《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第12章 第23课 对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分

23第23第课对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分第课23PAGE10 PAGE10PAGE9 PAGE9对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分第课23

课题对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解对弧长的曲线积分的概念与性质，及其计算（2）理解对坐标的曲线积分的概念与性质，及其计算（3）理解对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的关系思政育人目标：通过讲解对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：对弧长的曲线积分的概念与性质、对坐标的曲线积分的概念与性质教学难点：对弧长的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（30min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】通过引例讲解对弧长的曲线积分的概念与性质定义设为面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界．在上用任意的点把曲线弧分割成个小弧段，记第个小弧段的长度为，并在上任取一点，作乘积，并作和．令，当时，若极限存在，且该极限与的分法及点的取法无关，则称此极限为函数在曲线上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分弧段（积分路径），称为弧微分．如果是封闭曲线，那么该曲线积分就记为．上述定义可推广到空间曲线弧上，类似地，定义函数在光滑空间曲线弧的第一类曲线积分为．可以证明，当被积函数在光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分总是存在的．后面若无特殊说明，我们总假定被积函数为上的连续函数．对弧长的曲线积分与定积分、重积分具有相似的性质．下面以平面曲线积分为例，叙述其性质．性质1设为常数，则．性质2（可加性）若曲线弧是由两段光滑的曲线弧和组成，则．性质3设曲线弧的弧长为s，则．性质4若在曲线弧上有，则，特别地，有．【学生】理解对弧长的曲线积分的概念与性质【教师】讲解对弧长的曲线积分的计算定理设函数在曲线弧上连续，的参数方程为，且．（12-1）由以上定理可知，在计算对弧长的曲线积分时，只要将被积表达式中的依次换为，然后从到作定积分即可．则．（12-2）类似地，如果曲线的方程为，则．如果曲线的方程用极坐标来表示，即，则．以上定理可推广到空间曲线弧．设的参数方程为，则有这里连续且不同时为零．例1计算曲线积分，其中是抛物线上点与点之间的一段弧，如图12-2所示．图12-2解的方程为，根据公式（12-2），可得例2计算曲线积分，其中为的第二象限部分．解法一用极坐标形式表示圆在第二象限部分的参数方程，即，因为于是．解法二将表示为，因为，于是．，这里是积分区域的体积．（例3详见教材）【学生】掌握对弧长的曲线积分的计算学习对弧长的曲线积分。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解对坐标的曲线积分的概念与性质定义设是平面上从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数，在上有界．记，在上沿的方向任意取个点，，把曲线弧分成个有向小弧段．设，，在小弧段上任意取一点，作乘积，并作和．令，当时，若极限存在，且该极限与曲线弧的分法及点的取法无关，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标x的曲线积分，记作．类似地，若极限存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标y的曲线积分，记作，即，，其中，，称为被积函数，称为积分弧段或积分路径．上述两个式子可合起来记作．以上的积分称为对坐标的曲线积分或第二类曲线积分．将上述定义推广到空间有向光滑曲线弧的情形，则有可以证明，当被积函数在有向光滑曲线弧上连续时，对坐标的曲线积分都存在，后面若无特殊说明，我们总假定被积函数在上连续．根据上述定义可推导出对坐标的曲线积分有如下性质．性质1设为常数，则．性质2若有向光滑曲线弧可分成两段光滑的有向曲线弧和，则．性质3若是有向光滑曲线弧，是的反向曲线弧，则．从性质3可以看出，对坐标的曲线积分与积分弧段的方向相关，而对弧长的曲线积分则与积分弧段的方向无关，这是曲线积分需划分为两种类型的原因之一．从物理层面理解，功有正功和负功，性质3也符合做功的实际情况．【学生】理解对坐标的曲线积分的概念与性质【教师】讲解对坐标的曲线积分的计算定理设在有向曲线弧上连续，且的参数方程为当参数单调地从变到时，点从的起点沿运动到终点．若在以及为端点的区间上连续且不同时为零，则曲线积分存在，且（12-3）由上述定理可知，计算对坐标的曲线积分时，只要将被积表达式中的依次换为，然后从起点参数到终点参数作定积分即可．在此要注意的是，积分范围必须从起点指向终点，不一定要小于，这与对弧长的曲线积分不同．特别地，如果曲线的方程为，，则；如果曲线的方程为，，则．更进一步，把上述定理推广到空间有向光滑曲线弧，，其中对应起点，对应终点，则有例1计算曲线积分，其中为抛物线上从点到点的一段弧，如图12-4所示．图12-4解法一将所给积分化为对的定积分来计算．由于不是单值函数，所以要把分为和两部分．在上，，；在上，，．所以解法二将所给积分化为对的定积分来计算．由于的方程是，，因此．本例中，方法二比方法一的计算过程要简单快捷，因此选取好的参数方程能有效简化计算．（例2～例4详见教材）【学生】掌握对坐标的曲线积分的计算【教师】讲解两类曲线积分的关系设为从到的有向光滑曲线弧，其参数方程为．在此，不妨假设（若，则可通过变量代换得到类似的结论），且，在上连续，根据式（12-3）可得此时，我们只需要验证在同样的积分路径下第一类曲线积分的有关表达式与上述等式右边的表达式一致即可．已知有向曲线弧在点处的切向量为，当时，曲线弧上每一点处的切向量方向与有向曲线弧的方向一致，以分别表示切向量与轴、轴形成的两个方向角，则该切向量的方向余弦为，，则根据式（12-1）有．这样，就得到了平面曲线弧上的两类曲线积分之间的关系，即．其中是曲线弧在点处切向量的方向余弦．类似地，空间曲线上的两类曲线积分也有这样的关系，即其中是曲线弧在点处切向量的方向余弦．【学生】理解两类曲线积分的关系学习对坐标的曲线积分。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课主要介绍了曲线积分、曲面积分的概念和性质以及其物理背景，进而研究了对坐标的曲线积分的概念与性质、对坐标的曲线积分的计算、两类曲线积分的关系。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题12.1、习