2021年江西省高考文科数学模拟试卷及答案解析

2021年江西省高考文科数学模拟试卷

一.选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1.（5分）已知集合4={小-120},B={x|?Wl},则AUB=（）

A.{小》1}B.{x|x>-1}C.{x|xWl}D.{MrW-l}

2.（5分）某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24

人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，

那么抽到管理人员的人数为（）

A.3B.5C.10D.15

3.（5分）已知i是虚数单位，复数机+1+（2-%）i在复平面内对应的点在第二象限，则实

数，〃的取值范围是（）

A.（--1）B.（-1,2）

C.（2,+8）D.（…，-1）u（2,+oo）

4.（5分）在等差数列{即}中，“8>O，“4+mo<O,则数列{斯}的前〃项和％中最小的是（）

A.S4B.S5C.SeD.Si

5.（5分）设xCR,则”|x-1|<1”是“7<4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、

朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱

世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承

了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法

及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为

宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，

竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的°,匕分别

为3,1,则输出的〃=（）

第1页共18页

A.2B.3C.4D.5

sinacosa+3cos2a

7.(5分)已知sina=-2cosa,则

2sin2a-cos2a

11

A.B.一c•-;D.-

67

8.(5分)若。=(cos20°，sin20°),b=(coslO°,sin190°),则=()

1B.立

C.cosl0°DY

222

9.（5分）将函数/（x）=s讥（3x+割勺图象向右平移机（/»>0）个单位长度，再将图象上

各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若gG）为

奇函数，则〃，的最小值为（）

Ji27r7in

A.-B.—C.—D.—

991824

10.（5分）函数/（x）在[0,+8）单调递减，且为偶函数.若/（2）=-1,则满足了（x

-3）2-1的x的取值范围是（）

A.[1,5]B.[1,3]C.[3,5]D.[-2,2]

x2y2

11.（5分）设乃、也分别为双曲线C：—-^-=1（a>0,b>0）的左、右焦点，A为双

曲线的左顶点，以尸尸2为直径的圆交双曲线某条渐近线于“，N两点，且满足

120°,则该双曲线的离心率为（）

V21y/1927y/3

A.——B.——C.D.——

3333

12.（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为代,高为2,若它的两个底面圆周均在球。

第2页共18页

的球面上，则球0的表面积为()

A.---B.16TIC.8nD.47T

3

二.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)已知函数/(x)=竺苗并N+sinx,贝k(-5)4/(-4)4/(-3)■i/(-2)4/

(-1)+f(0)4/(1)4/(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值是

14.(5分)抛物线/=-8y的准线方程是,焦点坐标是.

15.(5分)数列｛劭｝满足ai=l,an(2S„-1)=2SJ(〃>2,〃€N*),则斯=.

16.(5分)已知函数/(%)=[2~aX，，若/(x)>0恒成立，则实数a的取值

(2x3-ax2+l,x>0

范围是.

三.解答题(共5小题，满分60分，每小题12分)

17.(12分)某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取

100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光

族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的

这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.

(I)完成下列2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”

与“性别”有关；

属于“追光族”属于“观望族”合计

女性员工

男性员工

合计100

(II)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追

光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.

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2

附：f/b)(黑)荔财+d)，其中〃=〃+"，+%

尸(片》团)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2a—cb

⑻(12分)设的内角A,B,C所对的边分别是m4c=—

(1)求角B的大小；

(2)设匕=g,求△ABC周长的最大值.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面是等边三角形，且平面以。_L平面

ABCD,E为P。的中点，AD//BC,CDA,AD,BC=CD=2,AD=4.

(1)求证：CE〃平面PAB；

(2)求三棱锥P-ACE的体积.

xvV3

20.(12分)已知椭圆C：—+—=1(«>Z>>0)的离心率为—，点M(a,0)>N(0,b),

a2b22

O(0,0),且△OMN的面积为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A,B是x轴上不同的两点，点4(异于坐标原点)在椭圆C内，点8在椭圆C

外.若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P,Q两点，且满足N%B+/QA8=180°.证

明：点A,8的横坐标之积为定值.

21.(12分)已知函数八x)=/n(ax)-宁缶〉。)的最小值为0.

(I)求/(x)的解析式；

(II)若函数g(X)=/(x)—有两个零点XI，X2，且X1<X2，求证：X1+X2>1.

四.解答题(共1小题，满分10分，每小题10分)

22.(10分)在平面直角坐标系My中，直线/i的参数方程为(f为参数)，直线

第4页共18页

x=-Ytl

m（山为参数）.设直线/i与/2的交点为P当人变化时点P

{y=3k

的轨迹为曲线Cl.

