两曲线间距离

宁夏银川一中2021届第四次月考2019年12月18日每日一题编辑：安徽安庆张飞两曲线间距离问题若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b-3)2=1则(x-a)2+(Inx-b)2的最小值为A.3/2 B.18 C.3&-1 D.19-62答案：D解法一：不等式记圆心(-2,3)到曲线f(x)=Inx的距离最小值为d,(x-Inx+5)2故d2=(x+2)2+(lnx- -18当且仅当x+2=lnx-3和x-Inx=1同时成立，即x=1时取等号故圆上的(a,b)到曲线f(x)=lnx的距离最小值为3<2-1综上，(x-a)2+(lnx-b)2的最小值为(3Q-1)2=19-6占•解题教师：四川绵阳辛济蒸河南周口赵振飞解法二：直接法记圆心(-2,3)到曲线f⑴=lnx的距离最小值为d,故d2=f(x)=(x+2)2+(lnx-3)2=x2+4x+4+ln2x-6lnx+92lnx6知，f'(x)=2x+4+ -_xx2x22x2-2lnx+8乂f(x)=x24(x4(x+、：2)(x-右2令g(x)=2x2-2lnx+8，有g'(x)=4x-_=知g，(£)=0，0<x<£,g,(x)<0,x> ,g，(x)>0222min故f〃(x)=g(卫)=9+1n2>0，故f(x)单调增min2而f'(1)=0，知0<x<1,f'(x)<0,x>1,f，(x)>0综上可知，d2 =18，得d=32，min min

所求最小值为(d-1)2=(3-.2-1)2=19-6<2.min解题教师：河北秦皇岛邹蕴甘肃甘南杜林会河南信阳陈国亮山西大同夏志刚广东洪志华江苏苏州花雯重庆酉阳石胜军解法三：导数的几何意义设点C(-2,3),P(x,lnx)在曲线f(x)=lnx上，点Q(a,b)在圆C:(x+2)2+(y-3)2=1上,则(x-a)2+(lnx-b)2其几何意义为|PQ|2 ,min又|pQ2n|pm|2=(|pC-1)2如下图2，pn为过点p的切线，lnx-3 1二一1，x02%x~当CP丄PN时，CM>CN>CP，CP取最小值^得lnx-3 1二一1，x02%x~00000令g(t)=t2+2t+lnt—3，有gr(t)=2t+2+〉0t知g(t)在(0,+切上单调增，乂g(1)=0，知P(1,0)综上可知，(|PC-1)2=((1+2)2+(0-3)2-1)=19-6込.解题教师：湖南怀化赵宏君安徽宣城施小平内蒙古赤峰孙艳春山西太原张凯湖北孝感陈耀华四川成都陈敏黑龙江绥棱宋志学山西大同夏志刚四川成都张芹河南郑州王静四川成都杨昆山西大同李春明四川成都何毅安徽合肥王倩倩解题教师：湖南怀化赵宏君安徽宣城施小平内蒙古赤峰孙艳春山西太原张凯湖北孝感陈耀华四川成都陈敏黑龙江绥棱宋志学山西大同夏志刚四川成都张芹河南郑州王静四川成都杨昆山西大同李春明四川成都何毅安徽合肥王倩倩解法四：切圆法记圆心Q(-2,3)， M(a,b)， P(x,lnx),则圆Q的半径r=1,故\PM\ =|PQ -r=\PQ -1,min min min以点Q为圆心，作圆与曲线f(x)=lnx相切，切点为N(t,lnt),又f(x)=lnx,f'(t)=，知k =-t,t QN故直线QN的方程为y-lnt=-t(x-lnt)代入点Q(-2,3)，得3-lnt=-t(-2-t),即3-lnt=ti+2t(t>0)令g(t)=ti+it+lnt-3,有g'(t)=it+2+1>0，知g(t)在(0,+8)上单调增又g(1)=0，t可得N(1,0)，故PM2=(PQ-1>=(Qn—1》=(3\2-1)i=19—6*2min min．如下图所示：解题教师：安徽安庆张飞江西上饶熊辉金山西太原孙文斌河南周口赵振飞河南开封李世延河南郑州王超霞安徽滁州把明洲浙江湖州周发凤广东深圳张志超评论与赏析：本题是探求两曲线的距离问题，关键是合理转化，充分运用数形结合和切线方程知识使问题得到解决，培养学生的数学运算和直观想象等数学学科素养.解法一连续两次使用不等式予以放缩，关键在于等号恰好在同一值取得，如果不能再同一处取得等号，问题将无法解决，但是可以作为做题必要性尝试，技巧性比较强；解法二是直接转化为函数求最值，然后通过多次求导探求原函数的单调性，然后得出其最值，这类方法主要是要求学生具备相当的计算能力，要做到胆大心细；解法三是直接利用距离的几何意义，然后进行转化为相关的代数条件，再构造函数，探求其最小值；解法四是构造圆与已知曲线相切，利用相切的几何条件得出相关代数式，后面解答过程与解法三相同，解法三与解法四充分利用到数形结合的思想，使问题得到完美解决，充分体现数形结合解决距离问题的简洁性和直观性，有助于学生直观想象核心