函数的定义域

函数定义域的求法(1)实质:求函数的定义域,其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组求其解集的过程.函数的定义域问题(2)准则:①分式中分母不为零;②偶次根式中被开方数非负;③整式中定义域为实数集R;④由实际问题确定的函数,其定义域受实际问题的约束.

在求函数定义域之前，不能对函数解析式进行变形，否则可能引起函数定义域的变化.【例1】(2011·九江高一检测)函数的定义域是()(A)［2，3) (B)(3,+∞)(C)［2,3)∪(3,+∞) (D)(2,3)∪(3,+∞)【审题指导】此类问题应充分观察所给函数解析式的结构，使各个式子同时有意义，列不等式或不等式组求解定义域.【规范解答】选C.要使函数式有意义，必须有即x≥2且x≠3.从而所求函数的定义域为［2,3)∪(3,+∞).【变式训练】求函数的定义域.【解析】要使函数式有意义，需满足解得x≤1且x≠-1,即函数的定义域是{x|x≤1且x≠-1}. 【误区警示】本题易将函数式化为f(x)=而错误地得出定义域为{x|x≤1}.

求函数值域的方法及注意事项(1)求函数值域的常用方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；函数求值及值域问题③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.(2)求值域时的注意事项：①求值域时一定要注意定义域的影响，如函数y=x2-2x+3的值域与函数y=x2-2x+3，x∈［0,3)的值域是不同的.②在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化.【例2】(2011·福建高一检测)已知函数f(x)=(1)求f(2)；(2)求函数f(x)的值域.【审题指导】形如f(x)=的函数在求值域时，一般利用分离常数的方法，即在分式的分子上构造出分母的形式以便分离出常数来求值域.【规范解答】(1)f(2)=(2)f(x)==又≠0,∴≠1,∴f(x)≠1,即函数值域是(-∞，1)∪(1，+∞).【变式训练】求函数f(x)=的值域. 【解题提示】采用分离常数的方法求值域.【解析】f(x)=由1+x2≥1，得0＜≤2,∴-1＜-1≤1,即f(x)∈(-1,1］,所以所求函数的值域为(-1,1］.【例】求函数f(x)=的值域.【审题指导】形如f(x)=ax±的函数求值域时常用换元法求解.【规范解答】设=t(t≥0),得x=(t≥0),∴y=≤(t≥0)，∴y∈(-∞,］.【变式备选】求函数y=的值域.【解析】显然≥0，∴-≤0，∴y=1-≤1，即函数y=1-的值域是(-∞,1］.【典例】(12分)已知函数y=f(x)的定义域是［1,2］，求函数y=f(x+1)的定义域.【审题指导】f(x+1)可看作是函数y=f(x)在自变量取“x+1”时的函数值，而函数y=f(x)的自变量x∈［1,2］，因而x+1∈［1,2］，由此可求出函数的定义域，并且可以发现两式中的x是不一样的.【规范解答】∵y=f(x)的定义域为［1,2］，…………2分∴在y=f(x+1)中x+1∈［1,2］，………6分即1≤x+1≤2，……………8分解得0≤x≤1，……………10分∴函数y=f(x+1)的定义域是［0,1］.…12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】若函数y=f(x+1)的定义域是［1,3］,求函数y=f(x)的定义域.【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域是［1,3］，即1≤x≤3，∴2≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是［2,4］.1.函数f(x)=的定义域是()(A)R (B)(-∞,0)(C)(0,+∞) (D)(-∞,0)∪(0,+∞)【解析】选D.由函数式可知x≠0，故定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知f(x)=，则f(3)=()(A)2

(B)4

(C)±2

(D)10【解析】选A.f(3)==2.3.函数f(x)=x+1，x∈{-1,1,2}的值域是()(A)0,2,3 (B)0≤y≤3(C){0,2,3} (D)［1,3］【解析】选C.当x=-1时，y=0；当x=1时,y=2；当x=2时，y=3,故值域是{0，2，3}.4.函数f(x)=的定义域是______,值域是______.【解析】由x-2≥0且2-x≥0得x=2，即函数的定义域是{2};又f(2)=0，即值域是{0}.答案：{2}{0}5.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2)；(2)若f(x)=5，求x的值.【解析】(1)f(2)=22+2-1=5.(2)∵x2+x-1=5，∴x=2或-3.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2011·上虞高一检测)若函数g(x+2)=2x+3，则g(3)的值是()(A)9(B)7(C)5(D)3【解析】选C.g(3)=g(1+2)=2×1+3=5.2.函数f(x)=的定义域为()(A)(-2，)(B)(-2，+∞)(C)(-2，)∪(，+∞)(D)(，+∞)【解析】选C.要使函数式有意义，必有x-≠0且x+2＞0，即x＞-2且x≠.3.二次函数y=x2-4x+3在区间(1，4］上的值域是()(A)［-1，+∞)(B)(0，3］(C)［-1，3］(D)(-1，3)【解题提示】利用二次函数的图象结合其性质来解决.【解析】选C.y=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1，再结合二次函数的图象可知，-1≤y≤3.4.若函数y=f(x)的定义域是［0,2］,则函数g(x)=的定义域是()(A)［0,1］(B)［0,1)(C)［0,1)∪(1,4］(D)(0,1)【解析】选B.∵y=f(x)的定义域是［0,2］,故f(2x)中,0≤2x≤2,即0≤x≤1,又x-1≠0,∴x≠1,∴0≤x＜1.二、填空题(每小题4分，共8分)5.函数f(x)=x2-2x+5定义域为A,值域为B,则集合A与B的关系是________.【解析】显然二次函数的定义域为A=R，又f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4，∴B=［4,+∞),∴AB.答案：AB6.(2011·开原高一检测)下表表示y是x的函数，则函数的值域是___________.

【解析】结合表格可知，y∈{2,3,4,5}.答案:{2,3,4,5}三、解答题(每小题8分，共16分)7.(2011·云浮高一检测)已知函数f(x)=,(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.【解析】(1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0,∴x≥-4且x≠1,即函数f(x)的定义域为［-4,1)∪(1,+∞).(2)8.求下列函数的值域.(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};(2)y=+1;(3)y=;【解析】(1)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)因为函数的定义域为{x|x≥0},∴≥0,∴+1≥1.所以函数y=+1的值域为［1,+∞).(3)∵y==1-,且定义域为{x|x≠-1},∴≠0,即y≠1.所以函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}.【方法技巧】求函数值域的方法技巧求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应关系以后,值域就完全确定了,但求值域还是要特别注意方法,常用的方法有:观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域;判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些“分式”函数等;此外,使用此法要特别注意自变量的取值范围;换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述方法外,还有最值法、数形结合法等.总之,求函数的值域关键是重视对应关系的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.【挑战能力】(10分)已知函数y=(a＜0且a为常数)在区间(-∞,1］上有意义