完全平方公式

八年级数学上分层优化堂堂清十四章整式的乘法与因式分解14.2.2完全平方公式（解析版）学习目标：1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.2.灵活应用完全平方公式进行计算.重点：完全平方公式的推导过程，结构特点与公式的应用.难点：完全平方公式结构特点及其应用.老师对你说：知识点1完全平方公式1.完全平方公式：语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍图形表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2.公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：拓展、补充公式；；；知识点2完全平方公式的应用利用完全平方公式简便计算转化成完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2形式，利用公式计算利用完全平方公式化简求值先利用公式化简，再代入求值3完全平方公式与图形面积基础提升教材核心知识点精练知识点1完全平方公式【例11】运用完全平方公式计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】根据完全平方公式计算即可求解．解：（1）；（2）．【点拨】本题主要考查完全平方公式的展开，要注意展开前后系数的变化．完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（ab）2=a22ab+b2．【例12】计算（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【点评】本题主要考查完全平方公式的展开，要熟记完全平方公式特征首平方，末平方，首末两倍中间放。【例13】若是完全平方式，则m的值等于（

）A．3 B．7或－1 C．7 D．－5【答案】B【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．解：∵多项式是完全平方式，∴，∴，∴解得：m=7或1，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要查了完全平方公式的应用，完全平方公式的特征为：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．【例14】已知m，n分别是一个三角形的底和该底上的高，且满足，，则此三角形的面积为（

）A．24 B．12 C． D．【答案】D【分析】把已知的两个完全平方式左边展开，然后两式相减，求出mn的值，则三角形的面积即可求出．解：由，得．

由，得．①②得4mn=6，∴∴三角形的面积为．故选：D．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握两个完全平方公式是解题的关键．知识点2完全平方公式的应用【例21】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．解：因为a＋b＝3，所以，即：，又因为ab＝1，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x＋y＝8，x2＋y2＝40，求xy的值；(2)若，求的值．【答案】(1)xy＝12(2)10【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解；（2）根据完全平方公式得出（4－x＋x）2＝16，求得（4－x）2＋x2＝16－2（4－x）x，将，代入即可求解．解：（1）因为x＋y＝8，所以（x＋y）2＝64，即x2＋2xy＋y2＝64，又因为x2＋y2＝40，所以2xy＝24，所以xy＝12．（2）因为4－x＋x＝4，所以（4－x＋x）2＝16，即（4－x）2＋2（4－x）x＋x2＝16，所以（4－x）2＋x2＝16－2（4－x）x＝16－2×3＝10．【点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键．【例22】已知M＝，N＝，则M、N的大小关系是（

）A．M=N B．M＞N C．M＜N D．不能确定【答案】D【分析】若比较M，N的大小关系，只需计算MN的值即可．解：∵M＝，N＝，∴当时，M>N；当时，M=N；当时，M<N；∴M、N的大小关系不能确定．故选D．【点拨】本题的主要考查了比较代数式的大小，可以让两者相减再分析情况．【例23】已知正数、，满足，．求的值；当时，求的值；(3)我们把形如这样的三项式称之为完全平方式，在（2）的条件下，若是完全平方式，直接写出的值________．【答案】(1)17(2)(3)【分析】（1）将的左边运用完全平方公式展开，然后将代入即可求解；（2）运用完全平方公式展开，然后将和xy整体代入求解即可；（3）由（2）可知m的值，再依据完全平方公式的特点“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”即可解答．解：（1）∵，∴．（2）m=．（3）由题意可得m=9∴∴na=±2×3×2a，即．【点拨】本题主要考查了完全平方公式，理解它的特征并灵活进行变形是解答本题的关键．【例24】将变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．【详解】解：故选择：C【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【例25】先化简，再求值：，其中

