多面体的外接球问题 论文

多面体的外接球问题摘要：与多面体的外接球有关的问题是近几年的热点问题，也是难点问题。本文首先介绍不同类型多面体外接球半径的求法，最后探讨多面体存在外接球的充分条件。关键词：多面体，外接球，解法，存在条件一、外接球半径的求法1.单截面法有些多面体比较简单，只需要一个截面就可以解决问题，称之为单截面法。C（1）侧棱垂直于截面的棱锥（棱柱） SC例辽宁）S、A、B、C在球O的表面上，SA^平面A BABC，AB^BC，SA=AB=1，BC=

2。则球O的表面积为＿＿。课标）三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积是＿＿。SA^平面ABCABCABC的 SM外接圆圆心为。QAB^BC，\为AC的中点,，\= OBAB1AC=2

32QSA^平面ABC，^平面ABC\

∥SACSA的中点M,设球O的半径为ROS=R得OM^SA，\是矩形，\1 12 2=MA=2SA=2\

R2=

+

=1,\S球=4pR2=。1（2）根据侧棱垂直于底面，以底面ABC为截面截球，设三棱柱 A11B1OA CBABC-的外接球球心为O，半径为R，△ABC的外接圆圆心为，半径为 a =r

3a 1 12sin60o 1 3

^ ABC2

a 2 22 \R272a

得= 7pa2

平面 得= = ， =

+=12 ,\S球=4pR2=3 。有一条侧棱l垂直于底面aaO就可以了。若球O的半径为Rl的长记为la的外接1 1l22圆半径为，则的长一定为2l，有如下恒等式：R2=4

1。该解法适合有外（2）侧棱相等的棱锥例大纲）正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为＿＿。2020S-

ABC中，SB=SA=AB=BC=AC,SC=26,则三棱锥S-

ABC外接球的表面积是（ ）A3B3C9D9POD1解：（1）如图，以底面ABCD为截面截球，设球心为O，半径为R，截面ABCD的外心为POD1C212，则为对角线AC、BD=2

AC= ，A BQ=4，PO=R，\=4-R,\

R2=OO2

+r2=112 2 911

2 R)

2),\R= ,\S球=4pR= . AO144AB的中点DSABO144△ABCSD^AB，CD^AB，则2B S2SD=CD=

4´3=23。则2

SD2=6)=CSC2ÐSDC=90o。设球心为O,△ABC和△SAB的中心分别为E,F.由球的性质可知：OE^平面ABC，OF^平面SAB，又DE=CDF=OE=OF=4´3´1=23OD=

OE22=26。2 3 3 3所以外接球半径为R==S=4pR2 .=

OD2+BD2=

60.所以外接球的表面积为33另解：如图，根据三棱锥三条侧棱AB、AC、AS相等，以△BCS为截面截球。在△BCS中，cosÐCBS=1,sinÐCBS=15。作^

平面BCS于O1，4 4由AB=AC=AS得O1为△BCS点外心,设△BCS的外接圆410415410415半径为,球的半径为R=

sinÐCBS

得=252

o=

AB-= .52又球心O在上，R2=2为S=4pR2 .=2

(

R)2

,解得R=

。所以外接球的表面积22153不过球心到截面的距离不能直接求出，而等于棱锥的高减去球的半径的绝对值。若球O的半径为R，棱锥的高为h，底面的外接圆圆心为，半径为，2 2则的长为h-R，有如下恒等式：R2=-R)

。当然，对于三棱锥，截面的选取要恰当，否则计算会复杂，例如第（2）题，若以ABC为底面截球，则三条侧棱不相等一般情况下不好做参考答案其实是利用两个截面处理的。但若随便改动一个数字，比如取SA5就没有面面垂直了，则不能照搬答案的解法。湖北预赛8）已知四面体的一条棱长为6，其余棱长均为5，则这个四面体的外接球的半径为 2039）392.双截面法有些多面体由一个截面无法求出外接球的半径，需要借助两个截面才可以，称之为双截面法。例3（1）四棱锥P-

ABCD的外接球球心为O，底面 PABCD是矩形，平面PAD^底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为＿＿。 D CA BPC（2）三棱锥PPC

ABC中，

AB=AC=BC=PB=PC=

3,二面角P-BC-A的大小为60o，求P-

ABC的外接球半径。（3）三棱锥P-

ABC中，BC=

23,∠BAC=60o,cosÐBPC=21,二面角P-BC-7

A的大小为60o，求 B AP-ABC的外接球半径。 PO，设半径为R，以底面 OABCD截球，设截面圆圆心为，半径为，则

D CE O11为对角线AC、BD=2

A B5AC= 5223面PAD截球，设截面圆圆心为O2

o得= sin60 3面交AD于E,则为二面角P-

AD-BPAD^底面ABCD得∠=

90o，又OO^截面ABCD，OO^截面PAD，因此1 2O1E2是矩形1 2=O2E= ，\333

R2=OO2

+r2

=16，3112S球=4pR112

=。PP2ECO1（2）如图，设球心为O，半径为R，以底面ABC截球，设截面圆圆心为，半径为PBC截球，B A设截面圆圆心为O2交BC于E,则∠是二面角P-BC-

