福建省厦门市杏南中学高三上学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省厦门市杏南中学高三（上)期中数学试卷(理科）一、选择题(每题5分,共60分)1．设集合S=｛x｜x＞﹣2｝，T=｛x｜x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS)∪T=（）A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．(﹣∞，1］ D．[1，+∞）2．若，，且，则tanα=（）A．2 B． C．﹣2 D．3．已知f（x）是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为［0，1］上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件4．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则｜OM｜=（）A． B． C．4 D．6．设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．37．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足,B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2,AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(）A． B． C． D．18．将函数y=cos2x+sin2x（x∈R)的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为(）A． B． C． D．π9．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面10．椭圆(a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B,左、右焦点分别是F1，F2．若｜AF1|,|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．11．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′(x），且函数y=（1﹣x)f′(x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（)A．函数f(x）有极大值f(2)和极小值f（1)B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1)C．函数f（x）有极大值f(2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x)有极大值f（﹣2）和极小值f（2）12．函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于（)A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题（每题5分,共20分）13．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为．14．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．15．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上,AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3,AD=3，则BD的长为．16．设函数f（x)=x｜x｜+bx+c，给出下列命题:①b=0，c＞0时，方程f(x）=0只有一个实数根；②c=0时，y=f(x）是奇函数;③方程f(x）=0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b=6,=4，求c的值．18．设抛物线C:y2=4x，F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为1,求|AB｜的大小;（2）求证：是一个定值．19．已知函数f（x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π),其图象过点(，）．（Ⅰ）求φ的值;（Ⅱ）将函数y=f（x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g(x）在[0，］上的最大值和最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．(1）求证：BD⊥平面PAC;（2)若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的大小．21．如图，设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程;（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2,求直线l的方程．22．已知函数f(x)=ex(x∈R)．（1）证明:曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点；（2）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．

2016-2017学年福建省厦门市杏南中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共60分）1．设集合S={x｜x＞﹣2｝,T=｛x｜x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（）A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1,+∞)【考点】交、并、补集的混合运算;全集及其运算．【分析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁RS，再利用并集的定义求出结果．【解答】解:∵集合S={x｜x＞﹣2}，∴∁RS={x｜x≤﹣2｝，T=｛x｜x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，故（∁RS)∪T={x｜x≤1}故选C．2．若，,且,则tanα=（）A．2 B． C．﹣2 D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵，∴sinα=2cosα，cosα≠0．则tanα=2．故选：A．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为［0，1]上的增函数"是“f（x)为［3，4］上的减函数”的（）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x)为［﹣1,0］上是减函数，再由函数的周期性即可得出f(x）为[3，4］上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4］上的减函数结合周期性即可得出f(x）为［﹣1，0]上是减函数,再由函数是偶函数即可得出f（x）为［0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为［0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0］上是减函数,又∵f（x)是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与［﹣1，0］相差两个周期，∴两区间上的单调性一致,所以可以得出f（x)为[3，4]上的减函数,故充分性成立．若f(x）为［3，4］上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x)为[0，1]上的增函数,故必要性成立．综上,“f（x）为[0,1］上的增函数”是“f（x）为［3，4］上的减函数”的充要条件．故选C．4．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】二倍角的余弦;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知:tanθ=2，所以cos2θ===,则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2,y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则｜OM|=（）A． B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0)∵点M（2,y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2,y0）∴∴|OM|=故选B．6．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB｜为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0）,由题设知，,由此能够推导出C的离心率．【解答】解:不妨设双曲线C:，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0,由题设知，,∴，b2=2a2,c2﹣a2=2a2,c2=3a2，∴e=．故选B．7．已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足,若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A． B． C． D．1【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】画出图形，由题意通过等体积法,求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=,BC=由VB﹣ACD=VD﹣ABC可知所以，h=故选C．8．将函数y=cos2x+sin2x(x∈R)的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为(）A． B． C． D．π【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】由两角和的正弦化简y=cos2x+sin2x，平移后由函数为偶函数得到2m+=k，由此可求最小正数m的值．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x==2sin（2x+）,∴将函数y=cos2x+sin2x（x∈R)的图象向左平移m（m＞0)个长度单位后，所得到的图象对应的函数解析式为．∵所得到的图象关于y轴对称,∴为偶函数．即2m+=k,m=．当k=0时，m的最小值为．故选：A．9．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点,推出EF∥A1C1；分析可得答案．【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直;又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．10．