十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题12 圆锥曲线 Word版含解析

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题12圆锥曲线1.(2019·全国·理T10文T12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1 B.C.x24+【答案】B【解析】如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kA过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12又kAF2=|BP||F把点B坐标代入椭圆方程x2a2又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x22.(2019·全国1·文T10)双曲线C:x2a2−y2b2=1(A.2sin40° B.2cos40°C.1sin50【答案】D【解析】由已知可得-ba则e=c=1+si故选D.3.(2019·北京·文T5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5A.6 B.4 C.2 D.1【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e=ca=5∴a2+1a4.(2019·天津·理T5文T6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且A.2 B.3 C.2 D.5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y∴AB=2b由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ca2=a2+b2a25.(2018·全国1·理T11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32C.23 D.4【答案】B【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.6.(2018·全国2·理T5文T6)双曲线x2a2−yA.y=±2x B.y=±3x C.y=±22x D.y=±3【答案】A【解析】∵e2=c2∴ba∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±ba∴渐近线方程为y=±2x.7.(2018·全国3·理T11)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1A.5 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=6a=|F2P'|,|PP'|=2a,所以|F2P|=2a=b,所以c=a2+b8.(2018·浙江·T2)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是(A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)【答案】B【解析】∵c2=a2+b2=3+1=4,∴c=2.又焦点在x轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).9.(2018·全国2·理T12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2A.23 B.C.13 D.【答案】D【解析】∵A(-a,0),△PF1F2为等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE⊥x轴,∵∠F1F2P=120°,∴∠PF2E=60°.∴F2E=c,PE=3c,∴P(2c,3c).∵kPA=36∴PA所在直线方程为y=36∴3c=36(2c+a).∴e=c10.(2018·全国2·文T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-32 B.2-C.3-12【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x2∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴|PF2|=c,|PF1|=3c,∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a.∴e=ca11.(2018·上海·T13)设P是椭圆x25+A.22 B.23 C.25 D.42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和为2a=25,故选C.12.(2018·天津·理T7文T7)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且A.x24−C.x23−【答案】C【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x13.(2018·全国1·理T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FNA.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·14.(2017·全国1·理T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+215.(2017·全国3·理T5)已知双曲线C:x2a2−y2bA.x28−C.x25−【答案】B【解析】由题意得ba又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x216.(2017·全国1·文T5)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(A.13 B.12 C.2【答案】D【解析】由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y2又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=317.(2017·天津·理T5)已知双曲线x2a2−yA.x24−C.x24−【答案】B【解析】∵e2=1+b2a2=2,∵F(-c,0),P(0,4),∴kPF=4c∴c=4.又a2+b2=c2=16,∴a2=b2=8.∴所求双曲线的方程为x218.(2017·全国3·理T10文T11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线A.63 B.33 C.2【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a219.(2017·全国1·文T12)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)【答案】A【解析】由题意,可知当点M为短轴的端点时,∠AMB最大.当0<m<3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=3,即3m≥3,解得0<m≤1;当m>3时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=320.(2017·浙江·理T2文T2)椭圆x29+A.133 B.C.23 D.【答案】B【解析】e=9-21.(2017·全国2·理T9)若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2A.2 B.3C.2 D.2【答案】A【解析】可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba222.(2017·全国2·文T5)若a>1,则双曲线x2a2-y2A.(2,+∞) B.(2,2)C.(1,2) D.(1,2)【答案】C【解析】由题意得e2=c2a2所以1<1+1a所以1<e<2.故选C.23.(2016·全国1·理T10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=42,所以可设A(m,22).又因为|DE|=25,所以R2=5+p24,m224.(2016·全国2·文T5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.12 B.1 C.3【答案】D【解析】因为F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).又因为曲线y=kx(k>0)与抛物线交于点P,PF⊥如图所示,可知P(1,2),故k125.(2016·全国1·理T5)已知方程x2m2A.(-1,3) B.(-1,3)C.(0,3) D.(0,3)【答案】A【解析】因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.26.(2016·天津·理T6)已知双曲线x24−y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,DA.x24−3y24【答案】D【解析】x则xy=16b2+4·故所求双曲线的方程为x227.(2016·全国2·理T11)已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MFA.2 B.32C.3 D.2【答案】A【解析】如图,因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=b2又sin∠MF2F1=13,所以|即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=2b所以b2=a2,则c2=b2+a2=2a2,得离心率e=ca28.