八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球及内切球大学课件

心；13HD第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r图142．题设：如图15，四棱锥PABC四面体的外接球的外表积为〔D〕心；13HD第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r图142．题设：如图15，四棱锥PABC四面体的外接球的外表积为〔D〕A.11B.7C.40D.3〔5〕如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7〔1〕在矩形ABCD中，AB4，BC那么SACHBSMACE类型一、墙角模型〔三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径〕PPcAaBbAaPcCbBPAacCbBBaAO2bPcCC方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出RA．16B．20C．24D．32〔2〕假设三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是9〔2〕4R23339，S4R29〔3〕在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,假设侧棱SA23,那么正三棱锥SABC外接球的外表积是。36如图〔3〕-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，那么H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，AMSB，ACSB，SB平面SAC，DSBSA，SBSC，SBSA，BCSA，SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，正三棱锥SABC外接球的外表积是36NB图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC〔即AC为小圆：BC2163624628，BC232AA2840160233，3ACAA2,BAC120，那么13圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，-.word.zl1，那么P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O1图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC〔即AC为小圆：BC2163624628，BC232AA2840160233，3ACAA2,BAC120，那么13圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，-.word.zl1，那么P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AOr，再算出棱锥的高POh〔也是圆锥的高〕BC7，ABC的外接球直径为2rAB22ABBCsinBACa2b2c23R2R3ABP1ABC的外心，所以OO平面ABC，算出小圆O的半O1B2ROD3.〔4〕在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,那么该四面体的外接球的外表积为〔D〕A.11B.7C.D.3〔5〕如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的外表积是〔6〕某几何体的三视图如下图，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，那么该几何体外接球的体积为BCcos1207，2ab12P4VR33C类型二、垂面模型〔一条直线垂直于一个平面〕1．题设：如图5，PA平面ABC第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，那么PD必过球心O；CA径OD1a第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)2和边长为1的正方形，那么该几何体外接球的体积为BCcos1207，727332(2R)2(2r)2S的直径〕第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC和边长为1的正方形，那么该几何体外接球的体积为BCcos1207，727332(2R)2(2r)2S的直径〕第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；第二步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，那么PD必过球.-.42R2，R1，V〔3〕在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为601D1的半径AO1OO21PP②R2r2OO2Rr2OO2.三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点PPPPAOCODAB图6OCO1图7-1BAOCO1B图7-2AOCO1B图8PAO2BOBCDAO2OCAO2BO图8-1第一步：确定球心O的位置，取图8-2ABC的外心O图8-3，那么P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O1第三步：勾股定理：OA2OA211例2一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体外接球的外表积为()C解：选C，(33R)21D．以上都不对R2323RR21R2423R0,R2S4R23菱形折叠(如图11)图11第一步：先画出如下图的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和菱形折叠(如图11)图11第一步：先画出如下图的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H：设切球的半径为r，建立等式：OPACOPBC111S3ABC3PAB33VPSSOABCOPAB习构造大圆。r，再算出棱锥的高POh〔也是圆锥的高〕；1R2(hR)2r2，解出R例2一个几何体的三视c2，41abc3图12例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6〔1〕棱长为2的正四面体的四个顶点都11R2OO2143.类型三、切瓜模型〔两个平面互相垂直〕PPPPPOOA1BACOOOOCCCAABBB11图9-1图9-2图9-3图9-41．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC〔即AC为小圆的直径〕第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；第二步：在PAC中，可根据正弦定理asinA2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且AB2R，求出RBC〔即AC为小圆的直径〕OC2OC2OO2R2r2OO2AC2R2OO23．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC〔即AC为小圆的直径〕，且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O，那么P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O的半径AO1第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC〔即AC为小圆的直径〕，且PAAC，那么利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO21rr例3〔1〕正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为1，底面边长为23，那么该球的外表积〔2〕正四棱锥S为ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，那么此球的体积4R249方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，心；13HD第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r图142．题设：如图15，四棱锥PABC-3,直三棱柱接于球〔同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意第一步：确定球心O的位置，O是A是大圆，2R5．三棱锥PABC中，平面PAC 24sin603平面ABC，，RAC22，，PAPC三棱锥的对棱互垂直，此题图如图〔3〕-2，AMMN，SB//MN，AMSB心；13HD第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r图142．题设：如图15，四棱锥PABC-3,直三棱柱接于球〔同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意第一步：确定球心O的位置，O是A是大圆，2R5．