2024届湖南省长沙市湖南师大附中联考八上数学期末达标检测试题含解析

2024届湖南省长沙市湖南师大附中联考八上数学期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若a＋b＝7，ab＝12，则a－b的值为（）A．1 B．±1 C．2 D．±22．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A． B． C． D．3．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是（）A． B． C． D．5．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（）A． B． C． D．6．下列根式中不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．7．立方根是－3的数是（）．A．9 B．－27 C．－9 D．278．把分解因式正确的是（）A． B． C． D．9．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F10．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是()A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于12．某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用时间相等，那么他的步行速度为_____千米/小时．13．如图，直线与轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．14．如图，在中，，点在边上，且则__________．15．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．16．若的整数部分为，则满足条件的奇数有_______个．17．若，，则的值是_________．18．如图，将等腰绕底角顶点A逆时针旋转15°后得到，如果，那么两个三角形的重叠部分面积为____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，试说明：∠B=∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．20．（6分）阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．21．（6分）（1）计算：；（2）因式分解：．22．（8分）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，求：（1）的周长；（2）的面积．23．（8分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子.(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来；(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积.

24．（8分）如图，是边长为的等边三角形若点以的速度从点向点运动，到点停止运动；同时点以的速度从点向点运动，到点停止运动，(1)试求出运动到多少秒时，为等边三角形；(2)试求出运动到多少秒时，为直角三角形．25．（10分）快车和慢车都从甲地驶向乙地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后加速行驶比慢车提前0.5小时到达目的地，慢车没有体息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，请解答下列问题：（1）甲、乙两地相距千米，快车休息前的速度是千米/时、慢车的速度是千米/时；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．26．（10分）如图，已知,,,射线,动点在线段上（不与点,重合），过点作交射线于点,连接，若,判断的形状，并加以证明.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据进行计算即可得解.【题目详解】根据可知，则，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的相关公式是解决本题的关键.2、D【分析】过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．【题目详解】解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．故选D．【题目点拨】本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．3、B【分析】根据得出点P到BC的距离等于AD的一半，即点P在过AD的中点且平行于BC的直线l上，则此问题转化成在直线l上求作一点P，使得点P到B、C两点距离之和最小，作出点C关于直线l的对称点C’，连接BC’，然后根据条件证明△BCC’是等腰直角三角形即可得出∠PBC的度数．【题目详解】解：∵，∴点P到BC的距离=AD，∴点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上，作C点关于直线l的对称点C’，连接BC’，交直线l于点P，则点P即为到B、C两点距离之和最小的点，∵AD⊥BC，E为AD的中点，l∥BC，点C和点C’关于直线l对称，∴CC’=AD=BC，CC’⊥BC，∴三角形BCC’是等腰直角三角形，∴∠PBC=45°．故选B．【题目点拨】本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上是解决此题的关键．4、B【分析】根据三角形全等的判定定理添加条件即可．【题目详解】若添加，则可根据“AAS”判定两三角形全等；若添加，则有两组对应边相等，但相等的角不是夹角，不能判定两三角形全等；若添加，则可根据“SAS”判定两三角形全等；若添加，则可根据“ASA”判定两三角形全等；故选：B【题目点拨】本题考查的是判定两个三角形全等的条件，需要注意的是，当两边对应相等，但相等的角不是夹角时，是不能判定两个三角形全等的．5、D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【题目详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【题目点拨】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．6、C【题目详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．=2，故不是最简二次根式．故选C7、B【分析】本题考查了立方根的概念，任何正数都有立方根，它们和被开方数的符号相同．由于立方根和立方为互逆运算，因此只需求－3的立方即可．【题目详解】解：立方根是－3的数是=−1．

故选：B．【题目点拨】了解立方根和立方为互逆运算，是理解立方根的关键.8、D【分析】先提取公因式mn，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【题目详解】==．故选：D．【题目点拨】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于要进行二次分解因式．9、C【解题分析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．故选C．考点：全等三角形的判定．10、B【分析】根据轴对称图形的概念求解．【题目详解】解：A、不是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故正确；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故错误．故选B.【题目点拨】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．二、填空题(每小题3分,共24分)11、6【解题分析】试题分析：由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE，由直角三角形可得：，代入可得.考点：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等12、4【分析】先设他骑自行车的速度每小时走x千米，根据他步行12千米所用的时间与骑自行车36千米所用的时间相等，列出方程，求出方程的解即可求出骑自行车的速度，再根据步行速度=骑自行车速度-8可得出结论．【题目详解】设他骑自行车的速度每小时走x千米，根据题意得：=解得：x=12，经检验：x=12是原分式方程的解.则步行的速度=12-8=4.答：他步行的速度是4千米/小时.故答案为4.【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用.13、【分析】分别求出的坐标，得到点的规律，即可求出答案.【题目详解】设直线交x轴于A，交y轴于B，当x=0时，y=1；当y=0时，x=，∴A(,0)，∴B（0,1），∴OA=,OB=1，∵是等边三角形，∴∵∠BOA=，∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，∴OA1=,OA2=2，OA3=4,∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），∴的横坐标是.【题目点拨】此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A1，A2，A3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.14、36°【分析】设∠A=，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【题目详解】设∠A=．

