一类非线性系统的标量控制

一类非线性系统的标量控制

现实世界中存在着混乱现象，从天上开始，从小事到小世界。近年来，在高度大海和甲板波浪或船舶破坏的情况下，船舶的横向流动往往表现出混乱现象。因此，上述控制策略被用于船舶横向流动的抑制。研究表明:当船舶以中高速航行时,操舵产生横摇力矩与波浪产生的力矩在量级上是可比拟的;船舶的艏摇主要受舵的低频运动影响,而横摇主要受舵的高频运动影响,2种影响相对独立;舵减摇系统还利用了原有的舵机设备,尽管减摇效果不如减摇鳍,但仍有其自身的优点.相对于减摇鳍,舵减摇具有成本低、占用空间少、维修方便的特点,但是由于多数船只是单舵结构,因此对于船舶系统,控制输入的端口有限.如何设计阶数更低的舵控制就成为一个亟待解决的问题.文献提出了反步控制设计法,文献运用反步法为水面舰艇的航迹跟踪设计了舵控制系统.本文运用反步法的思想,结合自适应方法和鲁棒控制方法,为一类具有未知参数、不确定误差和能量有限扰动的非线性系统设计了易于实现的标量舵力矩控制,讨论了渔政船1500HP在小风浪作用下产生的弱混沌横摇运动,并将标量舵力矩控制律运用于舵减横摇鲁棒控制,仿真验证了控制器良好的减摇效果.1自由流动控制t设系统模型为式中:x∈R;X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn为状态变量;α∈R为未知常量;C=(c1,c2,…,cn)为未知向量(ci∈R,i=1,2,…,n);F(X)=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))T;β∈R,γ∈Rn,A∈Rn×n,b∈Rn为已知常量;δβ∈R,Δγ∈Rn,ΔA∈Rn×n为参数摄动部分;s(t)∈R为外加扰动.设对任意给定的ρ>0,满足∫ρ0s2(t)dt<∞,即扰动信号是有限时间内能量有限的.定义1在系统(1)的第1个方程上加入控制u(t),若以下条件满足则u(t)使系统(1)鲁棒镇定:a.当s(t)=0时,系统(1)渐近稳定;b.取ˆα为α的估计,ˆci为ci的估计,令˜α=α-ˆα‚˜ci=ci-ˆci(i=1,2,⋯,n)为估计误差,当初始状态x(0)=˜α(0)=˜ci(0)=0,X(0)=0,而s(t)≠0时,有‖ζ(t)‖ρ≤η‖s(t)‖ρ(∀ρ>0),ζ(t)=[x(t),XT(t)]T,η>0为抑制系数,表示状态抑制的程度,‖ζ(t)‖ρ=∫ρ0ζT(t)ζ(t)dt1/2.2x2e型引理1设H,F和E为适当维数的实矩阵,且FTF≤I.则对于任意标量ε>0,有HFE+ETFTHT≤ε-1HHT+εETE.步骤1首先单独考虑系统(1)的第2个方程,取正定函数V1=XTPX,P为待定正定对称矩阵,则按引理1,令ΔA=HFE,则ΔATP+PΔA≤ε-1PHHTP+εETE.因此在控制律x(X)=-r-1bTPX下,有式中:ξ=[Hb];K=diag(-εI,0.5r),r为非零常数.因此通过可逆坐标变换˜x=x+r-1bΤΡX,X=X,有˙V1≤-XΤQ1X+2XΤΡb˜x.在系统(1)的第1个方程加入控制u(t),则方程(1)化为:步骤2取正定函数并取自适应律为则式中˜x(β+δβ)˜x≤˜x(β+mβ)˜x,mβ为|δβ|的上确界.根据引理1,记ΔA-δβI=H1F1E1,可以得到记(Δγ)T=H2F2E2(H2为标量),而˜x(Δγ)ΤX=˜xΗ2F2E2X≤0.5ε-12˜xΗ22˜x+0.5ε2XΤEΤ2E2X,˜xs≤˜x2/η+ηs2,于是得到˙V≤-XΤQ1X+XΤ(ε1EΤ1E1/2+ε2EΤ2E2/2)X+XΤ(2Ρb-r-1Ρbβ+γ+r-1AΤΡb-r-2ΡbbΤΡb)˜x+˜x(β+mβ+ε-11r-2bΤΡΗ1ΗΤ1Ρb/2+r-1bΤΡb+ε-12Η22/2)˜x+˜xˆαf(x)+˜xn∑i=1ˆcifi(xi)+˜xu(t)+˜x2/η+ηs2.(4)取控制给定正定矩阵Q∈Rn×n,设正定矩阵P∈Rn×n为黎卡提方程的解,将其代入式(4),得到˙V≤-XΤQX-˜x2+ηs2(t)-ζΤ(t)ζ(t).(7)当s(t)=0时,有˙V≤-XΤ(Q+Ι)X-˜x2,根据李雅普诺夫稳定性理论,可知有界.