云南省玉溪市2021-2022学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页云南省玉溪市2021—2022学年高二下学期期末教学质量检测数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则=（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若，则（

）A． B． C． D．4．已知的展开式中，项的系数是（

）A． B． C． D．5．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．6．记为等比数列的前项和．若，，则（

）A． B． C． D．7．直线与抛物线交于，两点，则（

）A． B． C． D．8．已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．评卷人得分二、多选题9．已知正方体的棱长为1，则（

）A． B．平面C．三棱锥的体积为 D．点到直线的距离为10．已知，，且，则（

）A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．是偶函数 B．在区间单调递增C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称12．已知，，，，则下列结论正确的是（

）A．若是△的重心，则 B．若是△的内心，则C．若是△的垂心，则 D．若是△的外心，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．14．安排4名同学去听3个课外知识讲座，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案共有__________种．15．已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若，，，则该球的表面积等于___________．16．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率__________.评卷人得分四、解答题17．已知数列满足，．(1)证明是等差数列；(2)若，求数列的前项和．18．某地农户种植一种经济作物，这种经济作物的成品分为三个等级，由一家公司全部按定价收购．为了解当地农户今年种植这种经济作物的情况，从去年的种植户中随机抽取了5户，得到这5户的种植面积（单位：亩）、三个等级成品总产量（单位：）和公司收购价（单位：元）情况如下表所示：种植面积（亩）44566收购价一级17017621024026446二级24026433037038641三级40044052063066038把上述样本的频率视为概率．(1)试估计，在当地种植该经济作物，收获成品的平均亩产量和成品等级为一级的概率；(2)公司规定，农户上交成品前，应按等级标准先分为三级，再分别按照每公斤一捆进行捆绑．现从公司收购来的大量成品中随机抽出10捆，设这10捆成品的收购价值为，试求的数学期望．19．在平面内，四边形的内角与互补，，连结，，.(1)求DC；(2)若的面积为，求四边形的周长.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．21．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意，，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】直接利用交集的运算计算即可.【详解】集合，，则=，故选：C2．D【解析】【分析】根据复数的几何意义与四则运算法则计算.【详解】由，得，所以对应的点为，位于第四象限.故选：D3．B【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：B4．C【解析】【分析】求出的展开式的通项公式，令，即可求出结果.【详解】因为的展开式的通项公式为令，所以的系数为.故选：C.5．A【解析】【分析】直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可.【详解】直线经过点，且与圆相切，则,故直线的方程为，即.故选：A.6．A【解析】【分析】根据等比数列前项和公式，即可求解.【详解】解：由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则，解得：，所以，所以，故选：A.7．D【解析】【分析】焦点弦长度等于.【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则由得：，所以，，所以，故选：D.8．D【解析】【分析】求出函数的导函数，分和两种情况讨论，当时得到函数的单调区间，即可得到函数的最小值，从而得到，解得即可；【详解】解：函数的定义域为，，当时恒成立，所以在上单调递增，不满足条件；当时，令，解得，所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点，要使有两个零点，则，即，即，所以，即，此时，符合题意，所以的取值范围是.故选：D9．BC【解析】【分析】根据异面直线的定义，线面垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A，连接，由于，因此与所成角的大小等于与所成角的大小，在中，易知其三边都相等，故与所成的角为，从而与所成角的大小为，故A不正确；对于B，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，易知是边长为的等边三角形，高点到直线的距离为，由等面积法有，解得，故D不正确.故选：BC10．ABD【解析】【分析】对于A、D可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B，利用分析法来判断；对于C，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假.