求数列通项公式、数列求和问题的常用方法

求数列通项公式、数列求和问题的常用方法一、求数列通项公式的三种常用方法1、利用的关系求通项公式：例1、设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（Ⅰ）求数列和的通项公式；解：（1）当也满足上式。故{an}的通项公式为设{bn}的公比为q，故例2、数列的前n项和为Sn，且，求：（1）的值。（2）数列的通项公式；解：（1）由 例3、（09广东四校文期末）已知函数f(x)=ax2+bx－EQ\F(2,3)的图象关于直线x=－EQ\F(3,2)对称,且过定点(1,0)；对于正数列{an},若其前n项和Sn满足Sn=f(an)（nN*）（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；(Ⅰ)∵函数f(x)的图象关于关于直线x=－EQ\F(3,2)对称,∴a≠0,－EQ\F(b,2a)=－EQ\F(3,2),∴ b=3a①∵其图象过点(1,0)，则a+b－EQ\F(2,3)=0②由①②得a=EQ\F(1,6),b=EQ\F(1,2). 4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，∴=当n≥2时，=.两式相减得∴，∴，∴是公差为3的等差数列，且∴a1=4(a1=－1舍去）∴an=3n+19分2、累加（乘）法：3、配凑法或待定系数法或构造法：注意：1、有时可能将两种或者多种方法综合使用：例如2013广一模19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求满足的最大正整数的值.解：∵当时，，∴.（配凑法或待定系数学法）………1分∴.……………2分∵，，∴.……………3分∴数列是以为首项，公比为的等比数列.∴.……………4分解：由（1）得：，……………5分∴……………6分……………7分.……………8分（3）解：……………9分……………10分.……………11分令，解得：.……………13分故满足条件的最大正整数的值为.……………14分例如：2012年广东高考19.(本小题满分14分)设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求数列的通项公式。【解析】（1）在中，令（2），相减得：从而，相减得：，得得：数列是以为首项，公比为的等比数列【评注】本题主要考查数列的有关知识，涉及了“数列前项和”概念的正确理解，重点考查了数列的前项和为与通项的关系，以及由一阶常系数线性递归关系求通项公式的常用方法——配凑法或待定系数法、累加法等，还考查了等比数列的有关知识。例4、（2009广东六校）已知数列的首项，前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；解：（Ⅰ）由，，①∴，②①－②得：，即，4分∵，∴。8分例5、（09北江中学期末）若数列的前项和为，且（I）求；（II）求证：数列是常数列；注意：2、有时要根据递推关系的结构特点进行适当的“变形”处理：例如：（江门市2013届高三上学期期末）已知数列中，（）．⑴求证：数列为等差数列；⑵设（），数列的前项和为，求满足的最小正整数．证明与求解：⑴由与得……1分，……3分，所以，为常数，为等差数列……5分⑵由⑴得……7分……8分所以…9分，……10分，……11分，由即得……13分，所以满足的最小正整数……14分．二、数列求和的几种常用方法方法一：错位相减法——“差比数列”：（广州市2013届高三上学期期末）已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.（1）解：∵是公比为的等比数列，∴.……………1分∴.从而，.……………3分∵是和的等比中项∴，解得或.……………4分当时，，不是等比数列，……………5分∴.∴.……………6分当时，.……………7分∵符合，∴.……………8分（2）解：∵，∴.①……………9分.②……………10分①②得……………11分……………12分.……………13分∴.……………14分..\广东省2013届高三上学期末文数试题分类汇编.rar方法二：裂项法：（江门市2013届高三