函数思想在中学数学中的应用 论文

PAGEPAGE1函数思想在中学数学中的应用摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在规律探索、数列中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用。关键词:函数思想规律数列。引本文希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用。一、函数相关概念高考中,好多问题都体现出浓厚的函数背景和思想方法。这就要求我们在平时的通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用。(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。(2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A

B或yf(x)，xA。此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合f(x)x叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数。(3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:AB称为A到B的函数。函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系。(1)有界性:如果存在正数M,对于函数f(x)定义域(或其子集)内的一切x值,都有f(x)M成立,那么函数f(x)叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M不存在,那么称这个函数是无界的。(2)单调性:一般地,对于函数yf(x)的定义域内的一个子集A,如果对于任意的,x2A,当x2时都有f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)),就称函数yf(x)在数集A上是增加的或减少的。(3)奇偶性:对于函数f(x)在定义域内的任意一个x值,如果都有f(x)f(x)成立,那么函数f(x)叫做奇函数;如果都有f(x)f(x)成立,那么函数f(x)叫做偶函数.(4)周期性:设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在常数T0,对于任意的xM,都有xTM,且f(xT)f(x)总成立,则函数f(x)叫做周期函数,常数T称为f(x)的周期。二、利用函数找规律型试题因它具有的直观性、可操作性更能考查学生的识图、分析、归纳、想象、动手操作、自主探究等多种能力而备受青睐。这类题既是规律题,那便有规律可方法，下面通过几个具体的例子说明这些问题。（一）寻找图形的增减规律例1.观察图中正六边形网的变化规律：（1）完成下表正六边形网圈数12345小黑点总数n表示六边形网的圈数，mm和n的关系是什么？n的次数是2次，下面我们就用二次函数来解，你会发现问题变得很容易下手，结论也易于得出。解：（1）填表正六边形网圈数12345小黑点总数618366090（2）在平面直角坐标系中描出点：（1，6）、（2，18）、（3，36）、（4，60）、（5，90）、形中小点的总数m和六边形网的圈数n的关系可以用二次函数来模拟，设man2bnc,在已知数据中，任取三组，如（1，6），（2，18），（3，36）ab1c1分别代入所设的函数关系式，得方程组8a22b2c1abc0，所以，m3n23na32

b3c再将点（4，60）、（5，90）分别代入检验均成立因此，m和n的关系为m3n23n例2.把正方体摆放成如图的形状，若从上至下依次为第123层，……，则第n层有＿＿＿个正方体。解：观察图形中正方体的层数与正方体的个数之间存在这样的关系：第一层，1个，……，那么我们就可以设正方体的个数s与正方体的层数n之间的函数关系式为san2bnc，再将任意3个点的坐标代入所设函数关系式，就能求出系数ab1ca,b,ca22b2c解方程组得a1,b1,c0所以s1n21na32

b3c2 2 2 2再将点（4，10），（5，15）分别代入检验，均成立。因此第n层有s1n21n个正方体。2 2（二）寻找数的排列规律例3.有一组数1，5，9，13……，第5个数是几？第10个数呢？第n个数呢？解：观察序号与数字的关系可以用一组点的坐标来代替（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）……，由此可以设san2bnc，n取1，2，3，……，将点（1，1），（2，5），（3，9）分别代入所设的函数关系式，PAGEPAGE4ab1c5得方程组5

a22b2c，解得a0,b4,c2a3所以s4n3

b3c再将其它点代入检验均成立。因此第5个数是17，第10个数是37，第n个数是4n3例4.用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是.（4，26）……，同样设正方体的个数s与图形的序号n之间的函数关系式为san2bncab1c7关系式，可得方程组7

a22b2c解得a0,b4,c2由此s4n1a3

b3c再将其它点代入检验均成立。所以第n个图形中正方体的个数是4n1个。3例4不会有什么问题呢？其实在实际的做题过程中，不必考虑它是哪种函数关系式，可以统一设为二次函数的关系式，若求出的a0，则为一次函数，否则就是二次函数。出的是一次函数，那么这个问题就已经解决了，如果求出的是二次函数关系式，那就一定要把后面的点代入检验，不然就很容易出错，比如下面的例子。例5.数字解密:第一个数是3=2+1.第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8，……观察并猜想第六个数是。解：我们先找出点的坐标（1，3），（2，5），（3，9），（4，17）……，然后设函数关系式为ab1c5代入得方程组5

a22b2c2

解得a6,bc13a3因此m6n216n13

b3c但我们若把第四个点的坐标代入就会发现s4

6421641345，的思想。观察发现规律①:右侧两数据的差为右侧第一个数据相同。由此猜想第五个数是33=17+16，第六个数是65=33+32，故填65。尽管用二次函数的办法来解决找规律的问题有时会出错，但是在找规办法。三、利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异.数列是一种定义域为正整数集（或正整数集合的前n个数组成的有限子集）要给定一个自变量的值nf(n)是一种函数．为此我们可以从函数观点解决一些数列问题。（一）利用函数处理数列问题8 12

1n 1n 例1.若数列an的通项公式为an列中最大项为am,求m的值

()3 8

3()4

(N2分析:由于该数列不是直接与等差数列、an的形式特点,不难发现它可以变形为:a8(1)3n3(1)2n(1)n，此时若令x(1)n(0,1],则a

所对应的函数为n 3 2 2 2

2 2 nf(x)8x33x2x,x(0,1].这样由函数f(x)3 2可求得该数列中最大项为am中的m的值。解:由已知a

8(1)23(1)n(1n

其中nNf(x)a,x(1)n,n 3 8 4 2 n 2则x(0,1],且f(x)8x33x2x,2 3则f8x26x18(x1)(x1)2 4令f,(x)0,得x(0,1],所以该函数在(0,1]上是单调递增的4 4令f,(x)0,得x[1,1],所以该函数在[1,1]上是单调递减的42 42故x1为其极大值点,即n2时该数列取得最大项,所以m24例2.设数列an的首项为156,且an1an12(n,3),求此数列到第几项的和最先大于100？解:由已知an1an12，可知数列an为等差数列,且d1,156。所以该数列通项公式为an12(n12n68.则sn

n(n6n262n.22令sn100,得6n2

62n1000,即3n2

500n311561(0)或n311561(11.7)6 6由于nN,所以满足上述条件的最小正整数为12故此数列到第12项的和最先大于100。注：此类题是利用等差数列前n项和公式。sna

n(nddn2(a

d)nd[n(1)]2d(1)2是关于n的函n 1 2

2 1 2 2 2 d

22 d数，当d0时，snd0时，sn有最大值.由于取正整数，因而当(1)不是正整数时，s

的最小值或最大值不等于d(1)2n取最2 d n

22 d接近于(1)s

(1)2 d n2 d（二）等差数列与一次函数、二次函数的联系从等差数列的通项公式an(ndn(a1d)的等差数列的每一项an是关于项数nn项和当公差d0时sn所在的曲线是过原点的二次函数，即表达为：nsan2bn(a,b为常数，且a0)，于是可以运用二次函数的观点和方法解决等n差数列前n项和的问题，如可以根据二次函数的图象了解sn的增减变化等情况。它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。参考文献［1]刘佰秋函数与方程思想