【详解】对于A，，，且，，即，当且仅当时，等号成立，A正确；同理对于D，，即，当且仅当时，等号成立，D正确；对于B，利用分析法：要证，只需证：，即证，，，且，，，B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，C错误；故选：ABD.11．ACD【解析】【分析】对于A：先化简，再借助于为偶函数进行判断；对于B：利用复合函数的单调性法则直接判断；对于C、D：利用代入法进行判断.【详解】对于A：.因为为偶函数，所以为偶函数.故A正确；对于B：当时，.因为在上递增，在上单减，所以在区间不单调.故B错误；对于C：因为，所以的图像关于点对称.故C正确；对于D：因为，所以的图像关于直线对称.故D正确；故选：ACD.12．ACD【解析】【分析】根据三角形各心的性质求出对应的的值或比值，即可得到答案.【详解】如图，设，直线与直线交于点，因为，所以，则，即，过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得，同理，所以；A.若是的重心，则为的中点，所以，正确；B.若是的内心，则直线平分，所以分的比，错误；C.若是的垂心，则在y轴上，的横坐标为0，又，，，正确；D.若是的外心，线段AB的中垂线为y=-x,线段BC的中垂线为x=1,则，，由于，，所以,解得，则，正确，故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，突出考查和的几何性质，三角形内心、外心、重心、垂心的性质，即角平分线的交点为内心，各边中垂线的交点为外心，各边中线的交点为重心，各边高的交点为垂心，兼顾考查了平面向量的坐标运算，综合性较强.13．##【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，则由题可知P(C)＝，P(D)＝，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝．故答案为：．14．【解析】【分析】先分组，再分配，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先从4个人中选出个人作为一组，则有种选法，再将这一组与其余人排到个课外知识讲座，则有种排法，故不同安排方案有种；故答案为：15．【解析】【分析】长方体的体对角线是外接球的直径，由此可求得球半径和表面积．【详解】长方体中设，，，可得，可得，可得，三式相加可得，长方体的体对角线是外接球的直径，可得，所以半径为，球的表面积为，故答案为：．16．【解析】【分析】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入计算得到答案.【详解】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入双曲线方程得，即，又，解得.故答案为：.【点睛】该题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于简单题目.17．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义进行证明即可.（2）由（1）得的通项，进而得到通项，然后利用裂项相消法求和即可.(1)证明：因为，当时，，所以是首项为，公差为的等差数列.(2)由（1）得，所以.，设数列的前项和为，则．18．(1)；(2)元【解析】【分析】（1）直接由图表求出平均某产量，由一等品的产量除以总产量可得成品等级为一级的概率；（2）分别求出产品等级为一、二、三级的概率，可得一捆价值的期望，乘以10即可求解(1)样本共抽到经济作物种植面积25亩，收获一级成品共计，收获二级成品共计，收获三级成品共计，共收获成品，所以，样本的平均亩产为（/亩），样本中的成品为一级品的频率为，由此估计，当地种植该经济作物的平均亩产为212/亩，一级品的概率为．(2)由（1）知，公司收购来的成品中，一级、二级、三级的概率依次为，，，从中任抽1捆，设其收购价值为元，则，，，，的分布列为：464138．所以，元．所以，这10捆成品的收购价值的数学期望为元．19．（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）分别在和中运用正弦定理，结合与互补，即，可得；（2）由三角形面积公式可得，运用余弦定理可得，结合大边对大角可解出的值，再求出，即可得四边形周长.试题解析：（1）在中，由正弦定理，在中同理可得，因为与互补，所以，则，即，解得.（2）在中，由面积公式，得，由余弦定理，得，解得，或．若，则，与矛盾，则，所以，那么，所以.所以四边形的周长为．20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理求解即可；（2）建立坐标系，用向量法求解即可(1)取的中点，连接，，在△中，，且，又，，所以，且.所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.(2)取的中点为，连接，则.又平面平面，则平面.建立如图空间直角坐标系.由已知得，，，，.所以，，.设是平面的法向量，则即，令，则设直线与平面所成的角为.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．(1)(2)证明见解析，定值为【解析】【分析】（1）根据点在的垂直平分线上，得，从而可得，则有的轨迹是以A，为焦点的椭圆，即可得解；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设：，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求得，，再证明为定值即可.(1)解：圆的圆心为，半径，由点在的垂直平分线上，得，所以，所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，所以，，，所以的方程为；(2)证明：①当直线的斜率不存在时，易知，②当直线的斜率存在时，设：，，，则把代入得，显然，有，，，所以，综上所述，为定值．22．（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）对函数进行求导分解因式可得，分为和讨论导数与0的关系，得到单调性；（2