(2016·全国3·理T11文T12)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线A.13 B.12 C.2【答案】A【解析】由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得12即ka2k(a故椭圆的离心率e=1329.(2016·全国1·文T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(A.13 B.12 C.2【答案】B【解析】设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=14×2b,与b30.(2015·福建·文T11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线A.0,32 B.0,【答案】A【解析】如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.不妨设M(0,b),则|3×0-4b∴e=ca又0<e<1,∴0<e≤3231.（2015·安徽高考·文T8）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）（A）-2或12（B）2或-12（C）-2或-12（D）2或12【答案】D【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.32.（2015·福建高考·理T3）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．33.（2015·四川高考·理T5）过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）(A)(B)(C)6（D）【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.34.(2015·广东高考·理T7)已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（）A．B.C.D.【答案】B【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选．35.(2015·新课标全国卷=1\*ROMANI·理T5)已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是()（A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）【答案】A36.（2015·湖北高考·理T8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的， B．当时，；当时，C．对任意的， D．当时，；当时，【答案】D【解析】依题意，，，因为，由于，，，所以当时，，，，，所以；当时，，，而，所以，所以.所以当时，；当时，.37.（2015·四川高考·理T10）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.38.（2015·天津高考·理T6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D.39.（2015·安徽高考·理T4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.40.（2015·浙江高考·理T5）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】S41.（2015·新课标全国卷=2\*ROMANII·理T11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．42.(2015·新课标全国卷=1\*ROMANI·文T5)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】∵抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2,0），∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，∵，∴，∴，∴椭圆E方程为，将代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.43.（2015·重庆高考·文T9）设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由已知得右焦点(其中，，，从而，又因为，所以，即，化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C.44.（2015·四川高考·文T7）过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝()(A)(B)2(C)6(D)4【答案】D【解析】由题意，a＝1，b＝，故c＝2，渐近线方程为y＝±x将x＝2代入渐近线方程，得y1，2＝±2，故|AB|＝4，选D45.（2015·陕西高考·文T3）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选46.（2015·广东高考·文T8）已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：，因为，所以，故选C．47.(2015·天津高考·文T5)已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.48.（2015·湖南高考·文T6）若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为()A、B、C、D、【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.49.(2015·安徽高考·文T6)下列双曲线中，渐近线方程为的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.50.（2015·湖北高考·文T9）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的， B．当时，；当时，C．对任意的， D．当时，；当时，【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：，所以，，当时，，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；故应选D.51.（2015·福建高考·文T11）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，，，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．52.(2015·安徽·理T4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-y24=1 B.x2C.y24-x2=1 D.y2-x【答案】C【解析】A,B选项中双曲线的焦点在x轴上,不符合要求.C,D选项中双曲线的焦点在y轴上,且双曲线y24-x2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y2-x253.(2015·浙江·理T5)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|-C.|BF|【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则S△54.(2014·全国1·理T10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=()A.72 B.3 C.5【答案】B【解析】如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有|HQ∴|HQ|=3.∴|QF|=3.55.(2014·全国1·文T10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=(A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】由抛物线方程y2=x知,2p=1,p2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+p2=x0+14,于是54x56.(2014·天津·理T5)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:A.x25−C.3x225【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,因此ba=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x57.(2014·大纲全国·理T6文T9)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2A.x23+y2C.x212+【答案】A【解析】∵x2a2∴e2=1-b2a2=13.∴b又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为43,∴4a=43,∴a=3.∴b=2,∴椭圆方程为x258.（2014·福建高考理科·T9）．设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）B.C.D.【答案】D【解析】圆心M，设椭圆上的点为，则，当时，．所以．59.（2014·重庆高考文科·T8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线的定义知，又所以等号两边同除，化简得，解得或（舍去）故离心率60.（2014·天津文·T6理T5））已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）B.C.D.