2022年湖南省岳阳市汨罗磊石中学高一数学理联考试卷含解析

2022年湖南省岳阳市汨罗磊石中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量＝(cos55°，sin55°)，＝(cos25°，sin25°)，若t是实数，则|－t|的最小值为A．

B．1

C．

D．参考答案：D2.设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（）A．0 B．π C．2π D．4π参考答案：A【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由已知可得函数的周期为2π，进而可得f（4π）=f（2π）=f（0）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），∴f（4π）=f（2π）=f（0）=0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．3.已知α、β是两个不同的平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B4.下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.设，，则

()（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：略6.已知数列{an}满足要求，，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，知为等差数列，首项为1，公差为2，从而可得解.【详解】由，可得，即得为等差数列，首项为1，公差为2.所以，所以.故选D.7.根据下表所示的统计资料，求出了y关于x的线性回归方程为=1.23x+0.08，则统计表中t的值为（）x23456y2.23.8t6.57.0

A．5.5 B． 5.0 C． 4.5 D． 4.8参考答案：A8.函数y=|x﹣1|的图象为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于x﹣1的符号不能确定，故应分x≥1与x＜1两种情况求出函数的解析式，取特殊点验证函数图象．【解答】解：当x≥1时，y=x﹣1，为递增的射线；当x＜1时，y=﹣x+1，为递减的射线；又f（1）=|1﹣1|=0，故函数的图象过（1，0）只有A符合，故选：A【点评】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意分类讨论．9.设等差数列{}满足：，且其前项的和有最大值，则当数列{}的前项

的和取得最大值时，此时正整数的值是A．11

B．12

C．22

D．23参考答案：C10.已知等差数列{}的前n项和为，且S2=10，S5=55，则过点P（n，），Q（n+2，）（n∈N*）的直线的斜率为（

）

（A）4

（B）（C）－4

（D）－参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，三个内角A，B，C对应三边长分别为a，b，c.若C＝3B，的取值范围________．参考答案：(1,3)12.已知是定义在上的奇函数，若它的最小正周期为，则________参考答案：略13.设向量=（﹣1，3），=（2，x），若∥，则x=．参考答案：﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣x﹣6=0，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．14.sin75°=______．参考答案：试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦15.（5分）若，，若，则向量与的夹角为

．参考答案：考点： 数量积表示两个向量的夹角．专题： 计算题．分析： 根据两个向量垂直，得到两个向量的数量积等于0，整理成要用的两个向量的数量积等于1，把所给的和所求的代入求两个向量的夹角的公式，得到结果．解答： ∵，∴，∴，∴，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴向量与的夹角为，故答案为：点评： 本题考查两个向量的数量积表示两个向量的夹角，解题的关键是根据所给的两个向量的垂直关系写出两个向量的数量积的值．16.函数的单调递增区间是___________．参考答案：略17.已知,,,则与的夹角的取值范围为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）(原创)已知圆M：，直线：x＋y＝11,上一点A的横坐标为a,过点A作圆M的两条切线,,切点分别为B,C.

（1）当a＝0时，求直线,的方程；

（2）当直线,互相垂直时，求a的值；（3）是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：（1））圆M：,圆心M(0,1),

半径r=5,A(0,11),

设切线的方程为y＝kx＋11,圆心距,∴,所求直线l1,l2的方程为

（2）当l1⊥l2时，四边形MCAB为正方形，∴

设A(a,11－a),M(0,1)

则

∴a＝5

（3）设，则，又，故，又圆心M到直线的距离是

∴，，故点A不存在19.（1）；（2）若log2x=log4（x+2），求x的值．参考答案：【考点】函数的零点；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）（﹣2）2=4，2=1，=6，从而解得．（2）化简得log4x2=log4（x+2），从而可得x2=x+2，从而解得．【解答】解：（1）=0.25×4﹣4﹣6=﹣9；（2）∵log2x=log4（x+2），∴log4x2=log4（x+2），∴x2=x+2，解得，x=﹣1（舍去）或x=2．【点评】本题考查了幂运算与对数运算的应用．20.(本题满分15分)已知函数f(x)=x2+ax，且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立.（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.参考答案：解析：（1）由f(1+x)=f(1－x)得，(1＋x)2＋a(1＋x)＝(1－x)2＋a(1－x)，

整理得：(a＋2)x＝0，

由于对任意的x都成立，∴a＝－2.

（7分）（2）根据（1）可知f(x)=x2－2x，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.设，则＝－

＝（）－2（）＝（）（－2）

∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，

∴＞0，即，

故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.

（8分）21.（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题： 证明题．分析： （1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答： （1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO?平面PAC，BD1?平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD?平面BDD1B1，D1D?平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1