．【答案】；【分析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入的值进行计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式，去括号，合并同类项等知识点．能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．【例26】如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．(1)请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；(2)比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？(3)请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果，求的值．【答案】(1)方法一：；方法二：(2)(3)40【分析】（1）方法一：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；方法二：先求出阴影小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；（2）根据两种方法求出的阴影部分的面积相等即可得；（3）先利用（2）的等式可得的值，再利用完全平方公式进行计算即可得．（1）解：方法一：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则阴影部分的面积为，方法二：阴影部分是一个小正方形，它的边长为，则阴影部分的面积为．（2）解：因为（1）中两种方法求出的阴影部分的面积相等，所以．（3）解：，，即，，．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．【例27】先化简，并请选择你所喜欢的x的值代入求值．（2）方程组的解满足，求k的值．【答案】（1）x2+2x1，原式=2；（2）【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）按照解二元一次方程组的步骤进行计算，求出x，y的值，然后代入3x2y=5，进行计算即可解答．解：（1）（2x+1）2（2x+1）（2x1）+（x+1）（x3）=4x2+4x+14x2+1+x22x3=x2+2x1，当x=1时，原式=12+2×11=1+21=2；（2），解得：，∵方程组的解x，y满足3x2y=5，∴3（8k）2（k7）=5，解得：k=，∴k的值为．【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，二元一次方程的解，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键能力提升训练1.填空：________________；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7．【分析】（1）用完全平方公式进行解答即可得，（2）用完全平方公式进行解答即可得，（3）先将变形为，即可求得．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）；（3），，，则．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是要灵活运用完全平方公式．2.若满足，求的值．阅读下面求解的方法：解：设，，则，∵，∴，∴．请仿照上面的方法求解下面的问题：（1）若满足，求的值；（2）如图，正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，若，则①，（用含的代数式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）设，，则，可得，再利用完全平方公式，即可求解；（2）①由，，可求得，再由正方形的边长相等，可得；②根据题意可得，可设，，则，从而求出，，再利用平方差公式，即可求解．【详解】解：（1）设，，则，∵，∴，∴；（2）①∵，，∴，在正方形中，，∵，∴，②∵长方形的面积是，∴，即，设，，则，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴阴影部分的面积=．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，并会利用类比思想是解题的关键．3.如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m、n为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如图3，S1、S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）①±4；②8【分析】（1）根据图2，用面积相等列出等量关系即可；（2）①由第一问知：，结合已知条件，代入数值，求解即可；②由题意知：，，所以可以由，得到的值，即可得到阴影部分的面积．【详解】解：（1）（2）①由第一问知：故所以即②因为所以因为所以又因为，且所以所以【点睛】本题考查完全平方公式的实际应用，掌握好数形结合思想是解题关键．4.认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：____________________；方法2：____________________．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：____________________；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m＋n＝mn＝4，求阴影部分的面积．【答案】（1）a2＋b2；（a＋b）2－2ab；（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；（3）2【分析】（1）用两个正方形面积相加或用大正方形面积减去两个矩形面积均可表示阴影部分面积；（2）阴影部分面积相等即可得到等式；（3）用、表示出阴影部分面积，再变形成含和的形式，将代入即可得答案．【详解】解：（1）阴影部分面积可表示为两个正方形面积的和，即；阴影部分面积也可表示为大正方形面积减去两个矩形面积，即，故答案为：，；（2）阴影部分面积相等，即得：，故答案为：；（3）阴影部分的面积，阴影部分的面积，，阴影部分的面积，答：阴影部分面积为2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用，解题的关键是将阴影部分面积用含、的代数式表示出来，再变形成含和的形式．堂堂清一.选择题（每小题4分，共32分）1.计算（a﹣3）2的结果是（）A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6【答案】A【分析】利用完全平方公式计算即可得到结果．【详解】（a﹣3）2＝a2﹣6a＋9，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．下列四个整式：①x2﹣4x+4；②6x2+3x+1；③4x2+4x+1；④x2+4xy+2y2．其中是完全平方式的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．③④【答案】A【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：①x2﹣4x+4＝，符合题意；②6x2+3x+1，不符合题意；③4x2+4x+1＝，符合题意；④x2+4xy+2y2，不符合题意，故选：A．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若x2+ax＝（x+）2+b，则a，b的值为（）A．a＝1，b＝B．a＝1，b＝﹣C．a＝2，b＝D．a＝0，b＝﹣【答案】B【分析】根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．【详解】解：∵x2+ax＝（x+）2+b=x2+x++b，∴a=1，+b=0，∴a＝1，b＝﹣，故选B．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．对于等式，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确是（）甲：无论和取何值，等式均不能成立．乙：只有当时，等式才能成立．丙：当或时，等式成立．