【答案】A【解析】因为双曲线的一个焦点在直线上，所以即又因为渐近线平行于直线故有结合得所以双曲线的标准方程为61.（2014·湖北高考理科·T9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.C.3D.2【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.62.(2014·广东高考理科·T10)若实数k满足0<k<9,则曲线QUOTE-QUOTE=1与曲线QUOTE-=1的()A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等【答案】A【解析】因为0<k<9,所以曲线QUOTE-QUOTE=1与曲线QUOTE-=1都表示焦点在x轴上的双曲线,且25≠25-k,9-k≠9,但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等.63.（2014·山东高考理科·T10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A、B、C、D、【答案】A【解析】椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，所以，所以.所以.双曲线的渐近线方程为，即，故选A.64.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为.65.（2014·安徽高考文科·T3）抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以抛物线的准线方程是y=-1.66.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则QUOTE=()A. B.6 C.12D.【答案】C【解析】设AF=2m,BF=2n,F.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以m+n=6.AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.67.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.设点A,B分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以m+n=6.所以S△OAB=·(m+n)=.故选D.68.（2014·四川高考理科·T10）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【答案】B【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是3.69.（2014·四川文·T10理T10）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【答案】B【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.70.（2014·辽宁高考理科·T10）已知点在抛物线的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为【答案】D【解析】根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点．设切点，由题意，在第一象限内．由导数的几何意义可知切线的斜率为，而切线的斜率也可以为又因为切点在曲线上，所以．由上述条件解得．即．从而直线的斜率为．71.(2014·湖北高考文科·T8)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线QUOTEx2cos2θ-QUOTEy2sin2θA.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由于a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,所以a+b=-,ab=0,过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y-a2=(x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-QUOTEsinθcosθx,因为双曲线QUOTEx2cos2θ-QUOTEy2sin2y=-x,所以过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线QUOTEx2cos2θQUOTEx2cos2θ-QUOTEy2si72.(2013·广东·文T9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是(【答案】D【解析】由右焦点F(1,0)知,焦点在x轴上,且c=1.又离心率等于12则ca由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为x273．（2013·福建高考理·T3）双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)【答案】C【解析】本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(x,2)，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).74.（2013·浙江高考·T9）如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)【答案】D【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)①，点A的坐标为(x0，y0)．由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝eq\r(3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝3，,x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)＝4，))解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又点A在双曲线上，代入①得，eq\f(8,3)b2－eq\f(1,3)a2＝a2b2③，联立②③解得a＝eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，故选D.75.(2013·全国2·理T11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x【答案】C【解析】设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+p2=5,则x0=5-p又点F的坐标为p2,0,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)x将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即y022-4y0由y02=2px0,得16=2p所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.76．（2013·新课标Ⅰ高考理·T4）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x【答案】C【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查考生对于双曲线的几何性质的熟练掌握和运算求解能力．解题时，先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点位置，再由双曲线的离心率的概念得到a，c之间的关系，再根据双曲线中a，b，c之间的关系转化为a与b之间的关系，从而求出其渐近线方程．因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.又离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，选择C.77．（2013·新课标Ⅰ高考理·T10）已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【答案】D【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到a，b之间的关系，并由a，b，c之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)(x－3)，代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋b2))x2－eq\f(3,2)a2x＋eq\f(9,4)a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为eq\f(\f(3,2)a2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋b2)))＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选择D.78．（2013·新课标Ⅱ高考理·T11）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x【答案】C【解析】本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．由已知得抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，AM→＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，AF→·AM→＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.79.