【新教材】高中数学人教B版必修第二册学案6.1.3　向量的减法Word版含解析【高考】

6.1.3向量的减法素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解向量的相反向量．2．理解向量差的定义，向量加法与向量减法的关系．3．掌握向量减法的三角形法则．1.通过相反向量、向量的差，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养．2．通过学习向量减法法则及其应用，培养学生的直观想象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点相反向量定义：如果两个向量大小__相等__，方向__相反__，那么称这两个向量是相反向量．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝__0__．(2)若a，b互为相反向量，则a＝__－b__，a＋b＝0．(3)__零向量__的相反向量仍是零向量．思考：有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等．知识点向量的减法(1)定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足__b＋x__＝a,则称x为向量a，b的差，记作x＝a－B．(2)作法：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝__eq\o(BA,\s\up6(→))__，如图所示．a－b可以表示为从向量__b__的终点指向向量__a__的终点的向量．(3)向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则．(4)a－b＝a＋(－b)．思考：(1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：(1)求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量．(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，就可以把减法转化为加法．关键能力·攻重难题型探究题型向量的减法┃┃典例剖析__■典例1(1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(FD,\s\up6(→)) B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))(2)如图，已知向量a，b，c，求作a－b－C．[解析](1)由题意可知eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))．(2)如图，以A为起点分别作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．连接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以点C为起点作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝C．连接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).则向量eq\o(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－C．规律方法：1.作两向量的差的步骤eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起点)↓eq\x(连)—eq\x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)2．求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．┃┃对点训练__■1．下列计算正确的是(B)A．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]根据向量减法的三角形法则，有eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))．题型向量的加减法运算┃┃典例剖析__■典例2化简eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得(D)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0[解析](1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．规律方法：向量减法运算的常用方法常用方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x(可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算),\x(运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点),\x(引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一)))┃┃对点训练__■2．化简下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))．[解析](1)方法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．方法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→))．(2)方法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．方法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．题型向量加减运算几何意义的应用┃┃典例剖析__■典例3(1)已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为__4__．(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．[解析]如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋C．规律方法：1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2．利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量．(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算．(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．┃┃对点训练__■3．(1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为__平行四边形__．(2)如图所示，解答下列各题：①用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；②用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；③用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；④用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→))．[解析](1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)①eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up