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1｜，|F1F2|，｜F1B｜成等比数列，则此椭圆的离心率为(）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．【分析】由题意可得，｜AF1｜=a﹣c，|F1F2｜=2c，｜F1B｜=a+c，由|AF1|，｜F1F2|，｜F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，｜AF1|=a﹣c，｜F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵｜AF1｜,｜F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．11．设函数f（x）在R上可导,其导函数为f′（x）,且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1)B．函数f（x）有极大值f(﹣2）和极小值f（1）C．函数f(x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2)D．函数f(x）有极大值f（﹣2)和极小值f（2）【考点】函数在某点取得极值的条件;函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时,左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2)=0,f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′(x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2)．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f(x）有极小值f（2）．故选D．12．函数y=的图象与函数y=2sinπx,（﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于（)A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列与函数的综合;数列的求和．【分析】函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1,0)，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1,0），作出两个函数的图象,如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1,4）上出现1。5个周期的图象，在（1，）和(，）上是减函数；在(，）和（，4)上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在(﹣2,1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0即(x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．【解答】解：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0,0），N（0,2，1），M(0，1，0），A1(2，0，2)，=(0，2,1）,=(﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．15．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=,AB=3,AD=3，则BD的长为．【考点】余弦定理．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解:∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为:16．设函数f(x）=x|x｜+bx+c，给出下列命题：①b=0，c＞0时,方程f(x）=0只有一个实数根;②c=0时，y=f（x）是奇函数；③方程f(x)=0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为①②．【考点】函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，依次分析三个命题，①b=0，c＞0时，f（x)=x｜x｜+c=，如图①，结合图形作答．②c=0时，f（x）=x｜x|+bx，显然是奇函数，③当c=0,b＜0时,如图②，f（x）=x｜x｜+bx=，结合图形作答．【解答】解：①b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，如图①，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f（x)=0只有一个实数根，正确．②c=0时，f（x)=x｜x|+bx，显然是奇函数．③当c=0，b＜0时,如图②，f(x）=x|x|+bx=，方程f（x）=0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b=6，=4，求c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1）根据正弦定理得到一个关系式，然后与已知条件联立即可求出tanC的值，根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出C的度数;（2）由（1）中C的度数,求出cosC的值,然后利用平面向量的数量积的运算法则化简=4，即可求出ab的值,利用余弦定理得到一个关系式，再由a+b的值和求出的ab代入关系式即可求出c的值．【解答】解:(1）因为=，,所以sinC=cosC，即tanC=,由C∈（0，π）,得到C=；（2)由（1）得：cosC=cos=则=｜|•|｜cosC=ab，又=4，所以ab=8,又因为a+b=﹣6，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b）2﹣3ab=12,由c＞0，解得c=2．18．设抛物线C：y2=4x,F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．(1)设L的斜率为1，求｜AB|的大小；（2）求证：是一个定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；(2)把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；【解答】(1）解:∵直线L的斜率为1且过点F（1,0）,∴直线L的方程为y=x﹣1,设A（x1,y1），B（x2，y2），联立消去y得x2﹣6x+1=0，△＞0,∴x1+x2=6，x1x2=1．∴|AB｜=x1+x2+p=8．（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1,联立消去x得y2﹣4ky﹣4=0．△＞0，∴y1+y2=4k，y1y2=﹣4，设A=（x1，y1)，B=（x2，y2），则，．∴=x1x2+y1y2=（ky1+1)（ky2+1）+y1y2=k2y1y2+k（y1+y2)+1+y1y2=﹣4k2+4k2+1﹣4=﹣3．∴=﹣3是一个定值．19．已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ)（0＜φ＜π），其图象过点（，)．（Ⅰ）求φ的值；(Ⅱ）将函数y=f(x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x)的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．【分析】（I)由已知中函数f（x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，)．我们将（,）代入函数的解析式,结合φ的取值范围,我们易示出φ的值．（II）由（1)的结论，我们可以求出y=f（x)，结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值．【解答】解：（I)∵函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin(+φ)（0＜φ＜π），又因为其图象过点（，）．∴φ﹣解得:φ=(II）由(1）得φ=，∴f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）=∴∵x∈[0,]∴4x+∈∴当4x+=时,g(x）取最大值；当4x+=时，g（x)取最小值﹣．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1)证明PA⊥BD．PC⊥BD．然后证明BD⊥平面PAC．(2)解法一：设AC,BD的交点为O，过点O作OF⊥PC于点F,连BF，说明∠BFO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，在Rt△BFO中，即可求解二面角B﹣PC﹣A的大小．解法二:分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出相关点的坐标，求出平面PBC的一个法向量，平面PAC的一个法向量．利用向量的数量积求解二面角B﹣PC﹣A的大小．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD．又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．…6分解：（2)解法一：设AC，BD的交点为O，过点O作OF⊥PC于点F,连BF，易证∠BFO为二面角B﹣PC﹣A的平面角…9分由（1）知BO⊥AC∴ABCD为正方形∴AB=2，在Rt△BFO中,，∴tan∠BFO=3，cos∠BFO===∴二面角B﹣PC﹣A的大小为arccos…14分解法二：分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．由(1）知BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．故矩形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=2．∴A(0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）,D（0,2，0），P(0,0，1），∴．设平面PBC的一个法向量为，则，即，∴,取x=1，得．∵BD⊥平面PAC，∴为平面PAC的一个法向量．所以．设二面角B﹣PC﹣A的平面角为α，由图知，则,∴二面角B﹣PC﹣A的大小为…14分．21．如图,设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上,上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1,OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点,使PB2⊥QB2，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程;椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2(c，0），利用△AB1B2是的直角三角形,｜AB1｜=AB