2024届广东省信宜市高三上学期摸底数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2024届广东省信宜市高三上学期摸底数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.【详解】由，得，得即，则故选：A.2．已知复数满足：（i为虚数单位），则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】通过复数除法得，利用复数模的定义即可得到答案.【详解】，故.故选：C.3．已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据对应的范围判断逻辑关系即可.【详解】α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，则α是β的必要不充分条件，故选：B．4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数图象的变换求解即可.【详解】由三角函数的图象变换，把函数的图象上所有的点向左平移3个单位长度，可得，再向下平移2个单位长度可得.故选：C5．在中，点为边的中点．记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D为边的中点，所以，.故选：D.6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.7．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线与圆的位置关系解三角形即可.【详解】

如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得,由，即，所以.故选：C8．已知，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由二倍角余弦公式和两角差的正弦公式化简得到，再利用基本关系式求解.【详解】解：因为，且，所以，化简得，两边平方化简得，所以，即，则，两式联立求得，所以，故选：A二、多选题9．已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【分析】利用线线、线面的平行关系，以及线线、线面的垂直关系，即可求解.【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，对于B,，假设，，又，故，则，故B对,对于C,因为，，又，则，故C对,对于D,直线可以与平面平行，故D错.故选：BC.10．有一组样本数据，已知，，则该组数据的（

）A．平均数为2 B．中位数为2 C．方差为2 D．标准差为2【答案】AC【分析】结合题设中的数据，根据平均数、中位数和方差的定义和计算方法，即可求解.【详解】由题意知，样本数据，且，，数据的平均数为，所以A正确；根据中位数的定义，数据的中位数为中间的数据，所以不确定，所以B不正确.数据的方差为，所以C正确；标准差为，所以D错误；故选：AC.11．已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示两条平行线，则B．若曲线表示双曲线，则C．若，则曲线表示椭圆D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆【答案】BD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；对于D选项，若，则，则，曲线的方程可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.故选：BD.12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递增C．在上恰有三个零点 D．的最大值为2【答案】AD【分析】由的奇偶性与对称性作出图象，再由分段讨论，对选项逐一判断．【详解】易知函数的定义域为，且，所以为偶函数．故A正确，因为，所以的图象关于直线对称，则，，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当时，，当时，，单调递减B错误．在上零点的个数等价于在上零点的个数，而在上有无数个零点，故C错误．当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，故D正确．故选：AD三、填空题13．已知函数则.【答案】2【分析】先求内层函数值，再求外层函数值即可【详解】因为，所以，所以.故答案为：214．写出一个定义域为，既是减函数又是奇函数的函数．【答案】（答案不唯一，其它答案正确也可）【分析】按照函数单调性定义，奇偶性定义可判断函数是上的减函数且为奇函数.【详解】对于函数，任取，均属于，且，，由，所以，即，所以函数是上的减函数，又，所以函数是上的奇函数，函数是上的减函数且为奇函数.故答案为：.（答案不唯一，其它答案正确也可以）15．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】24【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数.【详解】的展开式通项公式为，令，得，故的系数为24.故答案为：24.16．若存在实数使得，则的值为.【答案】/【分析】由已知得，令，利用导数可得，再根据等号成立的条件可得答案.【详解】由已知得，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，可得，所以，即，当且仅当即等号成立，此时的值为.故答案为：.四、解答题17．在△中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论．试题解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得【解析】正弦定理；余弦定理．【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口．18．已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为.求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.【详解】（1）由题可得，故.（2）且，则于是.19．如图，已知等腰直角三角形，其中，.点､分别是､的中点，现将沿着边折起到位置，使，连接､.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明，一般先证明线面垂直即找到一个平面包含其中一条直线而另一条直线与此平面垂直，即可证明线线垂直；（2）取的中点，连接､.∵，∴.根据题意可证明平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.再结合解三角形的知识求出答案即可.【详解】（1）∵点､分别是､的中点，∴，.又∵，沿着边折起到位置，∴.∴.∴，∵，，∴平面.∵平面，∴.（2）取的中点，连接､.∵，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在中，，在中，，.∴二面角的平面角的余弦值是.20．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．

(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072【答案】(1)填表见解析，有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得出A学科良好的人数，进而即可得出2×2列联表.根据公式计算得出的值，比较即可根据独立性检验得出答案；（2）根据（1）得出AB学科均良好的概率，可知.然后计算得出取不同值的概率，列出分布列，根据期望公式即可得出答案.【详解】（1）由直方图可得A学科良好的人数为，所以2×2列联表如下：B学科良好B学科不够良好合计A学科良好403070A学科不够良好102030合计5050100假设：A学科良好与B学科良好无关，，所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．（2）AB学科均良好的概率，X的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列为X0123P因为，所以．21．已知函数，．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数可判断函数在区间上的单调性，可求出值域；（2）将代入不等式，分离参数，得在上恒成立，令，利用导数求出在上的最大值即可得解.【详解】（1）当时，，，定义域为，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在时，取到最小值，，而，，，，因此函数值域为.（2）由，得，即在上恒成立，设，，则，∵，∴，，∴当时，，即函数在上单调递减，∴当时，，因此，即的取值范围是．22．已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据抛物线定义可求解；（2）设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.【详解】（1）抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，∴，抛物线的方程为.（2）方法一：如图设三个顶