绳子=木条-1”分别得出等式求出答案.

2

，y=x+4.5

【解答】解：设木条长无尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：1

/X-1

故选：A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题

关键.

3.(2021•荆州)定义新运算"※”:对于实数n,p,q.有pn,p]※匕，n]=mn+pq,其

中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3忤[4,51=2X5+3X4=22.若关于x

的方程[7+1,刘※[5-2晨灯=0有两个实数根，则4的取值范围是()

A.无<5且上去0B.y旦C.且无#0D.上)§

4飞4飞44

【考点】实数的运算；根的判别式.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【分析】先根据新定义得到k(f+1)+(5-2Z)x=0,再整理为-一般式，接着根据一元

二次方程的定义和判别式的意义得到上#0且4=(5-2A)2-4&220,然后解不等式即

可.

【解答】解：根据题意得k(/+1)+(5-2k)x=0,

整理得k^+(5-2k)x+k=0,

因为方程有两个实数解，

所以上#0且4=(5-2k)2-4后20,解得上且�.

4

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a?+6x+c=0(“W0)的根与△=砂-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式

是解决问题的关键.

4.(2021•十堰)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需

时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列

方程正确的是()

A.400_450=1B.45p_400=1

xx-50x-50x

C.400-450=50D.450-400=50

xx+1x+1X

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【专题】分式方程及应用；应用意识.

【分析】设现在平均每天生产X台机器，则原计划平均每天生产(x-50)台机器，根据

“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即

可.

【解答】解：设现在平均每天生产X台机器，则原计划平均每天生产（x-50）台机器，

根据题意，得卫区L-%=1.

x-50x

故选：B.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所

需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程

是解题关键.

5.（2021•恩施州）分式方程1_+1=_"的解是（）

x-lx-l

A.x=lB.x--2C.X——D.x—2

4

【考点】解分式方程.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：X+X-1=3,

解得：x=2,

经检验x=2是分式方程的解.

故选：D.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

二.填空题（共4小题）

6.（2021•湖北）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，

索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为3

尺.

（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳

索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺.）

【考点】二元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】设索长为x尺，竿子长y尺，根据''索比竿子长5尺，对折索子来量竿，却比

竿子短5尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设索长为x尺，竿子长y尺,

x-y=5

依题意得：1

y—^x=5

解得：卜=20.

ly=15

故答案为：20.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

1

7.(2021•湖北)关于x的方程7一2阿计加2-团=0有两个实数根。，p,且」一-则

D=1

aP

tn3

【考点】根的判别式；根与系数的关系.

【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】根据△的意义得到△，()，即(-2/n)2-420,可得加20,根据根

1

与系数的关系得到a+B=2,*,呻="2-m,再将」一D=1变形得到关于m的方程,

QP

解方程即可求解.

【解答】解：..•关于x的方程7-2〃优+"-〃?=0有两个实数根a,p,

.*.△=(-2m)2-4(瓶2-机)，0,解得相20,

a+0=2〃z,a^=nr-m,

即。+B=i,

a乍a8

..2m=],

m2-m

解得加1=0,加2=3,

经检验，加1=0不合题意，"22=3符合题意,

.•.机=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了一元二次方程/+-+C=0(a#0)的根与系数的关系：若方程的两

根分别为XI,X2,则用+垃=-电，也考查了一元二次方程根的判别式以及代

aa

数式的变形能力.

X工？的解集是

8.(2021•襄阳)不等式组.

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【解答】解:卜1它4女①,

[2x>l-x②

解不等式①，得xWl,

解不等式②，得x>L,

3

所以不等式组的解集是工1，

3

故答案为：1<X<1.

3

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是

解此题的关键.

9.(2021-随州)已知关于x的方程--(%+4)x+4k=0(k^0)的两实数根为xi,X2,若2+2

X1x2

=3,贝壮=A.

一5一

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】根据根与系数的关系得到Xl+X2=A+4,X1・X2=4A,将其代入已知等式，列出关

于人的方程，解方程即可.

【解答】解：,・•关于x的方程(Z+4)x+4Z=0(ZW0)的两实数根为xi,必

・\XI+X2=A+4,Xi•x2=4k,

.22_2(X1+X2)_2(k+4)

••-----Ix-'l-~~------------J•

X1x2X1，x24k

解得k=£

5

经检验，z=4是原方程的解.

5

故答案为：1.

5

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程0?+瓜+°=0QWO)的根与系

数的关系为：Xt+X2—-―,Xl*X2——.

aa

三.解答题(共4小题)

10.（2021•湖北）（1）计算，（3-&）0X4-（273-6）+3^+712：

(2)解分式方程：，——^=1.

