2022年湖南省长沙市檀树湾中学高三数学文测试题含解析

2022年湖南省长沙市檀树湾中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量a，b均为单位向量，且(a＋b)，则a与b夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，； ，；，； ，.其中的真命题是（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A3.已知全集是，集合和满足，则下列结论中不成立的是（）A． B．

C.

D．参考答案：D4.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=(

) A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．解答： 解：∵（1+2i）z=4+3i，∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）5z=10﹣5i，z=2﹣i，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．5.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，则P（A）=0.5，P（AB）=0.2，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率．【解答】解：设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，∵开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，∴P（A）=0.5，P（AB）=0.2，∴在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率：P（B|A）===0.4．故选：C．6.设函数的定义域为，其中，那么的定义域为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A7.已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为E，若的面积为，则p=（）A.2 B. C.4 D.8参考答案：C【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p即可．【详解】抛物线y2＝2px的焦点为F，点P为抛物线上一点，过P作抛物线的准线的垂线，垂足是E，若∠EPF＝60°，△由抛物线的定义可得：|PF|＝|PE|，△PEF是正三角形，所以|PE|=2p，△PEF的面积为16，∴16得p＝4，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。8.平面向量与的夹角为，，，则A．9

B．

C．

D．7参考答案：B,,所以，所以，选B.9.下列命题中为真命题的是

A．若

B．直线为异面直线的充要条件是直线不相交

C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

D．若命题，则命题的否定为：“”参考答案：D10.给出下列不等式：①a2＋1≥2a；②≥2；③x2＋≥1.其中正确的个数是()A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。参考答案：1，1根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．12.已知是夹角为120°的单位向量，向量=t+（1﹣t），若⊥，则实数t=_________．参考答案：略13.函数的定义域为

．参考答案：14.若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（2）=．参考答案：﹣2分析： f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），由已知得到f（﹣2），再由f（2）=﹣f（﹣2），即可得到结论．解答： 解：f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（2）=﹣f（﹣2）=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知的解析式，考查运算能力，属于基础题．15.向面积为的平行四边形中任投一点,则的面积小于的概率为________.参考答案：当的面积恰为时，则，故填.16.是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：

略17.函数的值域为______.参考答案：[－1,2]【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】由，当时，，则，所以.【点睛】本小题主要考查降次公式、辅助角公式的应用，考查三角函数求值域的方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）利用三角函数的降幂公式和诱导公式，化简题中等式得，再利用两角和的正弦公式得，即得cosA的值；（II）由同角三角函数关系算出，再根据正弦定理得出，结合题意算出．最后根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子加以计算，即可得到边c的值．【解答】解：（I）由，得，…（3分）即，可得，即．…（6分）（II）由，得，根据正弦定理，得．由题意a＞b，则A＞B，故．…（9分）再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，解之得c=1（c=﹣7舍去）．…（12分）【点评】本题着重考查了三角函数恒等变换公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角对大边等知识，属于中档题．19.（本小题满分14分）（文）已知函数f（x）＝x3－bx2＋2cx的导函数的图像关于直线x＝2对称.（1）求b的值;（2）若函数f（x）无极值，求c的取值范围;（3）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域.参考答案：（1）f′（x）＝3x2－2bx＋2c,∵函数f′（x）的图像关于直线x＝2对称,

∴－＝2,

即b＝6.（2）由（1）知,f（x）＝x3－6x2＋2cx,f′（x）＝3x2－12x＋2c＝3（x－2）2＋2c－12,当c≥6时,f′（x）≥0,此时函数f（x）无极值.（3）当c＜6时,则f′（x）＝0有两个互异实根x1,x2,不妨设x1＜x2,则x1＜2＜x2,当x＜x1时,f′（x）＞0,f（x）在区间（－∞,x1）内为增加的;当x1＜x＜x2时,f′（x）＜0,f（x）在区间（x1,x2）内为减少的;当x＞x2时,f′（x）＞0,f（x）在区间（x2,＋∞）内为增加的.所以f（x）在x＝x1处取极大值,在x＝x2处取极小值.因此,当且仅当c＜6时,函数f（x）在x＝x2处存在唯一极小值,所以t＝x2＞2,于是g（t）的定义域为（2,＋∞）,由f′（t）＝3t2－12t＋2c＝0得2c＝－3t2＋12t.于是g（t）＝f（t）＝t3－6t2＋（－3t2＋12t）t＝－2t3＋6t2,t∈（2,＋∞）,当t＞2时,g′（t）＝－6t2＋12t＝－6t（t－2）＜0,所以函数g（t）在区间（2,＋∞）内是减少的.故g（t）的值域为（－∞,8）.20.已知△ABC满足．（1）若cosC＝，AC＝3，求AB；（2）若A(0，)，且cos(B﹣A)＝，求sinA．

参考答案：

解：（1）由可知，移项可得，又，故，

……………2分又由，可知，

……………4分故在中，由正弦定理可得，所以.

………………7分（2）由（1）知，所以时，，由即可得，……………10分∴.…14分21.如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．参考答案：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－，∴，∴()．

…………4分（2）∵|PQ|＝∴|OP|－|OQ|＝＝∴()．

…………8分法一：令，∴令∈，＝

∴时，即时，有最大值10．

…………12分法二：∵∴

∴．此时，…………12分法三：令，，∴对求导得令得：＝，当时，，当时，，故在递增，在上递减故＝时，⊙Q的半径的最大值为10．

…………12分22.

（12分）已知实数m>1，定点A（－m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为

（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

（2）当时，问t取何值时，直线与曲线C有且只有一个交点？

（3）在（2）的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.参考答案：解析：（1）设.

由题意得……2分

∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆（除去x轴上的两项点），其中长轴长为2，短轴长为2.………………4