用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1第一章《空间向量与立体几何》用向量求平面与平面的夹角1.能用向量法解决平面与平面的夹角问题，并能描述解决这类问题的程序。2.体会向量法在研究空间角的问题中的作用。一、学习目标数据分析：通过研究图形特征，整理、分析数据，理解解决此类问题的方法。数学抽象：能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言进行表达，

能够感悟通性通法的数学原理。数学建模：通过几何模型，体会其蕴含的数学思想。数学运算：在平面与平面夹角的求解过程中需要一定的计算能力和计算技巧。逻辑推理：发现图形的关系，选择合适的论证方法予以证明。直观想象：通过图形直观认识数学问题；能够用图形描述和表达熟悉的数学

问题，启迪解决这些问题的思路，体现数形结合。二、核心素养平面与平面的夹角问题在高考中占有重要地位，在全国新高考卷、全国卷和各省市高考试题中年年考，是高考的高频考点，2023年新高考Ⅰ卷18题，2023年新高考Ⅱ卷20题；2022年新高考Ⅰ卷19题，2023年新高考Ⅱ卷20题；2021年新高考Ⅰ卷20题，2021年新高考Ⅱ卷19题都有考查。三、近几年高考试题考查情况四、基础知识回顾1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。四、基础知识回顾2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是四、基础知识回顾3.平面与平面的夹角

如图，平面

与平面

相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于

的二面角称为平面

与平面

的夹角。

类似于两条异面直线所形成的夹角，若平面

与平面

的法向量分别为

，则平面

与平面

的夹角即为

的夹角或其补角。

设平面

与平面

的夹角为

则：

（课本39页例10）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱E是PC的中

点，作

交PB于点E。(1)、求证PA//平面EDB；(2)、求证

；(3)、求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.分析：本题设计的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题.DPBCAFE五、回归教材、能力提升

解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为

，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.(1)证明：连接AC，交BD于点G，连接EG.依题意得

因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为

且

所以.而五、回归教材、能力提升DPBCAFExzy五、回归教材、能力提升（2）证明：依题意可得

又,故

所以,由已知

DPBCAFExzy五、回归教材、能力提升DPBCAFExzy（3）解：已知

，由（2）可知

是平面CPB与平面PBD的夹角.

由(2)可知点F的坐标为

，因为

设

所以

五、回归教材、能力提升所以

即平面CPB与平面PBD的夹角大小为

DPBCAFExzy例、（石家庄市2023届高三质量检测（二））

如图(1).在平行四边形ABCD中，,,将

沿BD折起，使得点A到达点P处，如图（2）所示。

(1).若

，求证：(2).若

，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.(1)证明：

因为平行四边形ABCD中，

，可得

又

又

六、构建模型、解决问题(2).解：方法一：由

，建立如图所示的空间直角坐标系

，设

（其中

）

解得

设平面

的法向量为

，平面

的法向量为

令

，则

六、构建模型、解决问题所以平面

的一个法向量为同理

，令

，则所以平面

的一个法向量为设平面

与平面

的夹角为所以平面

与平面

夹角的余弦值为

六、构建模型、解决问题(2).解：方法二：如图,过点D做

由题意可知，

又

取DF中点O，连接PO,由PF=PD得

过O点作OM垂直于DF，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题可得

六、构建模型、解决问题设平面PBC的法向量为

，平面PDC的法向量为

故平面PBC的一个法向量为

同理

故平面PBC的一个法向量为

设平面PDC与平面PBC的夹角为

，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为

六、构建模型、解决问题方法三：如图所示，过点

作

交

于点

，过点

作

交

于点

，则

的夹角或其补角即为两个平面的夹角

中，由

可得同理，在

中，

，可得而即所以所以平面

与平面

夹角的余弦值为

六、构建模型、解决问题ABCD解所以平面

与平面

的夹角为七、巩固提升（课本41页练习1）如图，二面角

的棱上有两个点A，B线段BD与AC分别在这

个二面角的两个面内，并且都垂直于棱

若