（I）求出曲线Ci的普通方程；

（II）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为

psin（O+勺=3或，点。为曲线Ci上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值.

五.解答题（共1小题）

23.已知函数/（x）=2-|2x-1|,g（x）=|x-a|+k+U-

（1）解不等式f（x）<1；

（2）若存在xi，X2GR,使得/（加）（刈）成立，求实数。的取值范围.

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2021年江西省高考文科数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1.（5分）已知集合A={#c-1》0},B={x[?Wl},则AUB=（）

A.B.{小2-1}C.{x|xWl}D.{小W-1}

【解答】解：；A={x|x2l},B={H-lWxWl},

：.AUB={x\x^-1）.

故选:B.

2.（5分）某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24

人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，

那么抽到管理人员的人数为（）

A.3B.5C.10D.15

【解答】解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取.

■96：40：24=12：5：3,又共抽出20人，

,管理层抽取人数为20X凳京+31=5人.

故选：B.

3.（5分）已知i是虚数单位，复数〃?+1+（2-机）i在复平面内对应的点在第二象限，则实

数m的取值范围是（）

A・（-8,-1）B.（-1,2）

C.（2,+8）D,（-8,-1）U（2,+8）

【解答】解：,・•复数次+1+（2-次）i在复平面内对应的点在第二象限，

(m+1<0

解得/nV-1.

(2—m>0

・,・实数机的取值范围是（-8,-1）.

故选：A.

4.（5分）在等差数列{斯}中，。8>0，a4+00<0,则数列{斯}的前〃项和S〃中最小的是（）

A.SAB.S5C.S6D.Si

【解答】解：等差数列{斯}中,O8>0,O4+ai0=2a7<0,

故。7<0,

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所以数列｛即｝的前〃项和Sn中最小的是57.

故选：D.

5.（5分）设x€R,贝I“|x-1|<1"是“/<4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：仇-1|<1=0«2,

-2<x<2,

（0,2）:（-2,2）,

二“k-1|<1"是"/<4”的充分不必要条件，

故选：A.

6.（5分）宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、

朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱

世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承

了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法

及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为

宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，

竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的“，。分别

为3,1,则输出的"=（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：模拟程序的运行，可得

第7页共18页

。=3,b=l,n=\

9

a—2，b=2

不满足条件执行循环体，〃=2,尸胃,b=4,

不满足条件Q<6,执行循环体，〃=3,。=整，少=8,

不满足条件执行循环体，〃=4,。=马竽，b=16,

满足条件。〈儿退出循环，输出〃的值为4.

故选：C.

,sinacosa+3cos2a

7.(5分)已知sina=-2cosa,则-----------------=(

2sin2a-cos2a

111

A.一B.一C.D.-

677

【解答】解：Vsina=-2cosa,

.sinacosa+3cos2a(-2cosa')cosa+3cos2acos2a1

2sin2a-cos2a2(-2cosa)>2-cos2a7cos2a7

故选：D.

8.(5分)若。=(cos20°,sin20°),b=(coslO°,sinl90°),则=()

1V3V2

A.B.一C.cos100D.一

222

【解答】解：a-b=cos200cosl00+sm20°sml90°

=cos20°cosl0°-sin20°sinl0°

=cos(20°+10°)

_V3

故选：B.

9.(5分)将函数/"(x)=sin(3x+斜的图象向右平移胆(加>0)个单位长度，再将图象上

各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)为

奇函数，则，〃的最小值为()

7127T7171

A.-B.—C.-D.一

991824

【解答】解：将函数/*(>)=5讥(3%+5)的图象向右平移机(m>0)个单位长度，可得y

=sin(3x-3/714-5)的图象；

O

第8页共18页

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=sin（1.r

-3m+^的图象，

o

若g（x）为奇函数，则当〃?的最小时，-3，w+卷=0,今，

故选：C.

10.（5分）函数/（x）在[0,+8）单调递减，且为偶函数.若f（2）=-1,则满足/（x

-3）2-1的x的取值范围是（）

A.[1,5]B.[1,3]C.[3,5]D.[-2,2]

【解答】解：法一：因函数/G）在[0,+8）单调递减，且为偶函数，

则函数/（X）在（-8,0）单调递增，由/（2）=/（-2）=-1,则-2Wx-3W2=l

WxW5.

法二：由/（x-3）2-1得，（=3）（2）,即“年-3|）（2）,

即-2Wx-3W2,得14W5.即x的取值范围是[1,5J,

故选：A.