由式(2)和(3)可知˙ζ有界,因而ζ一致连续,令Y=[˜x,XΤ]Τ,Ω=diag(1,Q+I),作如下积分:根据芭芭拉(Barbalat)引理,有limt→∞YΤ(t)Y(t)=0,因此Y(t)渐近收敛于0.由于坐标变换˜x=x+r-1bΤΡX(X=X)为可逆变换,因此系统(1)渐近稳定;当s(t)≠0时,有˙V≤ηs2(t)-ζΤ(t)ζ(t),对其两边从0到ρ对时间积分,按定义1的初始条件假设,当V(0)=0时,由于V(t)≥0,因此得到于是‖ζ(t)‖ρ≤η‖s(t)‖ρ,进而有下面的定理.定理1若正定矩阵Q,P∈Rn×n满足方程(6),则当标量控制式(5)作用在系统(1)的第1个方程上时,受控系统(1)鲁棒镇定.上述过程基于反步法的基本思想,但在处理技巧上与传统的反步法有所不同.传统的反步法要求分为几个步骤,每一步对一个子系统设计虚拟控制使得子系统稳定.但若对象是不确定性系统,则不可能在每一步设计出能使子系统稳定的虚拟控制,例如当式(4)出现ε1EΤ1E1/2+ε2EΤ2E2/2时,最终会和Q1一起决定方程(6).若在步骤1就确定虚拟控制使子系统稳定,由于P也随之确定,则不能保证最后得到的控制器能镇定整个系统,因此在最后统一决定控制的形式及参数.3横臂稳定运动3.1附加水惯性矩考虑船舶横摇的克努利模型式中:θ为横倾角;J+J′为船对纵轴的总惯性矩,J′为附加水惯性矩;B1和B3分别为1阶和3阶横摇阻尼系数;D为排水量;ˉG为船在静水中的初稳性高;k3为恢复力矩系数;kw为波数,w为波的频率,ζa为波幅,ˉCα为浮心到稳心的距离,L′和L分别为垂线间长和船长,T为吃水,U为航速,μ为浪向角.3.2横摇动力学方程考虑艏斜浪作用下的渔政船1500HP,即μ=2π/3rad,航速为12kn,即U=6.17m·s-1.航速为4.1kn所对应的实际参数为L′=42.4m,L=49.0m,Τ=2.317m,J+J′=2907.56t⋅m2,B1=17.445t⋅m2⋅s-1,D=341.143t,ˉG=1.116m,ˉCα=0.512m.B3和k3的标称值分别为B30=1163和k30=-0.878,现假设B3和k3由于测量困难而未知.另设B1有一定的参数摄动,记为ΔB1.此外,波浪参数λ=40m,kw=2π/λ=0.157,w=√2πg/λ=1.24rad/s,ζa=1.5m.由于在实际情况中,J′¨v´e+B1˙v´e通常远小于DˉGve,故忽略不计.考虑舵的作用,横摇动力学方程变为(J+J′)¨θ+(B1+ΔB1)˙θ+B3˙θ3+D(ˉGθ+k3θ3)=0.5fρU2ARCδLδ-DˉGve,(10)式中:f为舵数;ρ为水密度;A为单舵面积;R为舵的横摇力臂;CδL为舵升力系数对舵角的导数;δ为舵角.令uδ=0.5fρU2ARCδLδ,目标是设计控制器uδ使系统(10)满足定义1.令y1=θ,y2=˙y1,则(10)的状态方程形式为式中:ΔB′1=ΔB1/(J+J′);B′3=B3/(J+J′);k′3=Dk3/(J+J′);u′δ=uδ/(J+J′).当B3=B30,k3=k30,u′δ=0,初始条件为x(0)=[-0.05,0.05]T时,运用Wolf方法得到系统(11)的李雅普诺夫指数谱如图1所示,用Matlab仿真得到其相图如图2所示.可以看到:在风浪不大的情况下,系统(11)处于一种弱混沌状态,横摇的幅度非常混乱.下面设计u′δ.将式(11)与式(1)对比,由于式(11)为二阶方程,因此(1)中对应的系数矩阵和向量转化为标量,从而有x=y2,X=y1,α=-B′3,f(x)=y32,C=-k′3,F(X)=y31,β=-0.006,δβ=-ΔB′1,γ=-0.131,Δγ=0(ε2不存在),A=ΔA=0(ε不存在),b=1,s(t)=-0.019sin1.724t.令|ΔB′1|≤0.001,取H1=0.01,E1=0.1,ε1=1,则δβ=-ΔB′1=H1F1E1,因此于是Raccati方程变为取r=10,η=0.1,Q=1,黎卡提方程的解为P=3.25,则即式中˙ˆc1=(y2+0.33y1)y31.当s(t)=0时,系统(11)的状态-时间曲线图如图3所示.当s(t)=-0.019sin(1.724t)时,系统(11)的状态-时间曲线图如图4所示.当初始状态为y1(0)=y2(0)=ˆα(0)=ˆc1(0)=0时,对于不同的积分时间上界ρ,‖ζ(