甘肃省白银市会宁一中高三上学期第三次月考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高三（上）第三次月考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U={1，2，3，4，5,6}，A={1，2}，B=｛2，3，4｝,则A∩（∁UB)=（）A．｛1，2，5，6｝ B．｛1｝ C．{2} D．｛1，2，3,4｝2．若复数z=，其中i为虚数单位,则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．命题p:“非零向量,，若•＜0,则，的夹角为钝角",命题q：“对函数f（x）,若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）4．设函数，若f（a）+f(﹣1）=2，则a=（）A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±15．设向量=（sinα，)的模为，则cos2α=（)A． B． C．﹣ D．﹣6．已知数列｛an}为等差数列，A，B,C三点在一条直线上，，则S10=()A．1 B．2 C．4 D．57．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．8．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数,则f′(x）的图象是（）A． B． C． D．9．若函数f（x）=（k﹣1)ax﹣a﹣x(a＞0,a≠1）在R上既是奇函数,又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A． B． C． D．10．函数f(x）=2lnx+x2﹣bx+a(b＞0，a∈R)在点(b，f(b)）处的切线斜率的最小值是（)A． B．2 C． D．111．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（)A．m B．m C．m D．m12．若定义在R上的偶函数f(x）满足f（x+2）=f(x）,且当x∈［0，1］时，f（x）=x，则函数y=f(x)﹣log3|x|的零点个数是(）A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上。13．在正项等比数列｛an｝中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是．14．设x，y，向量，且，,则|=．15．若tan（α+）=2，则sin2α的值为．16．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣(b﹣c）2，则=．三、解答题:本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2(1）求｛an}的通项公式；（2)设等比数列｛bn}满足b2=a3,b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？18．已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集（Ⅰ）求角C的最大值；（Ⅱ）若,△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．19．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c,曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=1．(1)求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（3)设已知函数g（x）=f（x）+2x,且g（x)在区间（﹣2,﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．20．已知数列{an}是等比数列,，，数列｛bn｝的前n项和Sn满足(n∈N*）．（Ⅰ）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）若，求数列｛cn}的前n项和Tn．21．已知f(x）=ax﹣lnx，a∈R(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间;（Ⅲ)是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3，若存在,求出a的值；若不存在，说明理由．选作题：请考生在22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin（θ+)=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程;(Ⅱ)求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4—5：不等式选讲］23．(1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证:a3+b3＞a2b+ab2;（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．

2016-2017学年甘肃省白银市会宁一中高三（上）第三次月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=｛1,2，3，4,5，6｝，A={1，2｝,B=｛2，3，4｝,则A∩(∁UB)=（)A．{1，2，5,6} B．{1｝ C．{2} D．｛1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁RB=｛1，5,6｝；∴A∩(∁RB)=｛1，2｝∩{1，5，6｝={1}．故选：B．2．若复数z=，其中i为虚数单位，则=(）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故选：B3．命题p：“非零向量，，若•＜0,则，的夹角为钝角”，命题q:“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（)A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q） D．（￢p)∧(￢q)【考点】复合命题的真假．【分析】先判断出p，q的真假,从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：当向量,的夹角为180°时，•＜0，∴非零向量，，若•＜0，则，的夹角不一定为钝角，命题p是假命题；关于命题q：譬如函数y=x3，它的导数在x=0时为0，但x=0不是它的极值点，∴命题q是假命题,故￢p是真命题，￢q是真命题,故选：D．4．设函数，若f(a）+f(﹣1）=2，则a=（）A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±1【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】讨论a的正负，然后根据分段函数分段的标准进行讨论,代入相应的解析式，建立方程，解之即可求出所求．【解答】解：设a≥0，则f（a)+f(﹣1）=+1=2，解得:a=1设a＜0，则f（a)+f（﹣1)=+1=2解得：a=﹣1∴a=±1故选D5．设向量=（sinα，）的模为，则cos2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣【考点】二倍角的余弦；向量的模．