第六章-定积分的几何应用课件

类似地,若而在b的左邻域内无界,则定义而在点a的右邻域内无界,存在,若极限[a,b]上的反常积分,记作则称此极限为函数f(x)在

无界函数的反常积分无界点常称为瑕点1类似地,若而在b的左邻域内无界,则定义而在点a的而在点c的邻域内无界,则定义2而在点c的邻域内无界,则定义2说明:

(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化

.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.3说明:

(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以不存在例解4不存在例解4第六章定积分的应用第一节元素法5第六章定积分的应用第一节元素法5在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分作为工具来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题

化为积分模型

计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型?2.如何化成积分模型?6在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo7回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo7面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值8面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值8abxyo（4）求极限，得A的精确值面积元素9abxyo（4）求极限，得A的精确值面积元素91010具体问题表示为定积分的一般步骤：11具体问题表示为定积分的一般步骤：11这个方法通常叫做元素法．应用方向：

几何上:平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；物理上:功；水压力；引力等．12这个方法通常叫做元素法．应用方向：几何上:平面图形的小结元素法的实质是:在小的范围内以常量代替变量,求和取得近似值,再取极限得到精确值13小结元素法的实质是:在小的范围内以常量代替变量,求和取得近似第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用14第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用14曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积1直角坐标系情形15曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积1直角坐标1616解两曲线的交点面积元素选为积分变量17解两曲线的交点面积元素选为积分变量17例2

解18例2解18解两曲线的交点选为积分变量19解两曲线的交点选为积分变量19于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？20于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分解两曲线的交点选为积分变量21解两曲线的交点选为积分变量21如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积22如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积22解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．23解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．2面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形24面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形24解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积25解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积25解利用对称性知26解利用对称性知26例7解27例7解272828求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）小结29求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积二体积30旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而xyo旋转体的体积为31xyo旋转体的体积为31解直线方程为32解直线方程为323333解34解343535例3.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性36例3.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴绕y

轴旋转而成的体积为注意上下限!3