2024届一轮复习人教A版 三角函数与解三角形 作业（二）

人教版2024届高二下学期一轮复习三角函数与解三角形（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（

）A．400 B．C．600 D．8002．若，，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]4．如图是函数（，，）的部分图象，其中在轴上且为的中点，点到直线的距离为，则的面积为（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C．4 D．56．若函数且在区间上是单调减函数，且函数值从减小到，则（

）A．1 B． C． D．07．已知函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是A． B． C． D．8．在中，已知，则该的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形二、多选题9．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（

）A．在必有有2个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点C．在上单调递增 D．的取值范围是11．已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最大值为B．函数的对称轴方程为C．函数的单调递增区间为D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到12．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A． B．若，则C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为202个三、填空题13．在中，角所对的边分别边，若，，则的取值范围是_____．14．已知椭圆C：的左焦点为，存在直线y=t与椭圆C交于A，B两点，使得为顶角是的等腰三角形，则其长轴长为______.15．已知点是内一点，，则_______________________．16．_____________．四、解答题17．已知.(1)求的单调区间；(2)在锐角中，角的对边分别为，若，且，求周长的最大值.18．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．19．已知=(cosx，sinx)，=(－cosx，cosx)，函数f(x)=.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈时，求f(x)的值域.20．在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.21．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段.若，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？（精确到）22．已知满足．（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；（2）已知三个内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值．参考答案：1．D【分析】连接，设，则，，根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接，设，则，所以因为，所以，所以，所以，当时故选：D【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.2．D【解析】根据同角三角函数关系式,化简,结合三角函数在各象限的符号,即可判断的终边所在的象限.【详解】根据同角三角函数关系式而所以故的终边在第四象限故选:D【点睛】本题考查了根据三角函数符号判断角所在的象限,属于基础题.3．A【分析】利用导数求解，将问题转化为或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.【详解】由已知条件得，∵函数在区间上无极值，∴函数在区间上单调，∴或在区间上恒成立，当时，，∵，∴，在此范围内不成立；当时，，∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.4．A【分析】因为P为EB的中点，且P在y轴上，所以由图易知O为线段BD的中点，从而求得B、C坐标，分别以BC，BE作底表示△BEC的面积，从而求得E点纵坐标，三角形PBC的面积为三角形BEC面积的的一半，从而求得结果.【详解】解：因为为的中点，且在轴上，所以由图易知为线段的中点，所以，，由三角形面积公式，得，即，得，又点为的中点，所以的面积，故选：A．【点睛】方法点睛：利用三角形不同边作底来表示面积，从而根据条件求得参数.5．D【分析】巧用“1”，化弦为切，由已知可得解.【详解】故选:D【点睛】本题关键在于化弦为切，属于基础题.6．C【分析】由题意求得函数的周期，继而可得，利用，求得，即得解析式，代入求值可得答案.【详解】∵（且在区间上是单调减函数，且函数值从减小到，∴，即函数的周期，∵，∴，则，∵，∴，即，，即，，∵，∴当时，，即，则，故选：C.7．A【解析】由周期求出，根据对称性求出，可得函数的解析式，从而求出函数图象的一个对称中心．【详解】由题意可得，解得，函数．依题得，因为，故，所以．令，可得，，故函数的对称中心，令，可得函数图象的中心是，故选：．【点睛】本题考查了函数型函数对称性、周期性的理解和相关计算，旨在考查学生的分析转化题意、数形结合、求解运算能力．8．D【分析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为，结合角的范围，即可得出结论.【详解】化为，，，至少有一个是锐角，，或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题.9．AD【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.【详解】，故，根据正弦定理：，即，，故，，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故..故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．BD【分析】令，则，根据复合函数的单调性及图像综合判断即可．【详解】解：依题意知，由于在，有且仅有4个零点，结合图像及单调性可得，，故D对；令，，有1或2个极大值点，结合复合函数的单调性知也有1或2个极大值点，故A错；同理有2个极小值点，所以有2个极小值点，故B对；当时，，，，递减，根据复合函数单调性得递减，故C错；故选：BD．11．AC【分析】根据数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：∵，，∴，对于A：函数的最大值为，故A正确；对于B：由，解得，所以函数的对称轴方程为，故B不正确；对于C：令，解得，∴函数的单调递增区间为，故C正确；对于D：的图象向右平移是个单位长度，得，再向下平移个单位长度，得，故D不正确．故选：AC．12．AC【分析】由题意知在一个波谷的位置且有对称性，有且，进而可判断A、B、C的正误，又上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知零点个数最少个数，即知D的正误.【详解】由，且在上有最小值，无最大值，∴在一个波谷的位置且有对称性，即，，∴的最小正周期为，故A、C正确，B错误；在上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点；∴上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：由条件推出在一个波谷的位置且有对称性，可确定及最小正周期，再由正弦函数的性质判断上零点个数，进而确定最少有多少个零点.13．【分析】先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果.【详解】，，，，，又，，因此，，，故答案为．【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.14．【详解】因为为顶角是的等腰三角形，如图：所以设=x=，则由余弦定理得，则BF=x，又OF=+AF=x=，解得x=，BF=x=2，则2a=BF+B=BF+AF=2，故答案为2.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，涉及余弦定理，属于中档题.15．【分析】设，，，在和，由正弦定理得，，两式相比得：，化简后可得，即可得解.【详解】，设，，在和，由正弦定理得，两式相比得：即又，利用正弦定理得：又，，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查三角形求边长，正确运用正弦定理，三角形内角和及三角恒等变换公式是解题的关键，考查学生的数形结合及运算能力，属于一般题.16．【详解】试题分析：原式.考点：诱导公式与两角差的正弦公式.17．(1)增区间为：；减区间为：.(2)3【分析】（1）先运用三角变换公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解；（2）先运用正弦定理明确三角形的边角之间的关系，再建立目标函数运用三角函数的知识求解：（1），∴令，即得增区间为：；令，即得减区间为：.（2）由题意在锐角中，知，∴.又由正弦定理知：，，则的周长为，由知：，则有，，则，∴的周长的最大值为3.18．（1）;（2）最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先用余弦二倍角公式和辅助角公式将其化简,再根据周期公式求其周期.（2）根据的范围求整体角的范围,再根据正弦函数图像求得范围,从而可得的范围.【详解】（1），（2），∴，∴，∴，∴在上的最大值为2，最小值为1．19．(Ⅰ)最小正周期是;(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)先根据数量积公式及恒等变换化简，然后利用周期公式求解；(Ⅱ)先求的范围，结合图象求出的范围，然后可得的值域.【详解】(Ⅰ)因为f(x)==2(cosx，sinx)·(－cosx，cosx)+1=2(－cos2x+sinxcosx)+1=1－2cos2x+2sinxcosx=sin2x－cos2x=sin(2x－)所以f(x)的最小正周期是T==π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得因为，所以所以所以，即值域为.20．（I）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．21．（1）(km)；（2）1.39(km).【分析】（1）由余弦定理求得直径长，易得弧长；（2）记AD=a，CD=b，由余弦定理求得的关系，利用基本不等式求得的最大值，从而可得最多的增加值．【详解】解：（1）联结，在△ABC中，由余弦定理可得，，所以=，即的长度为(km)；（2）记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：，即，从而，所以，，当且仅当时，等号成立；新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km)，故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)．【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题关键是确定问题是什么，已知什么条件，用什么公式计算求解．本题中已知两边及夹角，选择余弦定理求得第三边，即圆直径，第一个问题易得解，而第二个问题，在三角形中已知一