2x-ll-2x

【考点】实数的运算；零指数累；解分式方程.

【专题】实数；分式方程及应用；运算能力.

【分析】(1)原式利用零指数幕法则，算术平方根、立方根定义计算，去括号合并即可

得到结果；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解.

【解答】解：(1)原式=1*4-2心6-2+2立

—4-2A/§+6-2+2-\/3

=8；

(2)去分母得：2-x=2x-1,

解得：x=\,

检验：当x=l时，2x-lW0,

.•.分式方程的解为x=l.

【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及零指数累，解分式方程利用了转化

思想，注意要检验.

11.(2021•荆门)已知关于x的一元二次方程7-6五+2m-1=()有箱，两实数根.

(1)若加=1,求X2及m的值；

(2)是否存在实数m,满足(Xi-1)(&-1)=_0_?若存在，求出实数m的值；若

m-5

不存在，请说明理由.

【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】(1)先利用判别式的意义得到机W5,再利用根与系数的关系得到XI+X2=6,*也

—2m-1,然后利用xi=1可求出和胆的值：

(2)利用(xi-1)(A2-1)=-^得到2山-1-6=-^,整理得m2-8〃?+12=0,解

m-5m-5

得叫=2,m2=6,然后利用加的范围确定机的值.

【解答】解：(1)根据题意得△=(-6)2-4(2m-1)20,解得加近5,

xi+x2=6fx\x2=2m-1,

Vxi=l,

，1+A2=6,xi=2m-1,

・・X2=5,m=3；

(2)存在.

•:(XI-1)(X2-1)=-6,

m-5

••X\X2~(X1+X2)+1=0,

m-5

即2/77-1-6+1=—

m-5

整理得m2-8m+12=0,解得"〃=2,加2=6,

・.・"zW5且mW5,

工m=2.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程o^+fex+cuO(“羊0)的

两根时，阳+m=-上，XIX2=£.也考查了判别式.

aa

12.(2021•荆州)已知：〃是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方

法解关于x的方程，+2ar+a+l=0.

【考点】解一元二次方程-配方法；一元一次不等式的整数解.

【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【分析】解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3,所以最小整数解为-2,于

是将a=-2代入方程/-4x-1=0.利用配方法解方程即可.

【解答】解：解不等式5(a-2)+8<6(«-1)+7,得”>-3,

最小整数解为-2,

将“=-2代入方程x1+2ax+a+\=0,得/-4x-1=0,

配方，得(x-2)2=5.

直接开平方，得x-2=土旄.

解得xi=2+旄，X1—2-^5.

【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解.配方法的

一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

13.（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，

下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有

35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题:

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只

值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

【考点】数学常识；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应

用.

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数有35个头，从下面数有94

只脚”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设笼中鸡有m只，则兔有丝21只，根据笼中鸡兔至少30只且不超过40只，即

4

可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设这笼鸡兔共值w元,

根据总价=单价X数量，即可得出关于w关于小的函数关系式，再利用一次函数的性质

即可解决最值问题.

【解答】解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只,

依题意得：（X+y=35，

\2x+4y=94

解得：产3.

ly=12

答：笼中鸡有23只，兔有12只.

（2）设笼中鸡有〃，只，则兔有些空•只,

4

94-2m

>30

依题意得:

94-2m

<40

解得：13W/W33.

设这笼鸡兔共值卬元，则w=80w+60X94~2m=50/n+1410.

4

V50>0,

随m的增大而增大,

.,.当〃?=13时，w取得最小值，最小值=50X13+1410=2060；

当机=33时，w取得最大值，最大值=50X33+1410=3060.

答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、数学常识以及

一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）

根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

考点卡片

1.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

2.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

3.零指数幕

零指数幕：a°=l(aWO)

由""+""=1,可推出J=1(a#0)

注意：0°#l.

4.由实际问题抽象出二元一次方程组

(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

(2)一般来说，有儿个未知量就必须列出儿个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成

两个方面，有”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息

的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.

5.二元一次方程组的应用

（-）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

6.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,是一元二次方程^^bx+c

=0（4#0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

67Jcr+tei+c=O（aWO）,ax21+hx2+c=O（aWO）.

7.解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+小）'ri的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为办2+—+。=0（aWO）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数，

则判定此方程无实数解.

8.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=房-4改)判断方程的根的情况.

一元二次方程〃/+法+c=0(a#0)的根与△=序-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当AVO时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

9.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：