∵AD=CD，

∴∠ACD=∠A=；

∵CD=BC，

∴∠CBD=∠CDB=∠ACD+∠A=2；

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠CBD=2，∵∠A+∠ACB+∠CBD=180°，

∴+2+2=180°，

∴=36°，

∴∠A=36°．故答案为：36°．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．15、15【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.【题目详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．又∵∠ECF=90°，∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．【题目点拨】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.16、9【分析】的整数部分为，则可求出a的取值范围，即可得到答案.【题目详解】解：的整数部分为，则a的取值范围8＜a＜27所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、25共9个故答案为：9【题目点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.17、1【分析】首先提取公因式，进而将已知代入求出即可．【题目详解】，，．故答案为：1．【题目点拨】此题考查因式分解，整式的求值计算，将多项式分解因式后进行计算较为简便.18、【分析】设B′C′与AB相交于点D，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，根据旋转角可得∠CAC′=15°，然后求出∠C′AD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D的长度，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【题目详解】设B′C′与AB相交于点D，如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，∵旋转角为15°，∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D，在Rt△AC′D中，根据勾股定理，AC′2+C′D2=AD2，即12+C′D2=4C′D2，解得C′D=，∴重叠部分的面积=．故答案为：．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题(共66分)19、⑴证明解析；（2）30°；（3）∠P的度数不变，∠P=25°．【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明；（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根据外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；从而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；（3）由角平分线的性质知∠FOM=45°-∠AOC①，∠PCO=∠A+∠AOC②，根据①②解得∠PCO+∠FOM=45°+∠A，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的∠P的度数．【题目详解】解⑴∵△AOB是直角三角形∴∠A＋∠B=90°，∠AOC＋∠BOC=90°∵∠A=∠AOC∴∠B=∠BOC⑵∵∠A＋∠ABO=90°，∠DOB＋∠ABO=90°∴∠A=∠DOB，即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA∵∠DOB＋∠EOB＋∠OEA=90°∴∠A=30°⑶∠P的度数不变，∠P=25°∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A＋∠AOC又OF平分∠AOM，CP平分∠BCO∴∠FOM=45°-∠AOC，∠PCO=∠A＋∠AOC∴∠P=180°-(∠PCO＋∠FOM＋90°)=45°-∠A=25°20、（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【题目详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．21、（1）12xy+10y2；（2）x(x+3)(x-3)．【分析】（1）根据题意直接利用完全平方和公式以及平方差公式化简，进而合并得出答案；（2）由题意首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．【题目详解】解：（1）(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=(4x2+12xy+9y2)-(4x2-y2)=4x2+12xy+9y2-4x2+y2=12xy+10y2（2）x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)【题目点拨】本题主要考查整式的乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．22、（1）18；（2）【分析】（1）由折叠性质结合角度判定△ADE是等边三角形，然后即可求得其周长；（2）由（1）中得知CD，利用勾股定理得出AC，即可得出△ACD的面积.【题目详解】（1）由折叠可得：又由折叠可得：是等边三角形，的周长为，（2）由（1）中得知，CD=3∴△ACD的面积为.【题目点拨】此题主要考查折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握，即可解题.23、（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）20【解题分析】试题分析：（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式；（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．试题解析：（1）；（2）考点：因式分解的应用24、（1）秒；（2）秒或1.5秒【分析】（1）设运动秒时，为等边三角形，根据列出关于t的方程求解即可；（2）设运动秒时，分或者两种情况列方程求解即可.【题目详解】(1)设运动秒时，为等边三角形∴∴当运动到秒时，为等边三角形．(2)∵为直角三角形．∴可能或者①当运动秒时，∵∴∴∴②当运动秒时，∵∴∴∴．综上所述，运动秒或1.5秒时，为直角三角形【题目点拨】本题考查了三角形的动点问题，解题的难点在于分类讨论的数学思想的运用，要做到不重不漏的分析问题的存在性．25、（1）300,75,6