函数周期性和对称性

周期性周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x+T)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．思考：若T为函数f(x)的一个周期，则-T、2T、3T、kT(k为非零整数)是否也是这个函数的一个周期？请说明理由．第一页1第二页，共10页。周期性若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的周期性并写出函数f(x)的一个周期：①f(x+6)=f(x)②f(x+3)=f(x-3)③f(x+7)=f(x+1)若函数f(x)对于定义域内任意x都满足f(x+a)=f(x+b)(a≠b)，则函数f(x)有何性质？自变量差为定值，函数值相等周期为第二页2第三页，共10页。若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的对称轴：①f(2+x)=f(2-x)②f(x)=f(4-x)③f(x-1)=f(5-x)对上述结果进行分析归纳：当函数f(x)满足f(x)=f(a-x)时，对称轴为______.当函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，对称轴为______.自变量和为定值，函数值相等轴对称对称轴为第三页3第四页，共10页。若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的对称中心：①f(2+x)=-

f(2-x)②f(x)=-

f(4-x)③f(x-1)=-

f(5-x)对上述结果进行分析归纳：当函数f(x)满足f(x)=-f(a-x)时，对称中心为___.当函数f(x)满足f(a+x)=-

f(b-x)时，对称中心为___.当函数f(x)满足f(a+x)=-

f(b-x)+c时，对称中心为___.自变量和为定值，函数值和为定值中心对称对称中心为第四页4第五页，共10页。性质小结一个函数f(x)对于定义域内任意x都满足下列各式：f(x+a)=f(x+b)自变量差为定值，函数值相等(差为零)周期性T=|a-b|f(a+x)=f(b-x)轴对称自变量和为定值，函数值相等(差为零)f(a+x)=-

f(b-x)+c中心对称自变量和为定值，函数值和为定值第五页5第六页，共10页。知识巩固例1：⑴若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．

⑵若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．例2：请写出函数f(x)=sinx的对称轴和对称中心，并利用本节课所讲结论证明．第六页6第七页，共10页。知识巩固例3：⑴函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=-f(x)，若f(2)=3，则f(2012)=______．⑵奇函数f(x)对x∈R都有f(x+4)=

，且当x∈(0,2)时，f(x)=x，则f(2011)=_____．例4：若函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=f(2-x)，且f(x+2)=f(x)

，当x∈[2,3]时，f(x)=x2+x．⑴分别求下列区间上函数f(x)的解析式：

①[1,2]②[4,5]③[2011,2012]⑵求区间[2k,2k+2](k∈Z)上函数f(x)的解析式.第七页7第八页，共10页。课堂拓展例5：若定义域为R的函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)，f(1+x)=f(5-x)

，试判断函数f(x)是否是周期函数？思考：你可以推广得到关于周期的一般性结论吗？两对称轴：x=a、x=b

=>周期T=2|a-b|两对称中心：