2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c3．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果＞1，则a＞b B．对顶角相等 C．平行四边形的一组对边相等 D．等边三角形的三个内角都相等4．（3分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣35．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（）A．18 B．30 C．24 D．276．（3分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（）条对角线．A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（）A．96 B．480 C．320 D．1608．（3分）一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°角的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是2cm，则最长的斜边CD的长为（）cmA． B． C． D．9．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小；②函数y＝ax﹣d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正确的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②10．（3分）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5 B． C． D．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）请写出一个符合条件的含有字母x的分式：．（条件：不论x取何值时，该分式都有意义）12．（3分）请写出一个多项式，并把它进行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式）请写出该多项式及分解的结果：．13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；②因此假设不成立，所以∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是．（填序号）14．（3分）如图是y关于x的完整函数图象，请你根据所学函数知识，观察函数图象，直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围是．15．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为．三、解答题（共7小题，满分75分）16．（8分）（1）请用简便方法计算：20222﹣4044×2021+20212．（2）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝54°，请根据要求完成以下任务：（1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，连接CD；（2）利用直尺与圆规，作∠ABC的角平分线BF交CD于点F；（3）若BD＝AC，求∠DFB的度数．19．（12分）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D′F的长．20．（12分）为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买A，B两种防疫物资．已知防疫物资A比防疫物资B每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买物资A，其余资金全部用于购买物资B，且购买物资B的数量是物资A数量的3倍．（1）求A，B两种防疫物资的单价是多少元；（2）学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对A，B两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买A，B两种防疫物资共100件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买A种防疫物资的数量是多少．21．（12分）已知m＞n＞0．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．（1）举例：比较大小：；（2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论；（3）当所加的这个数为a＞0时，你能得到什么结论？请说明理由．22．（12分）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4．点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为；平移变换：如图3，已知长方形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为；（2）如图4，四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝120°，∠C＝105°，BC＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积；（3）如图5，△BAC≌△FCD，且B、C、D在一条直线上，BA＝BC＝2，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点E满足CA＝CE且∠ACE＝90°+2α，连接AE，当α＝°时，AE取得最大值，AE的最大值为．（注：点A、E、F均在直线BC上方）

2021-2022学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）若a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．ac2＜bc2 B．﹣c+a＜﹣c+b C．a（﹣c2﹣1）＞b（﹣c2﹣1） D．a+c＜b+c【解答】解：A、当c＝0时，不正确，故此选项符合题意；B、不等式两边同时加﹣c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；C、因为﹣c2﹣1＜0，所以原变形正确，故此选项不符合题意；D、不等式两边同时加c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；故选：A．3．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果＞1，则a＞b B．对顶角相等 C．平行四边形的一组对边相等 D．等边三角形的三个内角都相等【解答】解：A、逆命题为：如果a＞b，则＞1，为假命题，例如当a＝1，b＝0时就不成立，不符合题意；B、逆命题为：相等的角为对顶角，为假命题，不符合题意；C、逆命题为：一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，为假命题，不符合题意；D、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，为真命题，符合题意；故选：D．4．（3分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞1，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x＞﹣12 C．x＜﹣12 D．x＜﹣3【解答】解：根据题意可得：2x﹣（x+2）＞1，解得：x＜﹣12，故选：C．5．（3分）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（）A．18 B．30 C．24 D．27【解答】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，∴ID＝IE，ID＝IE，∴ID＝IE＝IF＝3，∵△ABC的周长为18，∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．故选：D．6．（3分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（）条对角线．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：（n﹣2）×180＝360，解得：n＝5，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是5﹣3＝2，故选：A．7．（3分）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（）A．96 B．480 C．320 D．160【解答】解：∵长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，∴2（a+b）＝20，ab＝16，∴a+b＝10，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×16＝100﹣64＝36，∵a＞b，∴a﹣b＝6，∴原式＝ab（a﹣b）＝16×6＝96．故选：A．8．（3分）一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°角的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是2cm，则最长的斜边CD的长为（）cmA． B． C． D．【解答】解：连接AM，∵点E和F分别为MN和AN边的中点，∴AM＝2EF，∵EF的最小值是2cm，∴AM的最小值是4cm，由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，∴AB＝4cm，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，则CD＝＝＝．