三棱锥PABC中，平面PAC 24sin603平面ABC，，RAC22，，PAPC三棱锥的对棱互垂直，此题图如图〔3〕-2，AMMN，SB//MN，AMSB，ACSB，SB平面SACAA题设：如图三角形〕A1AC1OB1OCOB21图10-2的半径AO11AA1h23该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为OCD.42R2，R1，V〔3〕在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，那么该三棱锥3解：选D，圆锥A,B,C在以r33243〔4〕三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且226336223222类型四、汉堡模型〔直棱柱的外接球、圆柱的外接球〕226C1O2B1OCO1B图10-1AA1AC1O2B1OC1B图10-3第一步：确定球心O的位置，O是ABC的外心，那么OO平面ABC；第二步：算出小圆O1第三步：勾股定理：OA2OA21r，OOOO2R21h〔AAh2例4〔1〕一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且98，且ABBC〔即AC为小圆的直径〕，且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，那么多面体EABCD的外接球的外表积为。16解析：折叠型，，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,假设侧棱SA23,那么正三棱锥SA342底面积为S6柱，且ABBC〔即AC为小圆的直径〕，且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，那么多面体EABCD的外接球的外表积为。16解析：折叠型，，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,假设侧棱SA23,那么正三棱锥SA342底面积为S6柱h3223OO1R2；法二：OMrOD1334121ABC的外接473第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；.VShhR1，球的体积为V〔2〕直三棱柱ABC3ABC的各顶点都在同一球面上，假设AB此球的外表积等于。〔3〕EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，那么多面体EABCD的外解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r13R2R〔4〕在直三棱柱ABCABC中，AB4,AC332AA2840160ACAA2,BAC120，那么BEO1MADOO2C44那么直三棱柱ABC33类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)ODHEBH2CA图11第一步：先画出如下图的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H和H；-3,直三棱柱接于球〔同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意第一步：确定球心O的位置，O是A2333327，边长为2的正三角形，ABBC，那么三棱锥PABC外接球的半径为.解析：-3,直三棱柱接于球〔同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意第一步：确定球心O的位置，O是A2333327，边长为2的正三角形，ABBC，那么三棱锥PABC外接球的半径为.解析：PAC的外接圆A2()24S3，选D〔5〕三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c〔a,b,cR〕，那么ab，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B.3解：选D，圆锥A,B,C在以r24C.4D.3的圆上，R1x2y2z22x2y2z22x2y2z2R2R第三步：解OEH1CH2OC21C.，算出OH，在RtOCH中，勾股定理：OH2例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，那么三棱锥PABC外接球的半径为.1R2OH22222133，222133，31OH14335133R，153153AH1233，OH21131R2AO2AH2OH2OO2115R15153类型六、对棱相等模型〔补形为长方体〕题设：三棱锥〔即四面体〕中，三组对棱分别相等，求外接球半径〔AB第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDPOOO12OAHBCD，ADBC，ACBD〕y，ACBDz，列方程组，a2b2b2c2c2a2Ax2y2BCD(2R)2a216b2c2，3aa2b2c2AAxyzxBaDycCbz图12xx2y2z28例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6〔1〕棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形(正四面体的截面)的面积是.〔2〕一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是〔〕3CC3DD4341〔2〕高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2，PPO2POAO1BCB球、圆柱的外接球〕123436C1O2B1OCO1B图10-110-1，图球、圆柱的外接球〕123436C1O2B1OCO1B图10-110-1，图10-2，图图10-310在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形(正四面体的截面)的面积是.〔2〕一个正，DSBSA，SBSC，SBSA，BCSA，SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两，那么P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O1第三步：勾股定理：OA2OA21方法二：小圆直径参与OP,OC，那么OAOBOCOPABO为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求.设底面边长为a，那么2R2三棱锥的体积为V2〔3〕在三棱锥A1Sh3BCD中，a4a2434ABCD2,ADBC3,ACBD4,那么三棱锥ABCD外接球的a2b2c222294R2S2〔4〕如下图三棱锥ABCD，其中ABCD外表积为.5,ACBD6,ADBC7,那么该三棱锥外接球的解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2b2c2)253649110，a2b2c255，4R255，S55【55；对称几何体；放到长方体中】3433RV3PBCOA图13题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径〔分析：取公共的斜边的中点O，连接1出半径〕，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为那么四面体ABCD的外接球的体积为〔3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，〕点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，那么H是底面正三角形ABC的中心，SH平面AB底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，那么该-.word.zl.-.三棱锥的外接球体积等于.解析球、圆柱的外接球〕123436C1O2B1OCO1B图10-110-1，图10-2，图图10-310，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个外表的面积和整个锥体体积；第二步点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，那么H是底面正三角形ABC的中心，SH平面AB底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，那么该-.word.zl.-.三棱锥的外接球体积等于.解析球、圆柱的外接球〕123436C1O2B1OCO1B图10-110-1，图10-2，图图10-310，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个外表的面积和整个锥体体积；第二步第二步：求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；EOACOEPODHPDB第二步：求FHBCPOPHr，PFOGPOHFPFOAD图15FCVVVPABCOABCOPABVVVPABCr13PAC3PBCABCPABPACPBC第三步：解出r1．假设三棱锥S〔〕A.3B.6C.36ABCSSOPACOPBC.A．B．C．D．〔2〕在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD的外接球的外表积为．解析：〔2〕BD的中点是球心O，2RBD，S4R213；类型八、锥体的切球问题P1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。13HD第三步：由POE相似于PDH，建立等式解出r2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径P1是侧面PCD的高；G第三步：由POG相似于PFHEHB3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的切球半径方法：等体积法，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个外