基本不等式 课件

2.2基本不等式【素养目标】1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)会标2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有哪些几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（1）大正方形边长为___________，

面积S为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S与S’的大小关系是_________，故有_______思考3：S与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？ADCBHFGEABCDE(FGH)aba=b时，S与S’能相等重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.当且仅当a=b时，等号成立。替换后得到：即：即：当且仅当a=b时,等号成立.定理

基本不等式均值不等式定理

基本不等式均值不等式

一般地，对于任意实数a,b>0，我们有，当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式：a,b的算术平均数a,b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.公式定理基本不等式均值不等式

变形式证明:例

已知a,b,c都是整数，求证：当且仅当a=b时，等号成立；当且仅当b=c时，等号成立；当且仅当c=a时，等号成立；当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立.定理基本不等式均值不等式基本不等式

基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？基本不等式的前提条件

方法总结核心素养之

逻辑推理+数学建模

问题分析

基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件.

方法总结核心素养之

逻辑推理+数学运算问题分析

不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整体观察化归；

也可以先两边平方或开方，再用基本不等式.3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？方法总结核心素养之

数学抽象+数学建模

问题分析

目标函数中出现两个正变量的和，则依据基本不等式可得其最小值，最后要确认取等条件成立.

目标检测只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需证

，而

显然成立，已知a，b∈R，求证

1证明：要证明

，只需证明

，

目标检测（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．当且仅当

，即

时，等号成立．所以

的最小值为

，这时

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，目标检测由当且仅当1－x＝x，即

时取等号．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

目标检测（1）

；

（2）

．又由于x≠y，所以等号取不到．∴

，∴．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：3证明：（1）∵x，y都是正数，

目标检测又由于x≠y，所以等号取不到．∴，∴．两边同乘

，得

．（1）

；

（2）

．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：3证明：（2）∵x，y都是正数，

目标检测当两条直角边的长度各为10cm时，两条直角边的和最小，最小值为20．则由已知得＝50，即ab＝100，∵

，当且仅当a＝b＝10时取等号．已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？4解：设直角三角形两边为a，b，1课堂小结1、利用基本不等式求最值时，要注意2、已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y