故选：B．9．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax，y随x的增大而减小；②函数y＝ax﹣d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4．其中正确的是（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【解答】解：由图象可得，a＞0，则﹣a＜0，对于函数y＝﹣ax来说，y随x的增大而减小，故①正确；d＞0，则﹣d＜0，则函数y＝ax﹣d经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故②错误；由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；故选：B．10．（3分）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5 B． C． D．【解答】解：过点D作DE⊥BC，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，∴AD＝a，即菱形的边长是a，∴，即DE＝4．当点P在DB上运动时，y逐渐减小，∴DB＝5，∴BE＝＝＝3．在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝a﹣3，DE＝4，∴a2＝42+（a﹣3）2，解得a＝．故选：C．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）请写出一个符合条件的含有字母x的分式：（答案不唯一）．（条件：不论x取何值时，该分式都有意义）【解答】解：要使分式有意义，分母不为0．若不论x取任何实数，该分式都有意义，则不论x取什么值，分母都不为0，例如（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．12．（3分）请写出一个多项式，并把它进行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式）请写出该多项式及分解的结果：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）．【解答】解：能用平方差公式分解因式的多项式可以是a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），能提取公因式可以是a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2），故答案为：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）（答案不唯一）．13．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；②因此假设不成立，所以∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是③④①②．（填序号）【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，故答案为：③④①②．14．（3分）如图是y关于x的完整函数图象，请你根据所学函数知识，观察函数图象，直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜1或x＞2．【解答】解：由题意得，此函数图象位于x轴下方部分时﹣1＜x＜1或x＞2，故答案为：﹣1＜x＜1或x＞2．15．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝6，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为．【解答】解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，又∵Q是DP的中点，∴EQ是△DOP的中位线，∴EQ∥OP，∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，∵OC＝6，CD＝2，E是OD的中点，∴CE＝OC﹣OE＝6﹣OD＝6﹣4＝2，∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝2×＝，故答案为：．三、解答题（共7小题，满分75分）16．（8分）（1）请用简便方法计算：20222﹣4044×2021+20212．（2）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．【解答】解：（1）20222﹣4044×2021+20212＝（2022﹣2021）2＝1；（2）原式＝•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝1+．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：（4，﹣1）；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．【解答】解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝54°，请根据要求完成以下任务：（1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，连接CD；（2）利用直尺与圆规，作∠ABC的角平分线BF交CD于点F；（3）若BD＝AC，求∠DFB的度数．【解答】解：（1）如图，直线CD，线段CD即为所求；（2）如图，射线BF即为所求．（3）∵DE垂直平分线段BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵AC＝DB，∴CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝54°，∵∠ADC＝∠DBC+∠DCB，∴∠DBC＝∠DCB＝27°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠DBC＝13.5°，∴∠DFB＝∠FBC+∠DCB＝13.5°+27°＝40.5°．19．（12分）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D′F的长．【解答】（1）证明：如图1，∵点C与点A重合，折痕为EF，∴∠1＝∠2，AE＝EC．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠3．∴AE＝AF．∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AE＝AF，∴四边形AFCE为菱形．（2）解：如图2，作AG⊥BE于点G，则∠AGB＝∠AGE＝90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F＝DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC．又∵AF＝EC，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE．∵在Rt△AGB中，∠AGB＝90°，∠B＝45°，AB＝，∴AG＝GB＝6．∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE∥FC．∴∠4＝∠5＝60°．∵在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠4＝60°，∴．∴．∴．20．（12分）为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买A，B两种防疫物资．已知防疫物资A比防疫物资B每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买物资A，其余资金全部用于购买物资B，且购买物资B的数量是物资A数量的3倍．（1）求A，B两种防疫物资的单价是多少元；（2）学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对A，B两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买A，B两种防疫物资共100件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买A种防疫物资的数量是多少．【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，由题意得：×3＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，则x﹣25＝15，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，由题意得：40×0.8m+15×0.8（100﹣m）≤1700，解得：m≤25，∵m为正整数，∴m的最大值为25，∴最多可以购买A种防疫物资的数量是25件．21．（12分）已知m＞n＞0．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．（1）举例：比较大小：＜；（2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论；（3）当所加的这个数为a＞0时，你能得到什么结论？请说明理由．【解答】解：（1）∵﹣＝﹣＜0，∴＜，故答案为：＜．（2）增大了，理由：∵﹣＝＜0，∴＜；（3）当所加的这个数为a＞0时，仍是增大了．理由：∵﹣＝＜0，∴＜，22．（12分）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4．点E、H在对角线AC上，点F、I