冀教版九年级数学上册 （一元二次方程根与系数的关系） 教学课件

第二十四章一元二次方程一元二次方程根与系数的关系

1课堂讲解一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在．1知识点一元二次方程根与系数的关系探究由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两

根为x1=2，x2=3，而方程(x－2)(x－3)=0可化

为x2

－5x＋6=0的形式，则：x1＋x2＝______,

x1x2＝_______.设方程2x2＋3x－9=0的两根分别为x1，x2，则：x1＋x2＝______,x1x2＝_______.知1－导对于一元二次方程ax2＋bx＋c

=0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，

请你猜想x1＋x2，x1x2与方程系数之间的关系，

并利用求根公式验证你的结论.知1－导知1－导归

纳一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c

=0的两根分别为x1，x2，那么（来自教材）识点知1－讲（来自教材）例1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根的和与积：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(1)这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且

b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.所以

解：

识点知1－讲（来自教材）(2)3x2＋4x－7＝0；(2)这里a＝3，b＝4，c＝－7，且

b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，所以

解：

知1－讲总结求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关系求出两根的和与积．（来自《点拨》）1一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－3已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(

)A．x1＋x2＝－1B．x1＋x2＝－3C．x1＋x2＝1D．x1＋x2＝3知1－练2（来自《典中点》）3判别下列方程根的情况.若有两个实数根，求出两个根的和与积.(1)x2－4x＋1＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)－x2＋3x－2＝0；(4)x2－4x＝0.知1－练（来自教材）2知识点一元二次方程的根与系数的关系的应用知2－讲（来自《点拨》）例2已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的

一个根是2，求方程的另一个根和p的值．导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数

项中p的值．知2－讲解：

设方程的两根为x1和x2，∵x1＋x2＝＝6，x1＝2，

∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

知2－讲总结已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．（

来自《点拨》）知2－讲例3

方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋

m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，

则m的值为___________．根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，又因为x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4，解得m1＝－1，m2＝－3，并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解，所以m的值为－1或－3.导引：－1或－3知2－讲总结

已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．（来自《点拨》）1若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则

＋

的值是(

)A．3B．－3C．5D．－5知2－练（来自《典中点》）2若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(

)A．－1或B．－1

C.

D．不存在知2－练（来自典中点）3等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(

)A．9

B．10

C．9或10

D．8或10知2－练（来自《典中点》）4已知关于x的一元二次方程x2－x＋4k＝0有两个相等的实数根.(1)求k的值.(2)求两个根的和与积.知2－练（来自《教材》）1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c的关系：

2.用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知系数的方法：(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根

的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项

(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积

求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．1.必做:完成教材P46习题A组T1-T2，B组T1-T22.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第二十四章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系

创设情景新课导入格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在?

新课讲解合作探究由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两

根为x1=2，x2=3，而方程(x－2)(x－3)=0可化

为x2

－5x＋6=0的形式，则：x1＋x2＝____,

x1x2＝____.设方程2x2＋3x－9=0的两根分别为x1，x2，则：x1＋x2＝______,x1x2＝_______.56新课讲解对于一元二次方程ax2＋bx＋c

=0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，

请你猜想x1＋x2，x1x2与方程系数之间的关系，

并利用求根公式验证你的结论.新课讲解

一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根分别为x1，x2，那么新课讲解例1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根的和与积：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(1)这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且

b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.所以解：

例题讲解新课讲解例1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根的和与积：(1)x2－3x－8＝0(2)3x2＋4x－7＝0；(2)这里a＝3，b＝4，c＝－7，且

b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，所以解：新课讲解1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－32.已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(

)A．x1＋x2＝－1B．x1＋x2＝－3C．x1＋x2＝1D．x1＋x2＝3练一练BD新课讲解例题讲解例2已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的

一个根是2，求方程的另一个根和p的值．导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值．新课讲解解：

设方程的两根为x1和x2，∵x1＋x2＝＝6，x1＝2，

∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

新课讲解归纳总结

已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．新课讲解例3

方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，

则m的值为___________．根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，又因为x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4，解得m1＝－1，m2＝－3，并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解，所以m的值为－1或－3.解：－1或－3例题讲解新课讲解归纳总结

已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．课堂练习1.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则

＋

的值是(

)A．3