X2V2

11.（5分）设尸1、尸2分别为双曲线C：—-77=1（67>0,6>0）的左、右焦点，A为双

曲线的左顶点，以Q&为直径的圆交双曲线某条渐近线于M,N两点，且满足NMAN=

120°,则该双曲线的离心率为（）

V21V1927^3

A.---B.---C.-D.---

3333

【解答】解：不妨设圆与）=9相交且点”的坐标为（A-0.如）（X0>0）,则N点的坐标

为（-x（）,-yo）f

联立为二，无0，&2+%2=得加（Q,b）,N（-a,-b）,

又A（-q,0）且NM4N=120°,所以由余弦定理得4c2=（4+〃）2+房+/-2dg+@）2+广

%cos1200,

化简得7（?=3C2,求得e=苧.

故选：A.

12.（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为百，高为2,若它的两个底面圆周均在球O

的球面上，则球。的表面积为（）

第9页共18页

C.87TD.4TT

【解答】解：根据题意，画图如下:

则OA=R,OfA=r=V3,OO1=^=1,

故在Rtz^OO'A中，0A=7OO,2+。%2=VH71=2,

:.R=2,

.♦.S球=4nR2=4n.22=i6ir.

故选：B.

填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)已知函数/(x);学普2+siar,则/(-5)4/(-4)4/(-3)4/(-2)4/

(-1)+f(0)V(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值是11

【解答】解："•'/(x)=拜、卒：2+sinx=/：］+x+sinx,

22

:・f(-x)4/(x)=.+i+%+sinx+—x—sinx,

22ex

=F+T+1+F=2,

则/(-5)4/(-4)4/(-3)4/(-2)4/(-1)4/(0)4/(1)■*/(2)+/,<3)4/(4)

+/⑸，

=5X2+1=11.

故答案为：11.

14.(5分)抛物线7=-8y的准线方程是焦点坐标是(0，-2).

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【解答】解：由抛物线/=-8y可得：2P=8,所以p=4,且焦点在y轴的负半轴上,

所以焦点(0,-身即:(0,-2),准线)，=§=2,

故答案分别为：y=2,(0,-2).

15.(5分)数列｛如｝满足“1=1,an(25„-1)=2S“2(〃》2,旅N*),则“”=

1/n=1

・-2、•

—n---------,n>2

k4n—8n+3

【解答］解：\"an(25,>-1)=2Sj("N2,，£N*),

二(S„-S„-i)(2S„-1)=2SJ,

整理得:Sn-Sn.I=-2Sn*Sn-i(〃22,〃€N"),

X±*、

/.———------=2(〃22,H£N)

Sn^n-1

1

・••数列｛『｝是以1为首项，2为公差的等差数列,

Sn

1

・・・——=1+(〃-1)X2=2n-1,

Sn

:，SK=去T

11__2

...当〃22时，an=S-S),-\=

n2九一12n-34n2-8n+3,

1,n=1

・・a=-2"

n-------,n>2

,4n—8n+3

(1,n=1

故答案为：-2

n>2

k4n2—8n+3

2—nY支V0

,'「，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值

｛2x3-ax2+1,x>0

范围是［0,3).

?r<0

'，一,显然f(x)>0恒成立;

｛27+1,%>0

当a<0时，xWO时，f(x)递增，可得f(x)W2,显然/(x)>0不恒成立；

当a>0时，xWO时，f(x)递减，可得/(x)22；

x>0时，f(x)=24-a^+l的导数为，(x)=6,-2ax=2x(3x-«),

当OVxV^a时，/(x)<0,f(x)递减；当时，f(x)>0,f(x)递增,

第11页共18页

可得/(x)在x=%处取得极小值，且为最小值—务+1,

由题意可得—务+1>0,解得0<。<3,

综上可得”的取值范围是［0,3).

故答案为：［0,3).

三.解答题(共5小题，满分60分，每小题12分)

17.(12分)某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取

100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光

族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的

这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.

(I)完成下列2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”

与“性别”有关；

属于“追光族”属于“观望族”合计

女性员工

男性员工

合计100

(II)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追

光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.

2

附：产=(a+晨端晶(b+d)，其中〃-作计乩

P(K2^ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：(I)由题意填写2X2列联表如下；

属于“追光族”属于“观望族”合计

女性员工204060

男性员工202040

合计4060100

2

由表中数据，计算K2=1叱既跣羽。)=等。2.778<3.841,

所以没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关;

第12页共18页

(II)设人事部的这6名员工3名“追光族”分别为“a、b、c”,

3名“观望族”分别为“D、E、F”；

现从这6名中随机抽取3名，所有可能事件为：

abc、abD、abE、abF、acD、acE、acF、aDE、aDF、aEF、

bcD、bcE、bcF、bDE、bDF、bEF、

cDE、cDF、cEF、OEF共20种；

其中抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的事件为：

aDE、aDF、aEF.bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF共9种；

故所求的概率为P=/.

