地基梁的弹性分布分析

地基梁的弹性分布分析

0弹性地基梁的计算根据winker模型，点的压力强度与点的沉降成正比。由于弹性地基梁模型概念清晰,求解方便,并且其计算结果在一定条件下(比如砂类土地基)与实际工程接近,因此应用非常广泛。其应用领域主要有基础工程、边坡支护、基坑工程、桩基础、格式梁基础等。目前,对弹性地基梁的计算大致包括解析方法、和数值方法。解析方法从梁的微分方程出发,利用边界条件和平衡方程得出位移曲线,进而得到转角、弯矩和剪力等。解析方法简单易行,能很快给出结果,但既有的解析方法存在比较明显的缺点。这些不足主要包括:无法考虑梁的自重;难以在基础上施加多种类型荷载等。本文从Winkler地基上无限长梁和有限长梁经典解答入手,给出了任意分布荷载作用下有限长梁解答。该解答可以与Hetenyi解答进行叠加,以解决多种荷载类型作用下Winkler地基梁的求解问题。1梁受弯力的固结条件Winkler地基模型表述为任意一点的压力强度p与该点的沉降量s成正比,即其中k为基床系数。图1所示为作用在Winkler地基上的无限长梁,该梁宽b,抗弯刚度为EI,受集中力F作用。梁长方向为x,梁位移方向为w。根据梁和地基的变形协调条件得到定义6个函数集中力作用下,作用点正方向的解答为这里θ、M、V分别为梁上任意截面的转角、以及受到的弯矩和剪力;为柔度特征值。在集中荷载作用点负方向,以x的绝对值代入式(3),计算结果为w和M时符号不变,计算θ和V时则需取相反符号,便可以得到相应的量。以无限长梁Ⅱ代替梁Ⅰ,如果能满足梁Ⅱ在A、B两截面弯矩和剪力全部为0的条件,即满足梁Ⅰ两端自由的边界条件,则梁Ⅱ中AB段的内力和变形就是梁Ⅰ的内力和变形。在梁Ⅱ的A、B截面外侧,各施加边界条件力FA、MA和FB、MB,则在集中力F和4个边界条件力作用下,A、B截面的弯矩和剪力必须为0,因此边界条件力分别为Al、Bl、Cl、Dl、El、Fl分别为式(3)在x=l处的值。MAF、VAF和MBF、VBF分别为集中荷载F在梁Ⅱ截面A和截面B产生的弯矩和剪力,这里定义为虚拟弯矩和虚拟剪力。因此,集中载荷作用下Winkler地基梁的计算,等于无限长梁在该集中荷载和4个边界条件力共同作用下相应区段的解答叠加。2分布荷载作用下的k任意分布荷载作用下Winkler地基梁的计算需要借助于叠加原理,计算简图如图3所示。设梁长为l,在x1～x2范围内作用有任意分布荷载q(x)。在分布荷载作用范围内取一微段dx,则该微段的荷载可以近似为等效集中力q(x)dx荷载,在此等效集中力作用下,虚拟弯矩dMAx、dMBx和虚拟剪力dVAx、dMBx可以由式(4c)和式(4d)得到因此,在分布荷载q(x)作用下,有将式(7)得到的虚拟弯矩和虚拟剪力代入式(5),可以得到在分布荷载作用下的4个边界条件力。因此,分布荷载作用下Winkler地基梁上任意一点P(xk)的位移w、转角θ、弯矩M和剪力V的计算,可以等效为对应无限长梁相应梁段两部分效应的叠加。第一部分是在式(7)得到的4个边界条件力作用下对应无限长梁的位移w1、转角θ1、弯矩M1和剪力V1;第二部分是在分布荷载作用下对应无限长梁的位移w2、转角θ2、弯矩M2和剪力V2。第一部分可由式(4)得到,下面讨论第二部分。图3所示微段荷载引起等效无限长梁上任意一点P(xk)的位移、转角、弯矩和剪力(点P(xk)位于微段左侧)分别为当点P(xk)位于微段右侧时有因此,在分布荷载q(x)作用下,对应无限长梁上任意一点P(xk)的位移w2、转角θ2、弯矩M2和剪力V2可以由式(8)和式(9)积分得到,即所以,在任意分布荷载作用下,Winkler地基梁上各点的位移w、转角θ、弯矩M和剪力V为由于s=w,所以将式(11a)代入式(1),可以得到地基中任意一点的地基反力。n个分布荷载共同作用时,可以将各分布荷载作用下的相应作用后果叠加,从而得到最终结果。也可以根据式(6)、式(7)和式(5),计算出各分布荷载共同作用下总的边界条件力,然后分别计算在总边界条件力和各分布荷载共同作用下的响应,最后将二者叠加。3分布荷载作用下的动力特性某梁A,如图4。宽b=1m、高h=0.5m、弹性模量E=3×1010Pa、长10m。搁置在Winkler地基上,地基基床系数k=15MN·m-3,分布荷载为分布荷载作用范围为(x1,x2)=(3,9)。求梁身各点的沉降、转角、弯矩和剪力。在此分布荷载作用下,地基的沉降s或地基梁的位移w、地基梁的转角θ、地基梁的弯矩M以及剪力V分别如图5(a)、5(b)、5(c)、5(d)所示。其中w1、θ1、M1和V1分别为在边界条件力作用下,对应无限长梁相应梁段上的分量;w2、θ2、M2和V2分别为在分布荷载作用下,对应无限长梁相应梁段上的分量。二者之和等于分布荷载作用下,梁A的位移、转角和受到的弯矩和剪力。从沉降曲线看,分布荷载作用时的沉降与集中荷载作用下的沉降形状大致相似,但要平缓得多;弯矩曲线和剪力曲线满足边界条件要求;同样,分布荷载作用下的弯矩比集中荷载作用下的弯矩平缓;在分布荷载左右边界(3m和9m处),地基梁的剪力曲线出现明显的转折点。4无限长梁的求解运用叠加原理,给出了在任意形式的分布荷载作用下,弹性基础梁在Winkler地基上的计算方法。首先,将待求梁转化为无限长梁,并求解出对应的边界条件力;然后,求解此无限长梁在分布荷载及相应的边界条件力作用下的