（2013·新课标Ⅱ高考理·T12）已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【答案】B【解析】本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，结合图形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故答案为B.80．（2013·北京高考理·T6）若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A.y＝±2xB．y＝±eq\r(2)xC.y＝±eq\f(1,2)xD.y＝±eq\f(\r(2),2)x【答案】B【解析】本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±eq\r(2)x.81（2013·江西高考理·T9）过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)【答案】B【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB.所以当sin∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin45°＝eq\f(\r(2),2).设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－eq\r(2))，即kx－y－eq\r(2)k＝0，则有eq\f(\r(2),2)＝eq\f(|0－0－\r(2)k|,\r(k2＋1))，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－eq\f(\r(3),3).82．（2013·广东高考理·T7）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于eq\f(3,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1【答案】B【解析】本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.83．（2013·山东高考理·T13）过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0【答案】A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq\f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.84．（2013·山东高考理·T11）抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)【答案】D【解析】本题考查抛物线方程、双曲线的几何性质、直线方程、导数的几何意义等基础知识，考查方程思想，考查运算求解能力和逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(2y,p)＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.对函数y＝eq\f(1,2p)x2求导得，y′＝eq\f(1,p)x.设M(x0，y0)，则eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)，即x0＝eq\f(\r(3),3)p，代入抛物线方程得，y0＝eq\f(1,6)p.由于点M在直线eq\f(x,2)＋eq\f(2y,p)＝1上，所以eq\f(\r(3),6)p＋eq\f(2,p)×eq\f(p,6)＝1，解得p＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).85．（2013·大纲卷高考理·T8）椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【答案】B【解析】本题考查椭圆的定义和不等式的性质．由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，则纵坐标为y＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(4－x2)，由PA2的斜率得：1≤eq\f(\r(3),2)×eq\r(\f(2＋x,2－x))≤2，即eq\f(2,\r(3))≤eq\r(\f(2＋x,2－x))≤eq\f(4,\r(3))，PA1的斜率为eq\f(\r(3),2)×eq\r(\f(2－x,2＋x))，所以PA1的斜率取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))，故选B.86．（2013·大纲卷高考理·T11）已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA→·MB→＝0，则k＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【答案】D【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积等知识．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为y＝k(x－2)，将直线方程与y2＝8x联立组成方程组，解得x1x2＝4，x1＋x2＝eq\f(4k2＋8,k2)，由MA→·MB→＝0即(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，求得关于k的二次方程为k2－4k＋4＝0，解得k＝2，故选D.87．（2013·湖北高考理·T2）已知0＜θ＜eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1与C2：eq\f(y2,sin2θ)－eq\f(x2,sin2θtan2θ)＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\r(\f(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1),a\o\al(2,1)))＝eq\r(\f(cos2θ＋sin2θ,cos2θ))＝eq\f(1,cosθ)，双曲线C2的离心率e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2),a\o\al(2,2)))＝eq\r(\f(sin2θ＋sin2θtan2θ,sin2θ))＝eq\r(1＋tan2θ)＝eq\r(1＋\f(sin2θ,cos2θ))＝eq\f(1,cosθ)，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2eq\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθsinθ，焦距为2c2＝2eq\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＝2eq\r(sin2θ＋sin2θtan2θ)＝2tanθ，所以A，B，C均不对，故选D.88．（2013·四川高考理·T6）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)【答案】B【解析】本题考查抛物线的焦点、双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，意在考查考生的基本运算能力．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以所求距离为eq\f(\r(3),2)，故选B.89．（2013·天津高考理·T5）已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．3【答案】C【解析】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，意在考查考生等价转化的能力．因为双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，与抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)相交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，又p＞0，所以p＝2.90．（2013·北京高考文·T7）双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2)的充分必要条件是()A．m>eq\f(1,2)B.m≥1C．m>1D.m>2【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．依题意，e＝eq\f(c,a)，e2＝eq\f(c2,a2)>2，得1＋m>2，所以m>1，选C.91．（2013·重庆高考文·T4）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的相关内容．|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.92．（2013·重庆高考文·T10）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足eq\f(\r(3),3)<k≤eq\r(3)，易知k＝eq\f(b,a)，所以eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≤3，eq\f(4,3)<1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≤4，即有eq\f(2\r(3),3)<eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≤2.