2a—cb

18.(12分)设△ABC的内角A,B,。所对的边分别是小b,c,且-----=——.

cosCcosB

(1)求角B的大小；

(2)设匕=g,求△ABC周长的最大值.

【解答】解：(1)•.•巴1=-^.

cosCcosB

，一―一2sinA-sinCsinB

由正弦定理，边化角得：-----------=-----,即2sin4cosB-sinCcosB=sin8cosC,

cosCcosB

.\2sinAcosB=sin(B+C),

又•.♦A+B+C=IT,sin(8+C)=siM

2sinAcosB=sinA,又AE(0,n),sin/irO,

i

AcosB=2，又BC(0,IT),

・・・8=J；

(2)'：b=V3,J,

.„a2+c2-b21

♦•C°s8=2ac=2'

••a+c-3=〃c,

(o+c)2=3OC+3,

'：a>0,c>0,：.ac<

3ac2

/.(a+c)2=3ac+3<(+)+3,

A(a+c)2W12,又6=®

第13页共18页

：.y/3<a+c<2V3,

.♦.△ABC周长的最大值为28+遍=3V3.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面雨。是等边三角形，且平面％。_L平面

ABCD,E为的中点，AD//BC,CDLAD,BC=CD=2,AD=4.

(1)求证：CE〃平面PAB；

(2)求三棱锥P-ACE的体积.

【解答】解：(1)证明：如图，取附中点F,连结EF,BF,

因为E为PO中点，AO=4,所以EF〃A£>,EF^^AD=2.

又因为8C〃AO,BC=2,所以E尸〃BC,EF=BC,

所以四边形EF8C为平行四边形.所以CE//BF.

又因为CEC平面MB,BFu平面叫B,

所以CE〃平面

(2)解：连接AE,AC.由题意得VP-ACE=VC-APE,

由于COJ_AD,且平面R1£)J_平面ABC£),

平面%。。平面ABC£)=AO,可得C£)_L平面

即CD_L平面B4E,于是CQ为三棱锥C-4PE的高.

在等边三角形△力。中，E为PD中点,

于是S△心E=如阳。=2后又CD=2,

14L

故三棱锥P-ACE的体积为Vp-ACE=Vc-APE=卦△必EXCD=1V3.

第14页共18页

xy4V3

20.(12分)已知椭圆C：-+-=l(心心。)的离心率为三，点MQ,0),N(0,b),

O（0,0）,且△OMN的面积为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设A,8是x轴上不同的两点，点A(异于坐标原点)在椭圆C内，点8在椭圆C

外.若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P,Q两点，且满足180°.证

明：点A,8的横坐标之积为定值.

c_73

a~T,,

1,1,解得：/=4,廿=1,

2ab=1

{a2=b2+c2

x2

所以椭圆C的标准方程：1+)2=1；

(2)证明：作点尸关于x轴的对称点P,由椭圆的对称性可知，

点尸'在椭圆上，且/%ZQBA=ZP'BA,

因为/%B+/QAB=180°.所以/PAB+/Q4B=180°,

所以P,A,。三点共线，

由题意可得直线P,Q的方程为：x=ty+m,

设P'（xi，yi）,Q（X2,”），A（XA,0）,B（XB，0）,

装;消X可得（4+p）/+2tmy+m2-4=0,

联立直线与椭圆的方程:

2mtm2—4

则有yi+”石?,川"=石

V?

因为NQBA=NP'BA,所以在P'+%BQ=O，即一提一+%-=0,

一xr-xBx2-xB

2t（m24）2加（根一陶

所以yi（tyi+m-XB^+丁2Cty\+m-XB）—0,即=0,

4+t24+t2

解得XB=，，

4

因为XA="?,所以巾•XB=«r正=4,

第15页共18页

故点A,B横坐标之积为定值4.

(a>0)的最小值为0.

(I)求f(x)的解析式;

(II)若函数g(X)=f(X)一〃7有两个零点XI，X2，且X1〈X2，求证：X\+X2>1-

【解答】解：(/)因为穴x)="(ax)—等(a>0)=妨(ar)+^-1,x>0

c“、1ax-a

/(x)丁7=h

易得当xe(0,a)时，/(x)<0,函数单调递减，当xe(a,+~),f(x)>0,函

数单调递增,

2

故当x=a时，函数取得最小值/(a)=/na=0f

故〃=1,f(x)=lnx+^—1.

(//)由(/)可得/(x)=/HX+——If

所以g(x)=/ztr+^—1-m,

因为g(x)=f(x)一/一根有两个零点XI，X2，且无1<12,

11

所以0=btxi+5----