人教版八年级数学下册教学课件：19.2.3正方形2

回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等,邻角互补对角线互相平分组卷网矩形角:四个角是直角对角线:对角线相等且互相平分边：对边平行且相等具有平行四边形所有性质第一页第二页，共51页。菱形的性质菱形的性质边:四条边相等对角线:互相垂直平分分别平分两组对角

对角相等,邻角互补具有平行四边形一切性质角：第二页第三页，共51页。平行四边形情境一：观察体会第三页第四页，共51页。第四页第五页，共51页。第五页第六页，共51页。有一个直角第六页第七页，共51页。有一个直角矩形第七页第八页，共51页。有一个直角矩形第八页第九页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形第九页第十页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形第十页第十一页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形第十一页第十二页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形第十二页第十三页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形第十三页第十四页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形第十四页第十五页，共51页。有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等有一个直角正方形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？第十五页第十六页，共51页。问题:

情景二图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当CD移动到C

D

位置，此时AD

＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ABCDABC

D

正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD第十六页第十七页，共51页。矩形正方形〃〃矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?探究（一）第十七页第十八页，共51页。

菱形∟∟∟∟正方形探究（二）菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?第十八页第十九页，共51页。探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：

一组邻边相等的矩形叫正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：

一个角为直角的菱形叫正方形如何来给正方形下定义？第十九页第二十页，共51页。正方形定义1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形

正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？第二十页第二十一页，共51页。边对角线角正方形的性质正方形对边平行四边相等正方形的四个角都是直角正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。ABCDO正方形是中心对称图形，它也是轴对称图形正方形是一个完美的图形第二十一页第二十二页，共51页。为什么说正方形是一个完美的图形？特征正方形是中心对称图形,对称中心为点O它也是轴对称图形,有4条对称轴(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)对称性第二十二页第二十三页，共51页。总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形

中心对称图形（对角线的交点）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）第二十三页第二十四页，共51页。正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)第二十四页第二十五页，共51页。四边形平行四边形矩形菱形正方形平行四边形矩形四边形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系第二十五页第二十六页，共51页。正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.选一选2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.

BD第二十六页第二十七页，共51页。2.下列说法正确的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形看一看，选一选第二十七页第二十八页，共51页。想一想，填一填3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为（）

4.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为（）第二十八页第二十九页，共51页。5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=（）第二十九页第三十页，共51页。例题解析例题学一学

OABCD例.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。分析分析：这是一道几何命题的证明,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明图中共有多少个等腰直角三角形？第三十页第三十一页，共51页。例题学一学

例1.如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。OABCD答案：1、八个△ABC△BCD△CDA△DAB△AOB△AOD△BOC△COD2

AB=BC=CD=DAAC=BDOA=OB=OC=OD3答案见课本107页第三十一页第三十二页，共51页。例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG解：因为四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形所以DE=DG又因为正方形的每个内角为90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针旋转90°

得到。⊿AED≌⊿CGD所以AE=CGABCDEFG第三十二页第三十三页，共51页。已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123练一练第三十三页第三十四页，共51页。证明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF与△ADC中AD=AB∠ADE=∠ABF=90°DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴FA=EA,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°∴EA⊥FA

123第三十四页第三十五页，共51页。ACBDE１．若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？想一想：该怎样证明这些结论？O第三十五页第三十六页，共51页。

变一变如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。试说明：AP=EFABCDPEF解:连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF第三十六页第三十七页，共51页。3.一正方形对角线长为4,则它的面积为

．8ABCD1．正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的__________________尝试练习2.一正方形边长为4,则它的面积为

．16等腰直角三角形4.正方形ABCD的面积是9cm2。则AB=________AC=___________3cm第三十七页第三十八页，共51页。变式训练2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．第三十八页第三十九页，共51页。6.如图，已知正方形ABCD内有一个△BEF，AB=6，AF︰FD=1︰2，E为DC的中点，求△BEF的面积。ABCDFE第三十九页第四十页，共51页。7.如图，正方形ABCD的对角线的长为10，M是AB边上的一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF=（）FEMCBAD第四十页第四十一页，共51页。8.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EFFEPDCBA第四十一页第四十二页，共51页。3.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（）ABCDEFCA.1对B.2对C.3对D.4对第四十二页第四十三页，共51页。例题赏析4.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．GFEDABC第四十三页第四十四页，共51页。练习5．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

证明：

第四十四页第四十五页，共51页。6.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是ADBCOPQR第四十五页第四十六页，共51页。7、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN第四十六页第四十七页，共51页。大显身手7、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。ABDECGF第四十七页第四十八页，共51页。8、如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方