【分析】由题意求得sin2α=,再由二倍角公式可得cos2α=1﹣2sin2α,运算求得结果．【解答】解:由题意可得=，∴sin2α=，∴cos2α=1﹣2sin2α=，故选B．6．已知数列｛an｝为等差数列,A，B，C三点在一条直线上,，则S10=(）A．1 B．2 C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据，，得到a2+a9=1，然后根据等差数列的性质即可求S10的值．【解答】解：∵A,B，C三点在一条直线上，，∴a2+a9=1,在等差数列中a2+a9=a1+a10=1，∵S10=，∴S10==,故选：D．7．把函数y=sin(x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（)A． B． C． D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法,即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解:图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)，得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．8．已知f（x）=x2+sin,f′（x）为f(x)的导函数，则f′（x）的图象是(）A． B． C． D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数,排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围,确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x)=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″(x）＜0,故函数y=f′（x)在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选:A．9．若函数f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x)=loga（x+k）的图象是（）A． B． C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值,根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=(k﹣1）ax﹣a﹣x(a＞0，a≠1）在R上是奇函数,∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=ax﹣a﹣x为减函数,所以1＞a＞0，所以g（x）=loga(x+2)定义域为x＞﹣2,且递减，故选：A10．函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0,a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A． B．2 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据题意和求导公式求出导数，求出切线的斜率为,再由基本不等式求出的范围,再求出斜率的最小值即可．【解答】解:由题意得，f′(x）=+2x﹣b,∴在点(b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b)=,∵b＞0,∴f′（b）=≥,当且仅当时取等号，∴在点（b,f（b）)处的切线斜率的最小值是，故选A．11．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°,30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解:如图，∠DAB=15°,∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中,又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×(2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120(﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120(﹣1）m．故选：B．12．若定义在R上的偶函数f(x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1］时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是(）A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个【考点】对数函数的图象与性质；函数的周期性．【分析】根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈［0，1］时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3｜x｜的零点个数，即为对应方程的根的个数,即为函数y=f（x）与函数y=log3｜x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．【解答】解:若函数f(x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数,又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x)与函数y=log3｜x|的图象如下图所示:由图可知函数y=f(x）与函数y=log3｜x｜的图象共有4个交点,即函数y=f（x）﹣log3|x｜的零点个数是4个，故选B二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上。13．在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是100．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由对数性质得lga3+lga6+lga9=lg（a3a6a9）=3，从而利用等比数列性质得a6=10，由此能出a1a11的值．【解答】解：∵在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=3，∴lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9）=3,∴，解得a6=10，∴a1a11=．故答案为：100．14．设x，y，向量，且，，则｜=．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量．【分析】根据两向量平行与垂直的坐标表示，列出方程求出x、y的值，再计算+的模长即可．【解答】解：∵向量,且，，∴;解得x=2,y=﹣2，∴=(2，1），=（1，﹣2）；∴+=（3,﹣1）,|==．故答案为：．15．若tan（α+）=2，则sin2α的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式,特殊角的三角函数值可求tanα的值，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可化简所求，即可得解．【解答】解:∵tan（α+）==2，解得：tanα=，∴sin2α====．故答案为：．16．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c)2，则=4．【考点】余弦定理．