又双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以eq\f(2\r(3),3)<e≤2.93．（2013·安徽高考文·T6）直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D.4eq\r(6)【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的相交弦长问题，意在考查考生的运算求解能力和数形结合思想．依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝eq\r(5)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|1＋4－5＋\r(5)|,\r(5))＝1，所以结合图形可知弦长的一半为eq\r(r2－d2)＝2，故弦长为4.94．（2013·山东高考文·T11）抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)【答案】D【解析】本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力．由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,2p)))，则利用求导得切线的斜率为eq\f(t,p)＝eq\f(\r(3),3)，p＝eq\r(3)t.易知抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)t,2)))，(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(\r(3)t,6)))共线，所以eq\f(0－\f(\r(3)t,2),2－0)＝eq\f(\f(\r(3)t,6)－\f(\r(3)t,2),t－0)，解得t＝eq\f(4,3)，所以p＝eq\f(4\r(3),3).95．（2013·大纲卷高考文·T8）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【答案】C【解析】本题主要考查椭圆方程及几何性质．设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(b2,a)))，因|AB|＝eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,a)))＝eq\f(2b2,a)＝3，即2b2＝3a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b2＝3a，,a2－b2＝c2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.96．（2013·大纲卷高考文·T12）已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的定义、几何性质、平面向量的垂直关系，以及考查数形结合的思想、转化的思想．如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由MA·MB＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－eq\f(1,kMF)＝2.97．（2013·福建高考文·T4）双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的图像与性质以及点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．双曲线x2－y3＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为eq\f(\r(2),2).98．（2013·新课标Ⅱ高考文·T5）设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)【答案】D【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3).法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．99．（2013·新课标Ⅱ高考文·T10）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力及对知识综合应用的能力．法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|MB|,|MA|)，即eq\f(m,3m)＝eq\f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知AF→＝3FB→，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－xA＝3x0－1，,－yA＝3y0，))从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,0)＝4x0，,－3y02＝44－3x0，))解得x0＝eq\f(1,3)，y0＝±eq\f(2,\r(3))，所以kl＝eq\f(y0－0,x0－1)＝±eq\r(3).100．（2013·浙江高考文·T9）如图F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)【答案】D【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的定义、几何性质等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况，以及基本的运算和求解能力．由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2eq\r(3))2，∴a＝eq\r(2)，∴e＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).101．（2013·新课标Ⅰ高考文·T4）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程等基本知识．∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴y＝±eq\f(1,2)x.102．（2013·新课标Ⅰ高考文·T8）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．4【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力．由题意知抛物线的焦点F(eq\r(2)，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4eq\r(2)，所以xP＝3eq\r(2)，代入抛物线方程求得yP＝2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)·|OF|·yP＝2eq\r(3).103．（2013·天津高考文·T5）已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查平面上两条直线垂直的条件，意在考查考生的等价转化能力．由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以eq\f(2－0,2－1)＝a，解得a＝2.104.（2013·湖北高考文T2）已知0<θ<eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D【解析】本题主要考查双曲线的标准方程及其几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水平．由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1.105．（2013·陕西高考文·T8）已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用．由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，则直线与圆O相交．106．（2013·江西高考文·T9）已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶3【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查数形结合思想与分析、解决问题的能力．过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知|MM′|＝|FM|，所以eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝sin∠MNM′，而∠MNM′为直线FA的倾斜角α的补角．因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFA＝－eq\f(1,2)＝tanα，所以sinα＝eq\f(1,\r(5))，所以sin∠MNM′＝eq\f(1,\r(5)).故|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).107．（2013·四川高考文·T5）抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(3)D．1【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质、点到直线的距离公式，意在考查数形结合思想．抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是d＝eq\f(2－0,2)＝1，选D.108．（2013·四川高考文·T9）从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一