1 2OAOEO=601 2O22O222 ö 12

2 ö 1中，=-ç ÷= ，O2E=-ç ÷= 。è2ø 2

è2ø 2 E O11 2 1 2连接OO得OO=11 2 1 2

=∠OOO=30o易得OO=

\R2

3=OO3

2+r2=13，S12 球

2 12 21=4pR2=。3

1 6 1 1（3）如图，设球心为O，半径为R，以底面ABC截球，设截面圆圆心为，23半径为23

sin60o得=2，=2r2-ö2

=1；再以侧面PBC截球，设截面圆圆心为O

，半径为1 ç2÷

2 Oè ø21

27

23

E O1。由cosÐBPC= ,得sinÐBPC= ，由得r=7 7 sinÐBPC 221，OE=

r2-ö

=3。设平面OOO

交BC于E,则∠OEO

是二面角22 2 22

ç2÷

2 12 1 2è ø27P-BC27

AOEO=OOEOOO1 1 2 1 2 1 2O2= ，727

cosE=7 ，

sin= 。 由227

=

得OO=23，\

R2=OO2+r2=16，S

=4pR2=。sin

sin120o 1 3

1 1 3 球 3双截面法求外接球的半径是一个难点，为此例4特地从易到难选编了3个题目，它们之间是特殊到一般的关系。存在外接球的多面体，若需要双截面法P-

ABCOP2ECO1RABC的外心为PBC的外心为P2ECO1角P-BC-

A的大小为a。只要知道或能求出、、a、BC、R中，结合公式R223 B1 1 A3.补体法例4（1）同例1（1）题略；（2）同例3（1）题略；A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=7,AD=BC锥外接球的表面积为＿＿。解：（1）如下图左，将三棱锥S-

ABC补成长方体，长方体的外接球半径2为1=2R，\R=1,S球=4pR2

=。（2）如下图中，把四棱锥P-

ABCD补成三棱柱ADP-BCQ，同例1（2）球的解法易得外接球的半径为43，S球3=4pR2= 。3PQDSPQDSACBCB A B

nA lm C(1) (2) (3)l，m，nR长方体中嵌入三棱锥A-BCD，由l2，l2，m2得l2m2n255l2=55，\2Rl2m2n2552 球

=4pR2=。练习：三棱锥A-BCD的三组对棱分别相等，AB=5，BC=

41,外接球的半径为52，则A-BCD的体积为＿＿。(略解：把三棱锥嵌入长方体中，则长2方体的三条棱长分别为3、4、5，三棱锥的体积为20）长方体的外接球半径容易求，如果能把一些多面体补成长方体，使它们的锥，一般不易直接求外接球的半径，需要构造长方体，如例4.向量法例5同例3（1）DM解：如图，以AD的中点M为坐标原点，建立空间直 DMC角坐标系，则0),B4,0),C4,0)，CA BD0),P3).设球心O(x,y,zOA=OBA ByOA=OD得x，由OA=OP得z=

3。\

æ 3ö点O2, R=OA=3 è 3ø16,此时OC=16，\

点O是四棱锥的球心，球O的半径R=16，S

=4pR2球3 3 3球= .3一个有外接球的多面体只要能建系就可以用代数方法求它的外接球半径。二、存在外接球的充分条件2OD2ODE1BCD、△ACD的外心分别为、，E为CD的中点，则^DC，E^DC，\DC^平面E。在平面E内过作直线垂C直作直线垂直EB为OO到三棱锥四个顶点的距离相等，即点O为三棱锥A-BCD外接球的球心。2.底面四边形对角互补的四棱锥有且只有一个外接球证明类似三棱锥，略。DED 例6平行四边形ABCD中，ÐBADAB, C AD,E为边CD上一点（不与C、D重合将△A BBCE沿BE折起，使点A、B、C、D、E均在一个球面上，当四棱锥C-

ABED体积最大时，求球的表面积。DE解：Q点A、B、C、D、E均在一个球面上，DE

A、B、E、D四点共圆，\

四边形ABED的对角互补，即ÐBED-60o= C120o，四边形ABED为等腰梯形。易知△ABD为直角三角形，外心为AB的中点，同理△ABE的外心也为ABA BABED的外心为为AB的中点，四边形ABED的外接圆半径。由ÐBED得ÐCEB=60o，△CEB为等边三角形，23设△BCE的外心为= OR,则^截面233OO2^截面BCEI

BE=F为二面角A-BE-C的平面角。显然当平面BCE垂直于平面ABED时，体积最大，此时=90o，3 2 2 4

1 13则四边形为矩形，=F=S=4pR2。3

oR23=