华师版数学九年级上册 24.3 锐角三角函数

第24章解直角三角形24.3

锐角三角函数第1课时

锐角三角函数华师版数学九年级上册1.

在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AB

=

10，BC

=

6，

AC

=

______.2.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠A

=

30°，

AB

=

10

cm，则

BC

=

cm，理由是回顾与思考8530°所对直角边是斜边的一半

.任意画Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．能解释一下吗？ABCA'B'C'锐角三角函数定义及三角函数之间的关系探究归纳

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角

A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值．ABCA'B'C'

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作

sinA

，

即ABCcab对边斜边在图中，∠A的对边记作

a，∠B的对边记作

b，∠C的对边记作

c归纳例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？B对边

aAC邻边

b斜边

c探究归纳任意画Rt△ABC

和

Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么

与

有什么关系？你能试着分析一下吗？ABCA'B'C'探究归纳

这就是说，在直角三角形中，当锐角

A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'ABCA'B'C'

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即归纳ABCcab对边斜边在图中，∠A的对边记作

a，∠B的对边记作

b，∠C的对边记作

c如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦注意：1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？探究归纳如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，问：有什么关系？ACBCA′C′B′C′与ABCA'B'C'∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tan），记作

tanA

，

即ABCcab对边斜边在图中，∠A的对边记作

a，∠B的对边记作

b，∠C的对边记作

c归纳一个角的正切表示定值、比值、正值.ABC┌思考：锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？

对于锐角∠A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.答：可以等于

1，此时为等腰直角三角形；也可以大于

1.延伸1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段的比求得.DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因为∠B=∠ACD，所以求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵

，又∵ABC6103.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵

，ABC∴设

AC=15k，则

AB=17k.∴.4.填空：下图中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为

D.ABCD(1)tanA==AC()CD(

)(2)

tanB==BC()CD()

BCADBDAC5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：在Rt△ABC中定义中应该注意的几个问题：1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA

、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.第24章解直角三角形24.3

锐角三角函数第2课时

特殊角的三角函数值华师版数学九年级上册1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，cos

A

=，BC=8，则

AB

=____，AC

=____，sin

B

=

，△ABC

的周长是____.2.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

45°，则∠A

=_____，设

AB

=

k，则

AC=____，BC=____，sin

B

=sin

45°=____，cos

B=

cos

45°=____，tan

B

=tan

45°=____.回顾与思考1062445°1____两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．特殊角的三角函数30°60°45°45°设30°所对的直角边长为

a，那么斜边长为2a，另一条直角边长=∴30°60°∴30°60°设两条直角边长为a，则斜边长=∴45°45°30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana归纳1特殊三角函数值的运用1.求下列各式的值：提示：cos260°

表示(cos

60°)2，即(cos

60°)×(cos

60°).解：cos260°

+sin260°(1)cos260°

+sin260°；(2)解：2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了.10m30°1.65m？)你想知道小明怎样算出的吗？1.如图，在

△ABC中，∠A=30°，求

AB.ABCD解：过点

C作

CD⊥AB于点

D，∠A=30°，2.求下列各式的值：（1）1－2sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）解：（1）1－2sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A、∠B的度数．BAC解：由勾股定理知∴∠A=30°，∠B=90°－∠

A=90°－30°=60°.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角α三角函数30°45°60°sinαcosαtanα第24章解直角三角形24.3

锐角三角函数第3课时

用计算器求锐角三角函数值华师版数学九年级上册1.同学们，前面我们学习了特殊角

30°、45°、60°

的三角函数值，一些非特殊角(如17°、56°、89°

等)的三角函数值又怎么求呢？回顾与思考2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°(如图所示)，若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆

AB

的高度吗？DABE1.6m20m42°C)这里的tan42°是多少呢？用计算器求锐角三角函数值1.求sin18°．第一步：按计算器键，sin第二步：输入角度值

18，屏幕显示结果

sin18°=0.309016994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.第二种方法：第一步：按计算器键，tan第二步：输入角度值

30.6

（因为30°36'＝30.6°）屏幕显示答案：0.591398351.第二种方法：求tan30°36'.

如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．根据三角函数值求锐角度数

已知sinA=0.5086，用计算器求锐角

A可以按照下面方法操作：还可以再按键

键，进一步得到∠A＝30°34'14".第一步：按计算器(sin-1)键，SHIFTsin第二步：然后输入函数值

0.5086屏幕显示答案：30.57062136°

°＇″操作演示1．用计算器求下列锐角三角函数值；（1）sin20°=，cos70°=；（2）tan3°8'=，tan80°25'43″=.sin35°=，cos55°=；sin15°32'=，cos74°28'=.分析第1（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？拓广探索0.26785.9300.26780.34200.34200.57350.57350.0547正弦值随着

α角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着

α角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着

α