A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确【答案】C【分析】根据完全平方公式要使成立则，则，由此求解即可．【详解】解：∵，∴要使得，即，∴，∴或，故丙说法正确，故选C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．5.如果是一个完全平方式，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】是一个完全平方式，那么k=，从而可得答案.【详解】∵是一个完全平方式∴=∴k=故选D【点睛】本题考查完全平方式的定义与性质，理解什么是完全平方式是解出本题的关键．无论，为何值，代数式的值总是（）A．非负数 B． C．正数 D．负数【答案】C【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．7．已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（）A．136 B．86 C．36 D．50【答案】B【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．【详解】解：设a=m53，b=m47，则ab=25，ab=6，∴a2+b2=（ab）2+2ab=（6）2+50=86，∴（m53）2+（m47）2=86，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．8.如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，所以，故选：C．【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．填空题（每小题4分，共20分）9．计算.【答案】【知识点】完全平方公式及运用【解析】【解答】解：故答案为：.【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab=b2”计算即可求解.10.计算：（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1）=．【答案】4x+5【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用【解析】【解答】原式===.故答案为：.【分析】先用“完全平方公式和平方差公式”进行计算，再合并同类项即可.11.已知是完全平方式，则m的值为．【答案】【知识点】完全平方公式及运用【解析】【解答】解：∵是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12，∴m=±12．故答案为：【分析】利用完全平方式求出m=±2×2×3=±12，再求出m的值即可。12.已知：，则，xy＝．【答案】9；4【知识点】完全平方公式及运用【解析】【解答】∵，∴∴故答案为：9，4【分析】利用完全平方公式将已知等式化为，利用①②可求出的值，利用①＋②可求出的值.13.如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2﹣2ab+b2的值为．【分析】分两次来看被盖住的面积，第一个两个小正方形都在下面，则没有被盖住的面积为（a﹣b）×a，又盖了一个小正方形，被盖住的面积是（a﹣b）×b，作差即可．【解答】解：没有被盖住的面积为：（a﹣b）×a﹣（a﹣b）×b＝（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2＝4（cm2）．故答案为：4．解答题（共6小题，48分）14.（8分）计算：(1)(2)【详解】（1）解：==（2）解：原式===015．（7分）先化简，再求值​，其中​当时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的计算是解【答案】，－4【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式，合并同类项化简括号内的，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将字母的值代入计算即可求解．【详解】解：原式题的关键．16.（9分）已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式得到＝，然后整体代入即可；（2）利用完全平方公式得到＝，然后整体代入即可；（3）根据多项式乘以多项式运算法则将原式进行计算，代入即可．（1）解：原式＝＝＝＝；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝＝＝＝．【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式以及相关变形，结合整体代入的思想解题是解本题得关键．17.（8分）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为；当x＝2时，x2+2x+5的值为，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最小值为，这时相应的x＝．根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．【答案】探究一：8，13；探究二：4，1；（1）当x=4时，代数式x28x+17有最大值是33；（2）【分析】探究一：把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；探究二：先将代数式x2+2x+5运用完全平方公式变形后得：（x+1）2+4，可得结论；（1）将代数式x28x+17运用完全平方公式变形后可得结论；（2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．【详解】解：探究一：当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案为：8，13；探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=1．故答案为：4，1；（1）∵x28x+17=（x+4）2+33，∴当x=4时，代数式x28x+17有最大值是33；（2）∵A=x28x+17，B=9y2+12y+37，当A=B时，则BA=0，∴（9y2+12y+37）（x28x+17）=0，9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0，∴x=4，y=，∴x•y=4×（）=．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．18.（8分）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为；（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．【解答】解：（1）运用完全平方公式展开得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；＝4×（﹣5）+62；＝16．所以，x+y＝±4（3）S3＝AC×CB（令AC＝x，BC＝y）所以S3＝xy又因为S1+S2＝32即x2+y2＝32；AB＝10即x+y＝10所以，xy＝＝＝34所以S3＝＝×34＝17答：图中阴影部分面积是17．（8分）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．【分析】（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a﹣b；（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积；（3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系；（4）把（x﹣10）看作a，把（20﹣x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，求得（a﹣b）2即（2x﹣30）2的值．【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×3＝100﹣12＝88．（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，阴影的面积＝4ab，∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，由（3）的结论可知，[（x﹣10）+（20﹣x）]