【分析】根据S=a2﹣(b﹣c）2=bc•sinA，把余弦定理代入化简可得4﹣4cosA=sinA，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S,且S=a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sinA,∴由余弦定理可得﹣2bc•cosA+2bc=bc•sinA，∴4﹣4cosA=sinA，∴==4，故答案为4．三、解答题:本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知等差数列｛an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an｝的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列｛an}的第几项相等?【考点】等差数列的性质．【分析】（I）由a4﹣a3=2,可求公差d，然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求（II)由b2=a3=8,b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I)可求【解答】解：（I)设等差数列{an｝的公差为d．∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2(n﹣1）=2n+2(n=1，2，…)（II）设等比数列｛bn}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列｛an}中的第63项相等18．已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集（Ⅰ）求角C的最大值;（Ⅱ)若，△ABC的面积,求当角C取最大值时a+b的值．【考点】余弦定理的应用；三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ)根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．∴，即，即，故,∴角C的最大值为60°．（Ⅱ)当C=60°时，，∴ab=6，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴，∴．19．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c,曲线y=f（x）在点（0，f（0）)处的切线方程为y=1．(1）求b，c的值；(2）若a＞0,求函数f（x）的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x,且g（x）在区间（﹣2,﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】(1）由切点坐标及切点处导数值为0，列一方程组,解出即可;（2）在a＞0的条件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；（3）g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间,即g′(x）＜0在区间（﹣2，﹣1)内有解，由此可求a的范围．【解答】解：(1）f′（x）=x2﹣ax+b．由题意得，即．所以b=0,c=1．(2）由（1)得f′（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0)．当x∈(﹣∞，0）时，f′（x）＞0,当x∈（0，a)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时,f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0)，(a，+∞）；单调减区间为（0，a）．（3）g′（x)=x2﹣ax+2,依题意，存在x∈（﹣2,﹣1)，使不等式g′（x）=x2﹣ax+2≤0成立．当x∈(﹣2，﹣1）时,a≤x+≤﹣2，所以满足要求的a的取值范围是a≤﹣2．20．已知数列{an}是等比数列,，,数列{bn｝的前n项和Sn满足(n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}和｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{cn｝的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ)根据题设条件，利用等比数列的通项公式求出等比数列{an｝的首项和公比，由此能求出｛an｝的通项公式；利用公式bn=，结合题设条件能求出{bn}的通项公式；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，由此利用错位相减法能求出数列｛cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等比差数列｛an}的公比是q由及，，得，解得，∴（n∈N*）…故等比数列{bn}的通项公式是（n∈N*）．…当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=6n当n=1时，b1=S1=6,符合上式，故bn=6n（n∈N＊)．…（Ⅱ）由(Ⅰ)知,，∵Tn=c1+c2+c3+…+cn﹣1+cn，∴，①3Tn=6×1×31+6×2×32+6×3×33+6（n﹣1）×3n﹣1+6n×3n,②错位相减，①﹣②得﹣6n×3n=6×﹣6n×3n，∴==…21．已知f(x)=ax﹣lnx,a∈R(Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(Ⅱ)若f（x）在x=1处有极值,求f（x）的单调递增区间;（Ⅲ）是否存在实数a,使f(x）在区间（0,e］的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I)当a=2时,f(x）=2x﹣lnx，函数的定义域为（0,+∞),求导函数，即可确定切点与切线的斜率，从而可得曲线f(x)在点（1，f（1））处的切线方程；(II）利用f（x）在x=1处有极值，确定a的值，利用导数大于0，结合函数的定义域,即可得到f（x）的单调递增区间；（III）分类讨论,确定函数f（x)在区间（0，e]上的单调性，从而可得函数的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=2x﹣lnx,函数的定义域为(0，+∞）求导函数可得：f′（x）=2﹣∴f′（1）=1，f（1)=2∴曲线f（x）在点（1，f(1）)处的切线方程为y﹣2=x﹣1,即x﹣y+1=0;（II）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0∵f′(x）=a﹣∴a﹣1=0，∴a=1∴f′（x）=1﹣令f′（x）＞0,可得x＜0或x＞1∵x＞0，∴x＞1∴f（x）的单调递增区间为(1，+∞)；(III）假设存在实数a,使f（x)在区间（0,e]的最小值是3，①当a≤0时,∵x∈（0,e］，∴f′（x）＜0，∴f（x)在区间(0，e］上单调递减∴f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去）；②当时，f(x）在区间（0，)上单调递减，在(，e]上单调递增∴f（x）min=f（）=1+lna=3,∴a=e2，满足条件；③当时,∵x∈（0，e］，∴f′（x）＜0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减∴f（x）min=f(e）=ae﹣1=3，∴a=